高中数学—09—旋转体—教师版

教师日期学生课程编号课型预习课题旋转体教学目标1．掌握圆柱和圆锥的有关概念，理解祖暅原理和图形割补等思想方法；2．会求柱体和锥体的表面积和体积．教学重点1．圆柱、圆锥的有关概念、表面积和体积的计算公式；2．旋转体的有关几何问题．教学安排版块时长1知识梳理102例题解析603巩固训练304师生总结205课后练习301、旋转体的概念（1）平面上一条封闭曲线所围成的区域绕着它所在平面上的一条定直线旋转而形成的几何体叫做旋转体，该定直线叫做旋转体的轴；（2）圆柱：将矩形ABCD绕其一边AB所在直线旋转一周，所形成的的几何体叫做圆柱；AB所在直线叫做圆柱的轴；线段AD和BC旋转而成的圆面叫做圆柱的底面；线段CD旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；CD叫做圆柱侧面的一条母线；圆柱的两个底面间的距离（即AB的长度）叫做圆柱的高（3）圆锥：将直角三角形ABC（及其内部）绕其一条直角边AB所在直线旋转一周，所形成的几何体叫做圆锥；AB所在直线叫做圆锥的轴；点A叫做圆锥的顶点；直角边BC旋转而成的圆面叫做圆锥的底面；斜边AC旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面；斜边AC叫做圆锥侧面的一条母线；圆锥的顶点到底面间的距离叫做圆锥的高．旋转体知识梳理【性质】根据圆柱的形成过程易知：①圆柱有无穷多条母线，且所有母线都与轴平行；②圆柱有两个相互平行的底面.【性质】根据圆锥的形成过程易知：①圆锥有无穷多条母线，且所有母线相交于圆锥的顶点；②每条母线与轴的夹角都相等.（4）球：将圆心为O的半圆绕其直径AB所在直线旋转一周，所形成的几何体叫做球；半圆的圆弧所形成的曲面叫做球面，把点O称为球心，把原半圆的半径和直径分别称为球的半径和球的直径．2、侧面积、表面积和体积圆柱，圆锥的侧面积：=cl=2rlS圆柱侧，其中r，c分别为圆柱的底面半径、周长，l为母线长；1=cl=rl2S圆锥侧，其中r，c分别为圆锥的底面半径、周长，l为母线长.圆柱、圆锥的体积2=h=rhVS圆柱，其中S为底面积，h为高，r为底面半径；211=h=rh33VS圆锥，其中S为底面积，h为高，r为底面半径。1、旋转体的概念【例1】有下列命题:①在圆柱的上､下底面的圆周上各取一点,则这两点的连线是圆柱的母线；②圆锥顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；③过球面上任意两点和球心有且只有一个大圆；④圆柱的任意两条母线所在直线是互相平行的.其中正确的是()A.①②；B.②③；C.①③；D.②④.【难度】★【答案】D【例2】下列命题中的真命题是（）例题解析【补充】①球心到球面上任意点的距离都相等；②任意平面与球面的交线都是圆；当平面通过球心时，所得交线是大圆；当平面不通过球心时，所得交线是小圆.A．以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥；B．以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆柱；C．圆柱、圆锥的底面都是圆；D．圆锥侧面展开图为扇形，这个扇形所在圆的半径等于圆锥的底面圆的半径．【难度】★【答案】C【例3】用一个平面去截一个几何体，得到的截面是四边形，这个几何体可能是（）A、圆锥B、圆柱C、球体D、以上都有可能【难度】★【答案】B【巩固训练】1．用一张长、宽分别为cmcm12,8的矩形纸张卷成一个没有底面的圆柱筒，则圆柱的底面积为．【难度】★【答案】16,362．轴截面是正方形的圆柱叫等边圆柱。若一个等边圆柱的轴截面面积为P，则它的底面积为．【难度】★★【答案】P413．如图所示的几何体是从一个圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的，现用一个平面去截这个几何体，若这个平面垂直于圆柱底面所在的平面，那么所截得的图形可能是图中的_______．【难度】★【答案】（1）（3）2、旋转体的侧面展开【例4】如图，有一圆柱形的开口容器（下表面密封），其轴截面是边长为2的正方形，P是BC中(1)(2)(3)(4)PCDBA点，现有一只蚂蚁位于外壁A处，内壁P处有一米粒，若这只蚂蚁要先爬到上口边沿再爬到点P处取得米粒，则它所需经过的最短路程为．【难度】★★【答案】92【解析】此类求曲面上最短路程问题通常考虑侧面展开。侧面展开后得矩形ABCD，其中,2ABAD问题转化为在CD上找一点,Q使AQPQ最短作P关于CD的对称点E，连接AE，令AE与CD交于点,Q则得AQPQ的最小值为92。【例5】如图，一竖立在水平对面上的圆锥形物体的母线长为m4，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点P处，则该小虫爬行的最短路程为m34，则圆锥底面圆的半径等于（）A.m1B.m23C.m34D.m2【难度】★★【答案】C【例6】已知顶点为S的圆锥的母线长为cm60，底面半径为cm25，BA,是底面圆周上的两点，O为底面中心，且53AOB，求在圆锥侧面上由点A到点B的最短路线长．【难度】★★【答案】cm2260【解析】用侧面展开图，沿母线SA剪开圆锥侧面并展开成扇形1SAA，在等腰三角形1SAB中，41ASB，因而由余弦定理得，cmAB22601，即在圆锥侧面上由点A到点B的最短路线长cm2260。【巩固训练】1．圆锥底面半径为10，母线长为60，底面圆周上一点B沿侧面绕两周回到B点，求这个最短距离．【难度】★★【答案】3602．有一根长为3cm,底面半径为cm1的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕2圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的最短长度为多少？【难度】★★【答案】把圆柱侧面及缠绕其上的铁丝展开，在平面上得到矩形ABCD（如图），由题意知BC=3cm，AB=4cm，点A与点B分别是铁丝的起、止位置，故线段AC的长度即为铁丝的最短长度。AC=22ABBCcm5，故铁丝的最短长度为cm5。3．已知圆锥的底面半径10OAcm，母线30PAcm，由底面圆周上一点A出发绕其侧面一周的最短路线的长度是多少？最短路线上的点到底面的距离最大是多少？【难度】★★【答案】303,102cmcm3、旋转体的侧面积、表面积和全面积【例7】已知一圆锥的底面直径、高和一圆柱的底面直径与高均是d，那么圆锥的全面积与圆柱的全面积之比为【难度】★★【答案】651【例8】圆锥的轴截面为正三角形，母线长为8，圆锥的内接圆柱的高为x，当内接圆柱的侧面积S最大时，x的值为．【难度】★★【答案】32【例9】如图，已知圆锥底面半径cmr20，点Q为半圆弧AC的中点，点P为母线SA的中点，PQ与SO所成的角为2arctan．求：（1）圆锥的全面积；（2）QP、两点在圆锥侧面上的最短距离．【难度】★★★【答案】21000cm；cm315【解析】（1）过P作OAPB于B，则SOPB//，2arctanBPQ。过B作BQOE于E，则1021OAOB。510BQ，510cot22QPBBQPBSO，30SA。)(10002cmSSS底侧全，（2）将侧面沿母线SA展开，Q点落在'Q位置，弧10'AQ。3''SAAQASQ弧，'2121SQSASP。在'SPQRt中，)(31560sin''cmSQPQ。故QP、两点在圆锥侧面上的最短距离为cm315【巩固训练】1．若圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，则该圆锥的侧面积为．【难度】★【答案】22．若圆锥的表面积为a2m，且它的侧面展开图是一个半圆，则圆锥的底面圆的半径是．【难度】★★【答案】3a3．若圆锥侧面积为全面积的32，则侧面展开图的圆心角为（）A．32B．C．2D．以上都不对【难度】★【答案】BCPSQAOBE4、旋转体的体积【例10】⑴若一个圆柱的高扩大为原来的2倍，底面积扩大为原来的3倍，则体积扩大为原来的倍；⑵若一个圆锥的高不变，要使体积扩大为原来的5倍，则底面半径应扩大为原来的倍．【难度】★【答案】6；5【例11】甲乙两人分别利用一张长20厘米，宽15厘米的纸，用两种不同的方法围成一个圆柱体（接头处不重叠），那么围成的圆柱（）A．体积相等B．用20厘米作为高的体积大C．用15厘米作为高的体积大D．无法比较【难度】★【答案】C【例12】如图，圆锥形封闭容器，高为h，圆锥内水面高为hhh113，,若将圆锥倒置后，圆锥内水面高为hh22，求.【难度】★★【答案】3193h【例13】由曲线yx42，yx42，4x，4x围成图形绕y轴旋转一周所得为旋转体的体积为1V，满足1622yx，4)2(22yx，4)2(22yx的点),(yx组成的图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积为2V，则（）A、2121VVB、2132VVC、21VV212VV【难度】★★【答案】C【解析】如图，两图形绕y轴旋转所得的旋转体夹在两相距为8的平行平面之间，用任意一个与y轴垂直的平面截这两个旋转体，设截面与原点距离为y，则所得截面面积∵yS4421,yxxyoo4444-4-4-4-4222224-4yySS2=(42-y2)-[4-(2-|y|)2]y442∴21SS由祖暅原理知，两个几何体体积相等。故选C。【巩固训练】1．若一个圆柱的高是H，它的侧面展开图中母线与对角线的夹角是60，则此圆柱的体积为____．【难度】★【答案】433H2．圆锥母线长为l，侧面展开圆心角为240°，该圆锥的体积是()A．8122πB．818πC．8154πD．8110π【难度】★【答案】C3．设圆锥底面圆周上两点A、B间的距离为4，圆锥顶点到直线AB的距离为23，AB和圆锥的轴的距离为2，则该圆锥的体积为________．【难度】★★【答案】83π【解析】如图O为底面圆心，OC⊥AB于C.由OA=OB得C为AB中点，由SA=SB，C为AB中点得SC⊥AB于C.∴OC=2,SC=23,AC=CB=2,SO=22OC-SO=22，OB=22BCOC=22.∴V=31π·OB2·SO=83π.4．把一个圆柱切削成一个最大的圆锥，已已知削去部分的体积比圆锥体积大3.6立方分米，那么圆锥的体积是立方分米．【难度】★【答案】3.65、旋转体中的线面关系【例14】如图，圆柱的轴截面ABCD是正方形，点E在底面圆周上，点F在DE上，且DEAF，若圆柱的底面积与ABE的面积之比等于。（Ⅰ）求证：BDAF；（Ⅱ）求直线DE与平面ABCD所成角的正切值。【难度】★★【答案】（Ⅰ）证明：因为ABEAD平面，所以BEAD。又AAEADBEAE,，所以ADEBE平面DEAF，所以BDEAF平面,故BDAF（Ⅱ）过点E作ABEO，垂足为O。因为平面ABE平面ABCD，所以ABCDEO面。连结OD，则ODE为直线DE与平面ABCD所成的角设圆柱的底半径为R，则其底面积为2R,OEROERSABE221,由已知OERR2,则ROE,所以点O为圆柱底面的圆心。在直角OAD中，RADAOOD522,在DOERt中，55ODOEODEtan，故直线DE与平面ABCD所成角的正切值为55.【例15】圆锥SO的轴截面是等腰直角三角形，AB是⊙O的直径，Q是圆周上不同于A、B的点（1）若∠AOQ=3，SO=h，求底面中心O到平面SQB的距离；（2）若二面角Q-SA-B等于3，求SQ与轴截面SAB所成角的大小.【难度】★★【答案】①设C是QB的中点，连OC，SC，可证平面SQB⊥平面SOC，作A1A2A3A4A5A6A7A8B1B2B3B4B5B6B7B8OH⊥SC，则OH⊥平面SQB，OH是O到平面SQB的距离，易知SO=h，OC=2h，则OH=55h.②作QP⊥AB，∵平面SAB⊥底面ABQ，∴QP⊥平面SAB，作PR⊥SA，连QP，则∠QRP是二面角Q-SA-B的平面角.∠QRP=60°，连SP，可知∠QSP是SQ和轴截面SAB所成的角，设SQ=l，PR=a，则PQ=3a，PQ=2a，AR=a，SR=l-a，由SQ2=SR2+RQ2