2020新教材高中数学 第九章 解三角形 9.2 正弦定理与余弦定理的应用课件 新人教B版必修第四册

-1-9.2正弦定理与余弦定理的应用课标阐释思维脉络1.利用正弦定理、余弦定理解决生产实践中的有关距离的测量问题.2.能运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关底部不可到达的物体高度测量的问题.3.能运用正弦定理、余弦定理解决测量角度的实际问题.课前篇自主预习一、测量中的基本术语1.思考测量中有哪些基本术语?提示:基线、仰角、俯角、方向角、方位角、视角、坡角、坡比.课前篇自主预习2.填空名称定义图示基线在测量上,根据测量需要适当确定的线段叫做基线仰角在同一铅垂平面内,视线在水平线上方时与水平线的夹角叫做仰角俯角在同一铅垂平面内,视线在水平线下方时与水平线的夹角叫做俯角课前篇自主预习名称定义图示方向角从指定方向线到目标方向线的水平角叫做方向角(指定方向线是指正北或正南或正东或正西,方向角小于90°)南偏西60°(指以正南方向为始边,转向目标方向线形成的角方位角从正北的方向线按顺时针到目标方向线所转过的水平角叫做方位角课前篇自主预习名称定义图示视角观察物体的两端视线张开的角度,叫做视角在点A处观察一物体的视角为50°坡角坡面与水平面的夹角.如图中的角α坡比坡面的铅直高度与水平宽度之比.如上图中的hl课前篇自主预习3.做一做(1)若P在Q的北偏东44°50'方向上,则Q在P的()A.东偏北45°10'方向上B.北偏东45°50'方向上C.南偏西44°50'方向上D.西偏南45°50'方向上解析:如图所示,点Q在点P的南偏西44°50'的方向上.故选C.答案:C课前篇自主预习(2)从A处望B处的仰角为α,从B处望A处的俯角为β,则α,β的关系为()A.αβB.α=βC.α+β=90°D.α+β=180°解析:根据题意和仰角、俯角的概念得α=β,故选B.答案:B课前篇自主预习(3)已知目标A的方位角为135°,请画出其图示.提示:如图所示:(4)请分别画出北偏东30°,南偏东45°的方向角.提示:如图所示:课前篇自主预习二、解三角形应用题1.思考(1)如何解三角形应用题?提示:解三角形应用题时,通常都要根据题意,从实际问题中抽象出一个或几个三角形,然后通过解三角形,得到实际问题的解,求解的关键是将实际问题转化为解三角形问题.(2)解三角形应用题常见的有哪两种情况?提示:①实际问题经抽象概括后,已知量与未知量全部集中在一个三角形中,可用正弦定理或余弦定理求解.②实际问题经抽象概括后,已知量与未知量涉及到两个(或两个以上)三角形,这时需作出这些三角形,先解够条件的三角形,然后逐步求出其他三角形中的解,有时需设出未知量,从几个三角形中列出方程(组),解方程(组)得出所要求的解.课前篇自主预习(3)距离问题的处理方法是什么?提示:①测量从一个可到达的点A到一个不可到达的点B之间的距离问题.如图所示.这实际上就是已知三角形的两个角和一边解三角形的问题,用正弦定理就可解决.课前篇自主预习②测量两个不可到达的点A,B之间的距离问题.如图所示.首先把求不可到达的两点A,B之间的距离转化为应用余弦定理求三角形的边长问题,然后把求B,C和A,C的距离问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题.课前篇自主预习(4)高度问题的处理方法是什么?提示:①测量底部不可到达的建筑物的高度时,由于底部不可到达,这类问题不能直接用解直角三角形的方法解决,但常用正弦定理或余弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离,然后转化为解直角三角形的问题.②在测量底部不可到达的建筑物的高度时,可以借助正弦定理或余弦定理,构造两角(两个仰角或两个俯角)和一边或三角(两个方向角和仰角)和一边,如下图.课前篇自主预习课前篇自主预习(5)角度问题的处理方法是什么?提示:测量角度问题主要是指在海上或空中测量角度的问题,如确定目标的方位,观察某一建筑物的视角等.解决它们的关键是根据题意和图形及有关概念,确定所求的角在哪个三角形中,该三角形中已知哪些量,需要求哪些量.通常是根据题意,从实际问题中抽象出一个或几个三角形,然后通过解这些三角形,得到所求的量,从而得到实际问题的解.解题时应认真审题,结合图形去选择定理,这是最关键、最重要的一步.课前篇自主预习2.填空(1)解题思路课前篇自主预习(2)基本步骤运用正弦定理、余弦定理解决实际问题的基本步骤如下:①分析:理解题意,弄清已知与未知,画出示意图(一个或几个三角形);②建模:根据已知条件与求解目标,把已知量与待求量尽可能地集中在有关三角形中,建立一个解三角形的数学模型;③求解:利用正弦定理、余弦定理解三角形,求得数学模型的解;④检验:检验所求的解是否符合实际问题,从而得出实际问题的解.课前篇自主预习(3)主要类型课前篇自主预习3.做一做(1)如图,在河岸AC测量河两岸B,C之间的距离,测量下列四组数据,较适宜的是()A.γ,c,αB.b,c,αC.c,α,βD.b,α,γ解析:隔着河a,c均不易测量,而测量b,α,γ更合适.答案:D课前篇自主预习(2)甲、乙两楼相距a,从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°,从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°,则甲、乙两楼的高分别是.解析:甲楼的高为atan60°=3a,乙楼的高为3a-atan30°=3a-33a=233a.答案:3a,23𝑎3课前篇自主预习(3)甲、乙两人在同一地平面上的不同方向观测20m高的旗杆,甲观测的仰角为50°,乙观测的仰角为40°,用d1,d2分别表示甲、乙两人离旗杆的距离,那么有()A.d1d2B.d1d2C.d120mD.d220m解析:仰角大说明距离小,仰角小说明距离大,即d1d2.答案:B课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测测量高度问题例1如图所示,在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角为α,在塔底C处测得A处的俯角为β.已知铁塔BC部分的高为h,求山高CD.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测解:在△ABC中,∠BCA=90°+β,∠ABC=90°-α,∠BAC=α-β,∠CAD=β.根据正弦定理得𝐴𝐶sin∠𝐴𝐵𝐶=𝐵𝐶sin∠𝐵𝐴𝐶,即𝐴𝐶sin(90°-𝛼)=𝐵𝐶sin(𝛼-𝛽),所以AC=𝐵𝐶cos𝛼sin(𝛼-𝛽)=ℎcos𝛼sin(𝛼-𝛽).在Rt△ACD中,CD=ACsin∠CAD=ACsinβ=ℎcos𝛼sin𝛽sin(𝛼-𝛽).即山的高度为ℎcos𝛼sin𝛽sin(𝛼-𝛽).课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测变式训练1在飞机上,某一时刻测得地面上两建筑物的俯角分别为45°和30°,这一时刻飞机对两建筑物的视角为45°.若两建筑物之间的距离为2km,则飞机的飞行高度为.解析:设两建筑物为A,B,这一时刻飞机所在位置为P,其在地面上的投影为D,2则由题意知,∠PAD=30°,∠PBD=45°,∠APB=45°,设飞机飞行高度为h,所以PA=ℎsin30°=2h,PB=ℎsin45°=2h,由余弦定理得AB2=PA2+PB2-2PA·PBcos∠APB,所以8=4h2+2h2-4h2=2h2,所以h=2(km).答案:2km课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测测量角度问题例2如图所示,当甲船位于A处时,获悉在其正东方向相距20nmile的B处有一艘渔船遇险等待营救.甲船立即前往救援,同时把消息告知在甲船的南偏西30°,相距10nmile的C处的乙船,试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援(角度精确到1°)?课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测解:如图所示,连接CB.在△ABC中,∠CAB=90°+30°=120°.由余弦定理,得BC2=AB2+AC2-2AB×AC×cos120°.又AC=10,AB=20,得BC2=202+102-2×20×10×-12,所以BC=107(nmile).由正弦定理,得sin∠ACB=𝐴𝐵sin∠𝐶𝐴𝐵𝐵𝐶=20sin120°107=217.又∠ACB为锐角,所以∠ACB≈41°.作CM⊥BA,交BA的延长线于点M,则∠BCM=30°+∠ACB≈71°.所以乙船应朝北偏东约71°的方向沿直线前往B处救援.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测反思感悟解答角度问题的解决策略解决这类问题一定要搞清方向角,画出符合题意的图形,将所给距离和角度标在图中,然后分析可解的三角形及其与待求角的关系,确定解题步骤.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测变式训练2缉私巡逻艇在一小岛A南偏西50°的方向,距小岛A12nmile的B处,发现隐藏在小岛边上的一走私船正开始向岛北偏西10°方向行驶,测得其速度为每小时10nmile,问巡逻艇需用多大的速度朝什么方向航行才能恰在两个小时后截获该走私船?(参考数据:sin38°≈0.62)课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测解:如右图所示,AC所在射线即为走私船航行路线,假设巡逻艇在C处截获走私船,巡逻艇的速度为每小时xnmile,则BC=2x,AC=20.依题意∠BAC=180°-50°-10°=120°,由余弦定理,得BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos120°所以BC=28,因为BC=2x,所以x=14.又由正弦定理,得sin∠ABC=𝐴𝐶sin∠𝐵𝐴𝐶𝐵𝐶=20×3228≈0.62.所以∠ABC≈38°.而如图所示的Rt△ADB中,∠ABD=40°.所以∠EBC=90°-38°-40°=12°.即巡逻艇用每小时14nmile的速度向北偏东12°的方向航行.=122+202-2×12×20×-12=784,课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测正、余弦定理在力学中的应用例3如图,在墙上有一个三角形支架OAB,吊着一个重力为12N的灯,OA,OB都是轻杆,只受沿杆方向的力,试求杆OA,OB所受力的大小.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测解:O点受三个力的作用,灯线的拉力F,方向向下,灯杆OA的拉力F1,方向与𝑂𝐴同向,灯杆OB的支持力F2,方向与𝐵𝑂同向,三力平衡,所以F+F1+F2=0.设𝑂𝐸=F,将力F沿𝐴𝑂,𝑂𝐵两个方向进行分解,作▱OCED,则𝑂𝐷=-F1,𝑂𝐶=-F2,由题设条件知|𝑂𝐸|=12,∠COE=60°,∠OCE=45°,所以∠OEC=75°.在△OCE中,由正弦定理得,12sin45°=𝑂𝐶sin75°=𝐶𝐸sin60°,所以CE=12sin60°sin45°=66,OC=12sin75°sin45°=6(3+1),所以|F1|=|𝑂𝐷|=CE=66(N),|F2|=|𝑂𝐶|=OC=6(3+1)(N).所以杆OA,OB所受力的大小为66N,6(3+1)N.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测反思感悟解答力学问题的解决策略解答与力学有关的三角形问题,要抓住力的方向与大小和受力平衡的关系,准确进行受力分解.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测变式训练3作用在小车A上的两个水平力F1、F2,|F1|=40N,|F2|=20N,夹角为60°,小车的摩擦力大小为20N,则小车在力的作用下能否保持静止?7解:如图所示.在▱ABCD中,由题意AB=20,AD=BC=40,∠ABC=120°,在△ABC中,由余弦定理,得AC=𝐴𝐵2+𝐵𝐶2-2𝐴𝐵×𝐵𝐶×cos120°=207,所以|F合|=AC=207(N).所以小车能保持静止.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究距离测量问题【角度一】两点不相通的距离典例1如图所示,要测量一水塘两侧A,B两点间的距离,其方法先选定适当的位置C,用经纬仪测出角α,再分别测出AC,BC的长b,a,则可求出A,B两点间的距离.即AB=𝑎2+𝑏2-2𝑎𝑏cos𝛼.若测得CA=400m,CB=600m,∠ACB=60°,试计算AB长.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测解:在△A