2020版高中数学 第一讲 坐标系 1.1 平面直角坐标系课件 新人教A版选修4-4

-1-第一讲坐标系-2-一平面直角坐标系ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航1.回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法,体会坐标系的作用.2.通过具体实例,了解在伸缩变换作用下平面图形的变化情况.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航1.平面直角坐标系(1)平面直角坐标系的作用:使平面上的点与坐标(有序实数对)、曲线与方程建立了联系,从而实现了数与形的结合.(2)坐标法:根据几何对象的特征,选择适当的坐标系,建立它的方程,通过方程研究它的性质及与其他几何图形的关系.名师点拨坐标法解决几何问题的“三步曲”:第一步:建立适当的坐标系,用坐标和方程表示问题中涉及的几何元素,将几何问题转化成代数问题;第二步:通过代数运算,解决代数问题;第三步:把代数运算结果“翻译”成几何结论.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航【做一做1-1】若平行四边形ABCD的顶点为A(0,0),B(0,b),C(a,c),则第四个顶点D的坐标是()A.(a,b+c)B.(-a,b+c)C.(a,c-b)D.(-a,b-c)解析:设点D(x,y),由题意知𝐴𝐵=𝐷𝐶,即(0,b)=(a-x,c-y),所以x=a,y=c-b.所以顶点D的坐标为(a,c-b).答案:CZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航【做一做1-2】已知平行四边形ABCD,建立适当的平面直角坐标系,求证:|AC|2+|BD|2=2(|AB|2+|AD|2).证明:以边AB所在的直线为x轴,过点A的x轴的垂线为y轴,建立如图所示的平面直角坐标系xOy,则A(0,0).设B(a,0),C(b,c),则由平行四边形的性质知D(b-a,c),∴|AB|2=a2,|AD|2=(b-a)2+c2,|AC|2=b2+c2,|BD|2=(b-2a)2+c2.∵|AC|2+|BD|2=4a2+2b2+2c2-4ab=2(2a2+b2+c2-2ab),而|AB|2+|AD|2=2a2+b2+c2-2ab,∴|AC|2+|BD|2=2(|AB|2+|AD|2).ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航2.平面直角坐标系中的伸缩变换(2)在平面直角坐标系中,方程表示图形,则平面图形的伸缩变换就可归结为坐标的伸缩变换,即用代数方法研究几何变换.(1)在平面直角坐标系中的坐标伸缩变换:设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换φ:𝑥’=𝜆𝑥(𝜆0),𝑦’=𝜇𝑦(𝜇0)的作用下,点𝑃𝑥,𝑦对应到点𝑃′𝑥′,𝑦′,称𝜑为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航【做一做2-1】在同一平面直角坐标系中,若正弦曲线y=sinx变成曲线y=12sin12𝑥,则满足条件的伸缩变换是()A.将横坐标缩为原来的12,纵坐标也缩为原来的12B.将横坐标缩为原来的12,纵坐标伸长为原来的2倍C.将横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标也伸长为原来的2倍D.将横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标缩为原来的12答案:DZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航A.y'=cosx'B.y'=3cos12𝑥′C.y'=2cos13𝑥′D.𝑦′=12cos3𝑥′【做一做2-2】将曲线y=13cos2𝑥作如下变换:𝑥’=2𝑥,𝑦’=3𝑦,则得到的曲线方程为()解析:由𝑥'=2𝑥,𝑦'=3𝑦,得𝑥=𝑥'2,𝑦=𝑦'3.将其代入y=13cos2x,得𝑦'3=13cosx'.所以y'=cosx'.答案:AZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航建立平面直角坐标系的方法剖析一般情况下,建立平面直角坐标系的方法如下:(1)当题目中有两条互相垂直的直线时,以这两条直线为坐标轴建立平面直角坐标系;(2)当题目中有轴对称图形时,以轴对称图形的对称轴为坐标轴建立平面直角坐标系;(3)当题目中有已知长度的线段时,以线段所在的直线为x轴,以其端点或中点为原点建立平面直角坐标系.在建立平面直角坐标系时,应使图形上的特殊点尽可能多地落在坐标轴上.平面直角坐标系建成后,需仔细分析曲线的特征,注意揭示隐含条件.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四用平面直角坐标系解决实际问题【例1】如图,点A,B,C表示三个观察站,A观察站在B观察站的正东方向,两地相距6km,C观察站在B观察站的北偏西30°方向,两地相距4km.在某一时刻,A观察站发现某种信号,并知道该信号的传播速度为1km/s,4s后,B,C两个观察站同时发现这种信号.在以过A,B两点的直线为x轴,以线段AB的垂直平分线为y轴建立的平面直角坐标系中,求发出这种信号的点P的坐标.分析:由题意可知,点P所在的位置满足两个条件:(1)在线段BC的垂直平分线上;(2)在以A,B为焦点的双曲线的右支上.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四解:设点P的坐标为(x,y),则A(3,0),B(-3,0),C(-5,23).因为|PB|=|PC|,所以点P在线段BC的垂直平分线上.因为kBC=−3,线段BC的中点D的坐标为(-4,3),所以直线PD的方程为y−3=13(𝑥+4).①又因为|PB|-|PA|=4,所以点P必在以A,B为焦点的双曲线的右支上,且双曲线的方程为𝑥24−𝑦25=1(𝑥≥2).②联立①②,解得x=8或x=−3211(舍去).当x=8时,y=53.所以点P的坐标为(8,53).ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四反思合理建立平面直角坐标系是解决此类问题的关键.如果坐标系建立的巧妙,那么就可以简化计算,并且使问题的结论清晰明了,反之,将会带来计算的烦琐.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四【变式训练1】已知B村位于A村的正西方向1km处,原计划经过B村沿着北偏东60°的方向埋设一条地下管线m,但在A村的西北方向400m处,发现一处古代文物遗址W.根据初步勘察的结果,文物管理部门将遗址W周围100m的范围划为禁区.建立适当的平面直角坐标系,试问:埋设地下管线m的计划需要修改吗?ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四解:建立如图所示的平面直角坐标系,得W(-2002,2002).由直线m经过点B,且倾斜角为90°-60°=30°,得直线m的方程是x−3𝑦+1000=0.于是,点W到直线m的距离为为|-2002-3×2002+1000|2=100×(5−2−6)≈113.6(m).因为113.6m100m,所以埋设地下管线m的计划不需要修改.则A(0,0),B(-1000,0).由W位于A的西北方向及|AW|=400m,ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四平面直角坐标系中的轨迹问题【例2】已知△ABC的顶点A固定,角A的对边BC的长是2a,边BC上的高的长是b,边BC沿一条直线移动,试建立适当的平面直角坐标系,求△ABC外心的轨迹方程.解:以边BC所在的直线为x轴,过点A的x轴的垂线为y轴,建立如图所示的平面直角坐标系,则点A的坐标为(0,b).设△ABC的外心为M(x,y),边BC的中点为N,则MN⊥BC,即MN是边BC的垂直平分线.因为|BC|=2a,所以|BN|=a,|MN|=|y|.又M是△ABC的外心,所以|MA|=|MB|.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四又|MA|=𝑥2+(𝑦-𝑏)2,|MB|=|𝑀𝑁|2+|𝐵𝑁|2=𝑦2+𝑎2,所以𝑥2+(𝑦-𝑏)2=𝑦2+𝑎2,化简,得所求的轨迹方程为x2-2by+b2-a2=0(x∈R,y0).反思在掌握求曲线轨迹方程的一般步骤的基础上,还要注意:(1)选择恰当的平面直角坐标系;(2)要注意给出曲线图形的范围,在限定范围的基础上求曲线方程.如果只求出曲线的方程,而没有根据题目要求确定出x,y的取值范围,那么最后的结论是不准确的.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四【变式训练2】如图,圆O1与圆O2的半径都等于1,|O1O2|=4,过动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM,PN(M,N分别为切点),使得|PM|=2|𝑃𝑁|,试建立适当的平面直角坐标系,并求动点𝑃的轨迹方程.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四解:以O1O2所在的直线为x轴,线段O1O2的垂直平分线为y轴,建立如图所示的平面直角坐标系,则两圆的圆心坐标分别为O1(-2,0),O2(2,0).设P(x,y),连接PO1,PO2,O1M,O2N,则|PM|2=|PO1|2-|MO1|2=(x+2)2+y2-1,同理,|PN|2=(x-2)2+y2-1.因为|PM|=2|𝑃𝑁|,即(x+2)2+y2-1=2[(x-2)2+y2-1],即x2-12x+y2+3=0,即(x-6)2+y2=33.故动点P的轨迹方程为(x-6)2+y2=33.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四平面直角坐标系中的伸缩变换【例3】在平面直角坐标系中经过伸缩变换𝑥'=3𝑥,𝑦'=2𝑦后,圆𝑥2+𝑦2=1变成了什么曲线?分析:将伸缩变换中的x,y分别用x',y'表示,代入已知的曲线方程,即可得到所求曲线的方程,再由方程判断曲线的类型.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四解:∵�