2020版高中数学 第一章 导数及其应用 1.2.1 几个常用函数的导数 1.2.2 基本初等函数的

-1-1.2.1几个常用函数的导数1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)目标导航1.会根据定义求函数y=f(x)=c,y=f(x)=x,y=f(x)=x2,y=f(x)=1𝑥,y=f(x)=𝑥的导数.2.掌握基本初等函数的导数公式,并能进行简单的应用.知识梳理1.几个常用函数的导数原函数导函数f(x)=c(c为常数)f'(x)=0f(x)=xf'(x)=1f(x)=x2f'(x)=2xf(x)=1xf'(x)=−1x2f(x)=xf'(x)=12x名师点拨这几个常见函数都是幂函数,其导数是求解其他函数导数的基础,应牢记.其中特别注意的是函数f(x)=1𝑥(或f(x)=x-1),其导数为f'(x)=−1𝑥2,而不是f'(x)=1𝑥2.知识梳理【做一做1】对于函数y=x2,其导数值等于原函数值的点是.解析:y'=2x,令2x=x2,解得x=0或x=2,所以满足条件的点是(0,0),(2,4).答案:(0,0),(2,4)知识梳理2.基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)=xα(α∈Q,α≠0)f'(x)=αxα-1f(x)=sinxf'(x)=cosxf(x)=cosxf'(x)=-sinxf(x)=axf'(x)=axlnaf(x)=exf'(x)=exf(x)=logaxf'(x)=1𝑥ln𝑎f(x)=lnxf'(x)=1𝑥知识梳理【做一做2】(1)若f(x)=x5,则f‘(x)=;(2)若f(x)=cosx,则f′π6=_________________;(3)若f(x)=1𝑥,则f'(x)=;(4)若f(x)=lnx,则f'(3)=.答案:(1)5x4(2)−12(3)−12𝑥3(4)13重难聚焦1.如何理解常数函数的导数为0的意义?剖析设f(x)=c,则f'(x)=0的几何意义为函数f(x)=c的图象上每一点处的切线的斜率都为0,其物理意义为若f(x)=c表示路程关于时间的函数,则f'(x)=0可以解释为某物体的瞬时速度始终为0,即一直处于静止状态.重难聚焦2.如何分类理解和记忆基本初等函数的导数公式?剖析基本初等函数的导数公式可分为四类:第一类为幂函数,y'=(xα)'=αxα-1(注意幂指数α可推广到全体实数);第二类为三角函数,可记为正弦函数的导数为余弦函数,余弦函数的导数为正弦函数的相反数;第三类为指数函数,y'=(ax)'=axlna,当a=e时,y=ex的导数是y'=(ax)'的一个特例;第四类为对数函数,y'=(logax)'=1𝑥ln𝑎,也可记为(logax)'=1𝑥·logae,当a=e时,y=lnx的导数是y=logax的导数的一个特例.对于公式(lnx)'=1𝑥,(ex)'=ex很好记,但记忆公式(logax)'=1𝑥ln𝑎,(ax)'=axlna比较难,特别是lna的位置易记混.应区分公式的结构特征,找出它们的差异,熟练记忆公式.典例透析题型一题型二题型三用求导公式求函数的导数【例1】求下列函数的导数:(1)y=10;(2)y=x10;(3)y=x23;(4)y=2sinx2cosx2;(5)y=3x;(6)y=log5x.分析:解答本题可先将解析式调整为基本初等函数的形式,再利用公式求导.解:(1)y'=10'=0.(2)y'=(x10)'=10x10-1=10x9.(3)y'=(x23)'=23𝑥23-1=23𝑥-13=23x3.(4)∵y=2sinx2cosx2=sinx,∴y'=(sinx)'=cosx.(5)y'=(3x)'=3xln3.(6)y'=(log5x)'=1x𝑙𝑛5.典例透析题型一题型二题型三反思求简单函数的导函数有两种基本方法:(1)利用导数的定义求导,但运算比较复杂;(2)利用导数公式求导,可以简化运算过程、降低运算难度.在解题时,应先根据所给问题的特征,将题中的函数化为基本初等函数,再选择合适的求导公式求解.典例透析题型一题型二题型三【变式训练1】求下列函数的导数:(1)y=x-5;(2)y=4x;(3)y=𝑥𝑥𝑥;(4)y=log7x;(5)y=sinπ2+𝑥.解:(1)y'=-5x-6.(2)y'=4xln4.(3)∵y=𝑥12·𝑥14·𝑥18=𝑥78,∴y'=78𝑥-18.(4)y'=1𝑥ln7.(5)∵y=sinπ2+𝑥=cosx,∴y'=-sinx.典例透析题型一题型二题型三求导公式的应用【例2】(1)已知f(x)=x3,g(x)=ex,则f'[g'(-1)]=;(2)函数f(x)=cos2𝑥2−sin2𝑥2的图象上任意一点处的切线的倾斜角的取值范围是_________________.解析:(1)因为f(x)=x3,g(x)=ex,所以f'(x)=3x2,g'(x)=ex,所以g'(-1)=1e,故f'[g'(-1)]=f′1e=3e2.(2)因为f(x)=cos2𝑥2−sin2𝑥2=cosx,所以f'(x)=-sinx.设P(x0,y0)是函数f(x)的图象上任意一点,则点P处的切线的斜率k=f'(x0)=-sinx0∈[-1,1].设切线的倾斜角为θ,则-1≤tanθ≤1,于是θ∈0,π4∪3π4,π.典例透析题型一题型二题型三答案:(1)3e2(2)0,π4∪3π4,π反思求函数在某一点处的导数,需要先对原函数进行求导,再将变量值代入导函数求解.典例透析题型一题型二题型三【变式训练2】过原点作曲线y=ex的切线,求切点的坐标及切线的斜率.解:因为(ex)'=ex,设切点坐标为(x0,e𝑥0),则过该切点的直线的斜率为e𝑥0,所以所求切线方程为y−e𝑥0=e𝑥0(x-x0).因为切线过原点,所以−e𝑥0=−𝑥0·e𝑥0,x0=1.所以切点的坐标为(1,e),切线的斜率为e.典例透析题型一题型二题型三导数的综合应用【例3】已知直线x-2y-4=0与抛物线y2=x相交于A,B两点,O是坐标原点,试在x轴上方抛物线弧OA上求一点P,使△ABP的面积最大.分析:解答本题的关键是在x轴上方抛物线弧OA上寻求到直线x-2y-4=0的距离最大的点P,可考虑用切线或直接用点到直线的距离公式求解.典例透析题型一题型二题型三解:(方法一)因为|AB|为定值,所以要使△ABP的面积最大,只要点P到直线AB的距离最大,即只要点P是抛物线弧OA上平行于AB的切线的切点即可.设P(x0,y0),由题意知,点P在x轴的上方,所以y=𝑥(x0),所以y'=12𝑥.因为kAB=12,所以12𝑥0=12,x0=1.由y2=x(y0),得y0=1,所以点P的坐标为(1,1).典例透析题型一题型二题型三(方法二)设𝑃𝑦02,𝑦0,因为|AB|为定值,所以要使△ABP的面积最大,只要使点P到直线AB:x-2y-4=0的距离最大即可.设点P到直线AB的距离为d,则d=|𝑦02-2𝑦0-4|5=15|(y0-1)2-5|.联立𝑥-2𝑦-4=0,𝑦2=𝑥,消去x,解得y=1±5.𝑦0∈(0,1+5].所以当y0=1时,d最大,此时△ABP的面积最大,所以点P的坐标为(1,1).反思利用基本初等函数的求导公式,结合导数的几何意义可以解决一些与距离、面积相关的最值问题.解题的关键是正确确定所求切线的位置,进而求出切点坐标.另外也可利用函数求最值的方法确定点P的坐标.典例透析题型一题型二题型三【变式训练3】设点P是曲线y=ex上的任意一点,求点P到直线y=x的最小距离.解:根据题意,设平行于直线y=x的直线与曲线y=ex相切于点P(x0,y0),该切点即为到直线y=x距离最近的点,如图所示.则曲线y=ex在点P(x0,y0)处的切线的斜率为1,即y′|𝑥=𝑥0=1.因为y'=(ex)'=ex,所以e𝑥0=1,得x0=0,代入y=ex,得y0=1,即P(0,1).利用点到直线的距离公式得点P到直线y=x的最小距离为|0-1|2=22.典例透析