2020版高中数学 第一章 算法初步 1.1.1 算法的概念1课件 新人教A版必修3

1.1.1算法的概念1．通过回顾解二元一次方程组的方法，了解算法的思想．(重点)2．了解算法的含义和特征．(难点)3．会用自然语言表述简单的算法．(易错易混点)[基础·初探]教材整理1算法的概念12世纪的算法指的是用阿拉伯数字进行________的过程数学中的算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的____和_____的步骤现代算法通常可以编成__________，让计算机执行并解决问题算术运算明确有限计算机程序教材整理2算法的特征1．有限性：一个算法的步骤序列是_______的，必须在_______操作之后停止，不能是_______的．2．确定性：算法中的每一步应该是_______的并且能有效地执行且得到_______的结果，而不应当模棱两可．3．顺序性与正确性：算法从初始步骤开始，分为若干明确的步骤，每一个步骤只能有一个确定的后续步骤，前一步是后一步的前提，只有执行完前一步才能进行下一步，并且每一步都准确无误，才能完成问题．有限有限无限确定确定4．不唯一性：求解某一问题的解法不一定是______的，对于同一个问题可以有______的算法．5．普遍性：很多具体的问题，都可以设计合理的算法去解决，如心算、计算器计算都要经过有限、事先设计好的步骤加以解决．唯一不同教材整理3算法与计算机1．算法设计的目的计算机解决任何问题都要依赖于______，只有将解决问题的过程分解为若干个____________，即______，并用计算机能够接受的准确地描述出来，计算机才能够解决问题．算法明确的步骤算法“语言”2．算法设计的要求(1)设计的算法要适用于一类问题，并且遇到类似问题能够重复使用；(2)算法过程要做到能一步一步地执行，每一步执行的操作，必须是明确有效的，不能含糊不清；(3)所设计的算法必须在有限步后得到问题的结果，不能无限进行下去；(4)设计的算法的步骤应当是最简练的，即最优算法．3．算法与数学中的解法的联系和区别(1)联系：算法与解法是一般与特殊的关系，也是抽象与具体的关系，算法的获取要借助一般意义上具体问题的求解方法，而任何一个具体问题都可利用这类问题的一般方法解决．算法是“傻瓜化”的，相对于某一类问题的算法，不能省略任何一个小步骤，不能忽略任何一种可能的情况，否则计算机都不能完成执行过程，而只要按照算法一步一步进行，这类问题都会得到解决．加减乘除运算法则、多项式的运算法则以及我们学过的许多数学公式等都是算法．(2)区别：算法是解决某些问题所需要的程序和步骤的统称，也可以理解为数学中的“通法通解”；而解法是解决某一个具体问题的过程和步骤，是具体的解题过程．例1(1)下列描述不能看作算法的是()A．做米饭需要刷锅，淘米，添水，加热这些步骤B．洗衣机的使用说明书C．解方程2x2＋x－1＝0D．利用公式S＝πr2计算半径为4的圆的面积，就是计算π×42类型1算法的概念(2)下列关于算法的说法：①求解某一类问题的算法是唯一的；②算法的每一步操作必须是明确的，不能有歧义或模糊；③算法执行后一定产生明确的结果．其中正确的是()A．1个B．2个C．3个D．0个【解析】(1)A，B，D都描述了解决问题的过程，可以看作算法，而C只描述了一个事实，没说明怎么解决问题，不是算法．(2)根据算法的特征可以知道，算法要有明确的开始与结束，每一步操作都必须是明确而有效的，必须在有限步内得到明确的结果，所以②③正确．而解决某一类问题的算法不一定是唯一的，故①错误．【答案】(1)C(2)B[再练一题]1．下列叙述中，①植树需要运苗、挖坑、栽苗、浇水这些步骤；②按顺序进行下列运算：1＋1＝2，2＋1＝3，3＋1＝4，…，99＋1＝100；③从青岛乘动车到济南，再从济南乘飞机到南京观看全运会；④3xx＋1；⑤求所有能被3整除的正数，即3，6，9，12，…能称为算法的有________．【解析】根据算法的含义和特征：①②③都是算法；④⑤不是算法．其中④，3xx＋1不是一个明确的步骤，不符合确定性；⑤的步骤是无穷的，与算法的有限性矛盾．【答案】①②③例2(1)设计一个算法，判断7是否为质数．(2)设计一个算法，判断35是否为质数.类型2算法的设计解:(1)第一步，用2除7，得到余数1，所以2不能整除7.第二步，用3除7，得到余数1，所以3不能整除7.第三步，用4除7，得到余数3，所以4不能整除7.第四步，用5除7，得到余数2，所以5不能整除7.第五步，用6除7，得到余数1，所以6不能整除7.因此，7是质数．(2)第一步，用2除35，得到余数1，所以2不能整除35.第二步，用3除35，得到余数2，所以3不能整除35.第三步，用4除35，得到余数3，所以4不能整除35.第四步，用5除35，得到余数0，所以5能整除35.因此，35不是质数．[再练一题]2．判断一个大于2的整数是否为质数的算法步骤如何设计？解:第一步，给定一个大于2的整数n.第二步，令i＝2.第三步，用i除n，得到余数r.第四步，判断“r＝0”是否成立．若是，则n不是质数，结束算法；否则，将i的值增加1，仍用i表示．第五步，判断“in－1”是否成立．若是，则n是质数，结束算法；否则，返回第三步．例3设计算法，给定任一x的值，求y的值，其中y＝2x－1，x≤0，x2＋1，x0.解：第一步，输入x的值．第二步，判断x是否大于零，若x0，执行第三步；否则，执行第四步．第三步，计算y＝x2＋1的值，转去执行第五步．第四步，计算y＝2x－1的值．第五步，输出y的值．类型3算法的应用[再练一题]3．已知y＝－x＋1，x＞0，0，x＝0，x＋1，x＜0.写出给定变量x的值，求函数值y的算法．解:算法如下：第一步，输入x的值．第二步，若x＞0，则y＝－x＋1，然后执行第四步；否则执行第三步．第三步，若x＝0，则y＝0；然后执行第四步，否则y＝x＋1.第四步，输出y的值．[探究共研型]探究1是不是任何一个算法都有明确的结果？【提示】是．因为算法的步骤是明确的，有时可能需要大量重复的计算，但只要按部就班地去做，总能得到确定的结果．探究2算法的书写步数等同于算法的执行步数吗？【提示】在算法构造中会出现步骤的重复使用，也就是说算法的执行步数大于等于算法的书写步数，很有可能书写的步数较少而要执行的步数很多，但不可以无限．探究点算法的概念与特征探究3书写算法时，能使用“……”、“同理”、“类似地”等词语吗？【提示】不能．书写算法时，要注意算法的确定性，步骤要清晰、明确，“……”、“同理”、“类似地”等所代表的部分是无法执行的．探究4一个具体问题的算法唯一吗？【提示】一个具体问题的算法不唯一．如解二元一次方程组的算法就有消元法、代入法两种．由于传统数学问题的解法不唯一，使得求解某一个问题的算法也不唯一．探究5描述算法的方式唯一吗？【提示】描述算法可以有不同的方式．例如，可以用自然语言和数学语言加以叙述，后面还会学习用程序设计语言给出精确的说明，或者用框图直观地显示算法的全貌．探究6写算法应该注意什么？【提示】算法就是解决问题的步骤，平时无论我们做什么事都离不开算法，算法的描述可以用自然语言，也可以用数学语言．[构建·体系]1．下列关于算法的说法中正确的个数有()①求解某一类问题的算法是唯一的；②算法必须在有限步骤操作之后停止；③x2－x＞2是一个算法；④算法执行后一定产生确定的结果；⑤对于像“喝一碗水”这类含有动作的语言能出现在算法的一个步骤中．A．1个B．2个C．3个D．4个当堂检测【解析】因为x2－x＞2仅仅是一个数学问题，不能表达一个算法，所以③是错误的．依据算法的多样性(不唯一性)知①错误，由算法的有限性知②正确，由于算法具有可执行性，算法的每一步必须是计算机能执行的，所以⑤是错误的，正确的有②④.【答案】B2．结合下面的算法：第一步，输入x.第二步，判断x是否小于0.若是，则输出x＋2，否则执行第三步．第三步，输出x－1.当输入的x的值为－1，0，1时，输出的结果分别为()A．－1，0，1B．－1，1，0C．1，－1，0D．0，－1，1【解析】根据x值与0的关系，选择执行不同的步骤．当x＝－1时，输出x＋2，即输出1；当x＝0时，输出x－1，即输出－1；当x＝1时，输出x－1，即输出0.【答案】C3．输入一个x值，利用y＝|x＋1|求函数值的算法如下，请将所缺部分补充完整：第一步，输入x；第二步，________；第三步，计算y＝－x－1；第四步，输出y.【解析】含绝对值的函数的函数值的算法要注意分类讨论思想的应用，本题中当x≥－1时y＝x＋1；当x＜－1时y＝－x－1，由此可完善算法．【答案】当x≥－1时，计算y＝x＋1，否则执行第三步4．设计一个算法，求表面积为16π的球的体积．解：算法一：第一步，取S＝16π.第二步，计算R＝S4π(由于S＝4πR2)．第三步，计算V＝43πR3.第四步，输出运算结果．算法二：第一步，取S＝16π.第二步，计算V＝43πS4π3.第三步，输出运算结果．