2020版高中数学 第一章 计数原理本章整合课件 新人教A版选修2-3

-1-本章整合知识建构综合应用真题放送计数原理计数原理分类加法计数原理分步乘法计数原理排列、组合排列排列的定义:从𝑛个不同元素中取出𝑚(𝑚≤𝑛)个元素,按照一定的顺序排成一列排列数公式:A𝑛𝑚=𝑛(𝑛-1)(𝑛-2)…(𝑛-𝑚+1)=𝑛!(𝑛-𝑚)!排列的应用组合组合的定义:从𝑛个不同元素中取出𝑚(𝑚≤𝑛)个元素合成一组组合数公式:C𝑛𝑚=𝑛(𝑛-1)(𝑛-2)…(𝑛-𝑚+1)𝑚!=𝑛!𝑚!(𝑛-𝑚)!组合数性质:C𝑛𝑚=C𝑛𝑛-𝑚;C𝑛+1𝑚=C𝑛𝑚+C𝑛𝑚-1组合的应用二项式定理二项式定理:(𝑎+𝑏)𝑛=C𝑛0𝑎𝑛+C𝑛1𝑎𝑛-1𝑏+…+C𝑛𝑘𝑎𝑛-𝑘𝑏𝑘+…+C𝑛𝑛𝑏𝑛二项展开式通项:𝑇𝑘+1=C𝑛𝑘𝑎𝑛-𝑘𝑏𝑘“杨辉三角”与二项式系数的性质对称性增减性、最大值各二项式系数的和:C𝑛0+C𝑛1+C𝑛2+…+C𝑛𝑛=2𝑛知识建构综合应用真题放送专题一专题二专题三专题一重复元素的排列、组合问题常见的排列、组合问题,其中的元素通常是不可重复的,那么遇到有重复元素的排列、组合问题时,该如何求解呢?(1)一般地,从n个不同元素里有放回地取出m(m≤n)个元素(允许重复出现),按一定顺序排成一列,那么第1次、第2次、……第m次选取元素的方法都有n种,由分步乘法计数原理得,从n个不同元素里有放回地取出m个元素(允许重复出现)的排列数为N=n·n·n·…·n=nm(m,n∈N*,m≤n).(2)“隔板法”是解决组合问题中关于若干个相同元素的分组问题的一种常用方法,用这种方法解决此类问题,过程简洁明了,富有创意性和趣味性.这类问题的类型就是把n(n≥1)个相同的元素分配到m(1≤m≤n)个不同的组,使得每组中都至少有一个元素,求一共有多少种不同的分法的问题.知识建构综合应用真题放送专题一专题二专题三应用1设4名同学报名参加同一时间安排的三种课外活动的方案有a种,4名女同学在运动会上共同争夺跳高、跳远、铅球这三项比赛的冠军的结果有b种,则(a,b)为()A.(34,43)B.(33,34)提示:遇到元素重复的问题,往往用分步乘法计数原理求解,但要搞清“主次”对象.本题的前半部分题意是“人报名”,后半部分题意是“冠军归属人”.解析:每名学生报名有3种选择,4名学生报名就有34种选择,每项冠军归属结果有4种可能,3项冠军则有43种可能结果.答案:AC.(43,34)D.(A43,A43)知识建构综合应用真题放送专题一专题二专题三应用2乒乓球比赛用球的直径为40.00mm,一种乒乓球筒高200mm,现有4个乒乓球筒(除颜色不同外其他相同),要将5个比赛用球放到4个乒乓球筒里(乒乓球筒可以空着),共有多少种不同的放法?提示:由题意,一个乒乓球筒最多可放5个比赛用球.本题属于相同元素分组的问题,可分类讨论也可用隔板法.知识建构综合应用真题放送专题一专题二专题三解:200÷40=5(个),即一个乒乓球筒中最多可装5个乒乓球.方法一:分类法第一类:全部放入1个乒乓球筒里,有C41=4种放法;第二类:放入2个乒乓球筒里,有C42×4=24种放法;第三类:放入3个乒乓球筒里,有C43×6=24种放法;第四类:放入4个乒乓球筒里,有4种放法.所以,不同的放法种数为4+24+24+4=56.方法二:隔板法将4个乒乓球筒与5个乒乓球看成9个相同元素,除去两边共形成了8个空隙,在这8个空隙中放进3个隔板,即有C83=56种不同的放法.知识建构综合应用真题放送专题一专题二专题三专题二排列与组合中元素的相邻与不相邻问题求解排列与组合中元素“相邻”和“不相邻”的问题,应遵循“先整体,后局部”的原则.(1)元素不相邻问题,一般用“插空法”,先将不相邻元素以外的“普通”元素全排列,再在“普通”元素之间或两端将需要不相邻的元素插入.(2)元素相邻问题,一般用“捆绑法”,先将相邻的若干元素捆绑为一个大元素,再与其他元素全排列,最后松绑,将这若干个元素内部全排列.知识建构综合应用真题放送专题一专题二专题三应用1学校举行数学模块考试,最后一个考场只有6名学生,其中有4名文科生和2名理科生,要求把这6名学生排成一列,最后一名必须是理科生,且2名理科生不能相邻,则教务员安排考场时不同的安排方法有()A.720种B.48种C.96种D.192种提示:由于2名理科生不能相邻,故可用插空法求解.答案:D解析:先将4名文科生全排有A44种排法,再从2名理科生中任选一名放在最后,有C21种排法,最后将剩下的1名理科生插空(不能与最后一名相邻)有C41种排法,因此,一共有A44C21C41=192种不同的排法.知识建构综合应用真题放送专题一专题二专题三应用27名学生站成一排,若甲、乙相邻,但都不和丙相邻,则有种不同的排法.提示:本题既有相邻问题也有不相邻问题,故是捆绑法与插空法的综合应用.答案:960解析:先将甲、乙捆绑,看作一个元素,有A22种排法,然后将除甲、乙、丙之外的4名学生全排列,有A44种不同的排法,再将甲、乙、丙插入5个空中的两个,有A52种不同的排法,因此,一共有A22A44A52=960种不同排法.知识建构综合应用真题放送专题一专题二专题三专题三赋值法在二项展开式中的应用“赋值法”是给代数式(或方程或函数)表达式中的某些字母赋予一定的特殊值,从而达到便于问题解决的目的.实际上赋值法中所体现的是从一般到特殊的转化思想,特别是在二项式定理中的应用尤为广泛.一般令x=-1,0,1等,代入等式两边,便可以求解,其中赋予x何值是解题的关键.利用赋值法还可以分离展开式的系数和,从而解决部分系数和的问题.一般地,对于多项式f(x)=(px+q)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,f(x)的各项的系数和为f(1);f(x)的奇数项的系数和为12[f(1)+f(-1)];f(x)的偶数项的系数和为12[f(1)-f(-1)].知识建构综合应用真题放送专题一专题二专题三应用(1+ax+by)n展开式中不含x的项的系数的绝对值的和为243,不含y的项的系数的绝对值的和为32,则a,b,n的值可能为()A.a=2,b=-1,n=5B.a=-2,b=-1,n=6C.a=-1,b=2,n=6D.a=1,b=2,n=5提示:对于(1+ax+by)n,虽然我们没有学过三项展开式,但所谓“不含x的项”,只需令(1+ax+by)n中a=0即可,“不含y的项”也只需令b=0.这样三项展开式就变成了二项展开式,又可以用我们所熟悉的二项式的性质来解题了.解析:令a=0,y=1,则(1+b)n=243=35;令b=0,x=1,则(1+a)n=32=25,则可取a=1,b=2,n=5,故选D.答案:D知识建构综合应用真题放送2341567891.(2016·全国甲高考)如图,小明从街道的E处出发,先到F处与小红会合,再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为()A.24B.18C.12D.9解析:由题意知,小明从街道的E处出发到F处的最短路径有6条,再从F处到G处的最短路径有3条,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为6×3=18,故选B.答案:B101112知识建构综合应用真题放送2341567892.(2016·四川高考)用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中奇数的个数为()A.24B.48C.60D.72解析:由题意,要组成没有重复的五位奇数,则个位数应该为1,3,5,其他位置共有答案:DA44种排法,所以其中奇数的个数为3A44=72,故选D.101112知识建构综合应用真题放送2341567891011123(2017·全国Ⅱ高考)安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1项,每项工作由1人完成,则不同的安排方式共有()A.12种B.18种C.24种D.36种解析:先把4项工作分成3份有C42C21C11A22种情况,再把3名志愿者排列有A33种情况,故不同的安排方式共有C42C21C11A22·A33=36种,故选D.答案:D知识建构综合应用真题放送2341567891011124(2018·全国Ⅲ高考)𝑥2+2𝑥5的展开式中𝑥4的系数为()A.10B.20C.40D.80解析:由展开式知Tr+1=C5𝑟(𝑥2)5−𝑟(2𝑥−1)𝑟=C5𝑟2𝑟𝑥10−3𝑟.当r=2时,x4的系数为C5222=40.答案:C知识建构综合应用真题放送2341567891011125(2017·全国Ⅲ高考)(x+y)(2x-y)5的展开式中x3y3的系数为()A.-80B.-40C.40D.80解析:(2x-y)5的展开式的通项公式Tr+1=C5𝑟(2𝑥)5−𝑟(−𝑦)𝑟.当r=3时,x(2x-y)5的展开式中x3y3的系数为C53×22×(−1)3=−40;当r=2时,y(2x-y)5的展开式中x3y3的系数为C52×23×(−1)2=80.故展开式中x3y3的系数为80-40=40.答案:C知识建构综合应用真题放送2341567891011126(2017·全国Ⅰ高考)1+1𝑥2(1+𝑥)6展开式中𝑥2的系数为()A.15B.20C.30D.35解析:方法一:1+1𝑥2(1+𝑥)6=1·(1+x)6+1𝑥2·(1+x)6,(1+x)6的展开式中的x2的系数为C62=6×52=15,1𝑥2·(1+x)6的展开式中的x2的系数为C64=15,所以x2的系数为15+15=30.方法二:(1+x)6的二项展开式通项为Tr+1=C6𝑟𝑥𝑟,1+1𝑥21+𝑥6的展开式中含x2的项的来源有两部分,一部分是1×C62𝑥2=15𝑥2,另一部分是1𝑥2×C64𝑥4=15𝑥2,故1+1𝑥21+𝑥6的展开式中含x2的项为15x2+15x2=30x2,其系数是30.答案:C知识建构综合应用真题放送2341567891011127(2018·全国Ⅰ高考)从2位女生,4位男生中选3人参加科技比赛,且至少有1位女生入选,则不同的选法共有种.(用数字填写答案)解析:方法一:①当3人中恰有1位女生时,有C21C42=12种选法.②当3人中有2位女生时,有C22C41=4种选法.故不同的选法共有12+4=16种.方法二:6人中选3人共有C63种选法,当3人全是男生时有C43种选法,所以至少有1位女生入选时有C63−C43=16种选法.答案:16知识建构综合应用真题放送2341567891011128(2018·浙江高考)二项式x3+12x8的展开式的常数项是_______.解析:二项式𝑥3+12𝑥8的通项为Tr+1=C8𝑟𝑥138-𝑟·12𝑥-1𝑟=12𝑟C8𝑟𝑥8-𝑟3-𝑟=12𝑟C8𝑟𝑥8-4𝑟3,当r=2时,8-4𝑟3=0.故展开式的常数项为122C82=14×8×72=7.答案:7知识建构综合应用真题放送2341567891011129(2018·天津高考)在𝑥-12𝑥5的展开式中,𝑥2的系数为______.解析:𝑥-12𝑥5的展开式的通项为Tr+1=C5𝑟𝑥5−𝑟-12𝑥𝑟=C5𝑟𝑥5−𝑟-12𝑟𝑥-𝑟2=-12𝑟C5𝑟𝑥5-3𝑟2.令5−3𝑟2=2,可得r=2.所以𝑥-12𝑥5的展开式中的x2的系数为-122C52=52.答案:52知识建构综合应用真题放送23415678910111210(2017·山东高考)已知(1+3x)n的展开式中含有x2项的系数是54,则n=.解析:二项展开式的通项Tr+1=C𝑛𝑟(3𝑥)𝑟=3𝑟·C𝑛𝑟·xr,令r=2,得32·C𝑛2=54,解得n=4.答案:4知识建构综合应用真题放送23415678910111211(2016·全国乙高考)(2x+𝑥)5的展开式中,𝑥3的系数是_______.(用数字填写答案)解析:二项式的通项