2020版高中数学 第一讲 坐标系 1.2 极坐标系课件 新人教A版选修4-4

-1-二极坐标系ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航1.理解极坐标系的概念.2.能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置,体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别.3.掌握极坐标和直角坐标的互化公式,能进行极坐标和直角坐标的互化.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航1.极坐标系的概念在平面内取一个定点O,叫做极点;自极点O引一条射线Ox,叫做极轴;再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.2.极坐标的表示(1)对于平面内任意一点M,极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径,记为ρ;以极轴Ox为始边,射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角,记为θ.有序数对(ρ,θ)叫做点M的极坐标,记为M(ρ,θ).一般地,不作特殊说明时,我们认为ρ≥0,θ可取任意实数.(2)一般地,极坐标(ρ,θ)与(ρ,θ+2kπ)(k∈Z)表示同一个点.特别地,极点O的坐标为(0,θ)(θ∈R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示.如果规定ρ0,0≤θ2π,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标(ρ,θ)表示;同时,极坐标(ρ,θ)表示的点也是唯一确定的.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航【做一做1-1】若ρ1=ρ2≠0,θ1+θ2=0,则点M1(ρ1,θ1)与点M2(ρ2,θ2)的位置关系是()A.关于极轴所在的直线对称B.关于极点对称C.关于过极点且垂直于极轴的直线对称D.两点重合答案:AZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航【做一做1-2】关于极坐标系的下列叙述:①极轴是一条射线;②极点的极坐标是(0,0);③点(0,0)表示极点;④点𝑀4,π4与点𝑁4,5π4表示同一个点;⑤动点M(5,θ)(θ∈R)的轨迹是以极点为圆心,以5为半径的圆.其中,叙述正确的序号是.解析:设极点为O,极轴就是射线Ox,①正确;极点O的极径ρ=0,极角θ是任意实数,极点的极坐标应为(0,θ)(θ∈R),②错误;给定极坐标(0,0),可以在极坐标平面内确定唯一的一点,即极点,③正确;点M与点N的极角分别是θ1=π4,𝜃2=5π4,二者的终边互为反向延长线,④错误;由于动点M(5,θ)(θ∈R)的极径ρ=5,极角是任意角,故点M的轨迹是以极点O为圆心,以5为半径的圆,⑤正确.答案:①③⑤ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航3.极坐标和直角坐标的互化(1)互化的前提条件①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合;②极轴与x轴的正半轴重合;③在两种坐标系中取相同的长度单位.(2)互化公式①极坐标化为直角坐标𝑥=𝜌cos𝜃,𝑦=𝜌sin𝜃;②直角坐标化为极坐标𝜌2=𝑥2+𝑦2,tan𝜃=𝑦𝑥(𝑥≠0).ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航名师点拨1.极坐标与直角坐标的互化,常用方法有代入法、平方法等.2.在通常情况下,由tanθ确定角θ时,应根据点P所在象限取最小正角.在这里要注意:当x≠0时,角θ才能由tanθ=𝑦𝑥按上述方法确定.当x=0时,又分三种情况:(1)当x=0,y=0时,θ可取任何值;(2)当x=0,y0时,可取θ=π2;(3)当x=0,y0时,可取θ=3π2.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航【做一做2-1】若点P的直角坐标为(−2,2),则它的极坐标可以是()A.2,π4B.2,3π4C.2,5π4D.2,7π4答案:B【做一做2-2】将极坐标2,3π2化为直角坐标为()A.(0,2)B.(0,-2)C.(2,0)D.(-2,0)答案:BZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航1.极坐标系的四要素剖析极坐标系的四要素:(1)极点;(2)极轴;(3)长度单位;(4)角度单位和它的正方向,四者缺一不可.极轴是以极点为端点的一条射线,它与极轴所在的直线是有区别的;极角θ的始边是极轴,它的终边随着θ的大小和正负而位于不同的位置;θ的正方向通常取逆时针方向,θ的值一般是以弧度为单位(但不作机械规定);点M的极径ρ表示点M与极点O的距离|OM|,因此ρ≥0.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航2.极坐标和直角坐标的相同点和不同点剖析极坐标系是用距离和角度来表示平面上点的位置的坐标系,它由极点O与极轴Ox组成.坐标系中的点的坐标用有序实数对(ρ,θ)(ρ≥0)表示.平面直角坐标系是在数轴的基础上发展起来的,首先定义原点,接着用两条互相垂直的直线分别构成x轴和y轴,点的坐标用有序实数对(x,y)表示.在平面直角坐标系中,点与有序实数对即坐标(x,y)是一一对应的,但在极坐标系中,显然一个有序实数对(ρ,θ)只能与一个点对应,但一个点P却可以与无数个有序实数对(ρ,θ)对应,也就是说平面上一点的极坐标是不唯一的,极坐标系中的点与有序实数对(ρ,θ)不是一一对应的.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三极坐标系中点的表示【例1】写出图中各点的极坐标,其中ρ≥0,θ∈[0,2π).分析:欲确定点的位置,需先确定ρ和θ的值.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三解:由点A在极坐标系中的位置知,它的极径为4,极角为0,所以它的极坐标为A(4,0).同理可得𝐵2,π4,𝐶3,π2,𝐷1,5π6,𝐸4,π,𝐹6,4π3,𝐺5,5π3,而极点O的坐标为(0,θ),θ∈[0,2π).反思1.写点的极坐标要注意顺序:极径ρ在前,极角θ在后,不能把顺序颠倒了.2.点的极坐标是不唯一的,若题目条件中含有ρ≥0,0≤θ2π,则除极点外,点的极坐标是唯一的.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三【变式训练1】在极坐标系中,画出点𝐴1,π4,𝐵2,3π2,𝐶3,-π4,𝐷4,9π4.解:在极坐标系中作出角π4的终边所在的射线,再在射线上截取|OA|=1,这样可得到点𝐴1,π4.同样可作出点𝐵2,3π2,𝐶3,-π4,𝐷4,9π4,如图所示.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三对称问题【例2】已知𝑄2,4π15,分别求满足下列条件的点的极坐标(规定:𝜌0,0≤θ2π):(1)P1是点Q关于极点O的对称点;(2)P2是点Q关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点;(3)P3是点Q关于极轴的对称点.分析:找准对称问题中的关键,极径不变,极角根据条件数形结合求解.解:(1)P12,19π15.(2)P22,11π15.(3)P32,26π15.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三反思在点与点的位置关系中,(ρ,θ)关于极点的对称点为(ρ,θ+π+2kπ)(k∈Z);关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点为(ρ,π-θ+2kπ)(k∈Z);关于极轴的对称点为(ρ,-θ+2kπ)(k∈Z).ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三【变式训练2】若点M的极坐标是2,-π6,则它关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点的极坐标可以是()A.2,11π6B.2,7π6C.2,5π6D.2,-11π6解析:如图,描点2,-π6时,先找到角−π6的终边,再在该终边上找到离极点2个单位长度的点即是点2,-π6.设点M关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点为M',则有|OM'|=|OM|=2.在[0,2π)内,∠xOM'=7π6,所以点M'的极坐标可以为2,7π6,故选B.答案:BZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三极坐标与直角坐标的互化【例3】(1)将下列各点的极坐标化为直角坐标:①2,π4;②6,-π3;③(5,π).(2)将下列各点的直角坐标化为极坐标(ρ0,0≤θ2π):①(3,3);②(−1,−1);③(−3,0).分析:根据极坐标与直角坐标的互化公式𝑥=𝜌cos𝜃,𝑦=𝜌sin𝜃及𝜌2=𝑥2+𝑦2,tan𝜃=𝑦𝑥(𝑥≠0)进行求解.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三解:(1)设所求点的直角坐标为(x,y).①因为yx=2·cosπ4=1,𝑦=2·sinπ4=1,所以点2,π4的直角坐标为(1,1).②因为x=6·cos-π3=3,y=6·sin-π3=−33,所以点6,-π3的直角坐标为(3,-33).③因为x=5·cosπ=-5,y=5·sinπ=0,所以点(5,π)的直角坐标为(-5,0).ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三(2)设所求点的极坐标为(ρ,θ).①ρ=(3)2+32=23,tan𝜃=33=3.因为点(3,3)在第一象限,所以θ=π3.故点(3,3)的极坐标为23,π3.②ρ=(-1)2+(-1)2=2,tanθ=1.因为点(-1,-1)在第三象限,所以θ=5π4.故点(-1,-1)的极坐标为2,5π4.③ρ=(-3)2+02=3,极角为π,所以点(-3,0)的极坐标为(3,π).ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三【变式训练3】(1)将下列各点的极坐标化为直角坐标:①8,2π3;②4,11π6;③(2,−π).(2)将下列各点的直角坐标化为极坐标(ρ0,0≤θ2π):①(-53,5);②(7,−7);③(0,−15).解:(1)设所求点的直角坐标为(x,y).①因为x=8·cos2π3=−4,𝑦=8·sin2π3=43,所以点8,2π3的直角坐标为(-4,43).②因为x=4·cos11π6=23,𝑦=4·sin11π6=