2020版高中数学 第二章 推理与证明 2.2.1 综合法和分析法（第2课时）分析法课件 新人教A版

-1-第2课时分析法目标导航1.理解分析法的意义,掌握分析法的特点.2.会用分析法解决问题.3.会综合运用分析法、综合法解决数学问题.知识梳理分析法定义框图表示特点从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至最后,把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止,这种证明方法叫做分析法(其中Q表示要证明的结论)逆推证法或执果索因法温馨提示综合法是“由因导果”,而分析法则是“执果索因”.它们是思维方向截然相反的两种证明方法,分析法便于我们去寻找思路,而综合法便于过程的叙述,两种方法各有所长,在解决具体的问题时,综合运用效果会更好.知识梳理【做一做】关于综合法和分析法的说法错误的是()A.综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法B.综合法又叫顺推证法或由因导果法C.综合法和分析法都是因果分别互推的两头凑法D.分析法又叫逆推证法或执果索因法解析:由综合法和分析法的定义可知,选项A,B,D正确,选项C错误,故选C.答案:C重难聚焦1.怎样理解分析法?剖析(1)分析法是由结论到条件的逆推证法,它的思维特点是从“未知”看“需知”,逐步靠拢“已知”,其逐步推理实际上是寻求它成立的充分条件.(2)当解决问题不知从何入手时,可以运用分析法去获得思路,特别是对于条件简单而结论复杂的题目,往往更是行之有效的方法.(3)用分析法证“若P,则Q”这个命题的模式是:为了证明命题Q为真,只需证明命题P1为真,从而有……只需证明命题P2为真,从而有…………只需证明命题P为真.而已知P为真,故Q必为真.重难聚焦知识拓展综合法和分析法是直接证明的两种基本方法,两种方法各有优缺点.分析法解题方向较为明确,容易寻找到解题的思路和方法,缺点是思路逆行,叙述较繁;综合法从条件推出结论,能较简洁地解决问题,但不便于思考.实际证明时常常两法兼用,先用分析法探索证明途径,再用综合法有条理地表述解题过程.重难聚焦2.综合法与分析法有什么联系?剖析在解决问题时,我们经常把综合法和分析法结合起来使用:根据条件的结构特点去转化结论,得到中间结论Q;根据结论的结构特点去转化条件,得到中间结论P.若由P可以推出Q成立,就可以证明结论成立.用分析法与综合法来叙述证明,语气之间也应当有所区别.在综合法中,每个推理都必须是正确的,每个论断都应当是前面一个论断的必然结果,因此所用语气必须是肯定的;而在分析法中,就应当用假定的语气,习惯上常用这样一类语句:假如要A成立,就需先有B成立;如果要B成立,又只需C成立……这样从结论一直推到它们都与所要证明的命题等效,而并不是确信它们是真实的.直至达到最后已知条件或明显成立的事实后,我们才能确信它是真的,从而可以推知前面所有与之等效的命题也都是真的,于是命题就被证明了.典例透析题型一题型二题型三用分析法证明不等式【例1】已知a6,求证:𝑎-3−𝑎-4𝑎-5−𝑎-6.分析:从条件不易发现证明的出发点,因此我们直接从待证不等式出发,分析其成立的充分条件.典例透析题型一题型二题型三证明:要证𝑎-3−𝑎-4𝑎-5−𝑎-6,只需证𝑎-3+𝑎-6𝑎-5+𝑎-4,两边平方得(𝑎-3+𝑎-6)2(𝑎-5+𝑎-4)2,即证2a-9+2(𝑎-3)(𝑎-6)2a-9+2(𝑎-5)(𝑎-4),只需证(𝑎-3)(𝑎-6)(𝑎-5)(𝑎-4),即证(a-3)(a-6)(a-5)(a-4),即证1820.因为1820显然成立,所以原不等式𝑎-3−𝑎-4𝑎-5−𝑎-6成立.典例透析题型一题型二题型三反思用分析法证明不等式时的注意事项:(1)分析法证明不等式的依据是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论;(2)用分析法证明数学命题时,一定要恰当地使用“要证明”“只需证明”“即证明”等词语.典例透析题型一题型二题型三【变式训练1】下列条件:①ab0,②ab0,③a0,b0,④a0,b0,其中能使𝑏𝑎+𝑎𝑏≥2成立的条件的个数是.解析:要使𝑏𝑎+𝑎𝑏≥2,只要𝑏𝑎0,且𝑎𝑏0,即a,b不为0且同号即可,故有①③④共3个.答案:3典例透析题型一题型二题型三分析法与综合法的综合应用【例2】已知a+b+c=abc,求证:2𝑎1-𝑎2+2𝑏1-𝑏2+2𝑐1-𝑐2=8𝑎𝑏𝑐(1-𝑎2)(1-𝑏2)(1-𝑐2).证明:欲证原等式成立,即证a(1-b2)(1-c2)+b(1-a2)(1-c2)+c(1-a2)·(1-b2)=4abc.将左边全部展开,有左边=ab2c2-ab2-ac2+a2bc2-ba2-bc2+a2b2c-ca2-cb2+a+b+c.将ab2c2,a2bc2,a2b2c中的共同项abc提出,有上式=abc(ab+bc+ac)-ab2-ac2-ba2-bc2-ca2-cb2+a+b+c,利用abc=a+b+c,得上式=(a+b+c)(ab+bc+ac)-ab2-ac2-ba2-bc2-ca2-cb2+a+b+c,将这个式子展开,与后面的项相消,得上式=4abc.所以a(1-b2)(1-c2)+b(1-a2)(1-c2)+c(1-a2)·(1-b2)=4abc成立,故原等式成立.典例透析题型一题型二题型三反思由于待证等式与已知条件的联系不明确,且在结构上存在较大差异,因此可将分析法和综合法结合起来使用.典例透析题型一题型二题型三【变式训练2】设a,b,c为任意三角形的三边长,I=a+b+c,S=ab+bc+ca,试证:3S≤I24S.证明:I2=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)=a2+b2+c2+2S,要证3S≤I24S,只需证3S≤a2+b2+c2+2S4S,即S≤a2+b2+c22S.欲证S≤a2+b2+c2,只需证a2+b2+c2-ab-bc-ca≥0,即只需证(a2+b2-2ab)+(b2+c2-2bc)+(c2+a2-2ca)≥0.要证上式成立,可证三括号中式子都不为负.因为a2+b2-2ab=(a-b)2≥0,b2+c2-2bc=(b-c)2≥0,c2+a2-2ca=(c-a)2≥0,所以S≤a2+b2+c2.典例透析题型一题型二题型三欲证a2+b2+c22S,只需证a2+b2+c2-2ab-2bc-2ca0,即要证(a2-ab-ac)+(b2-bc-ba)+(c2-ca-cb)0.欲证上式,只需证以上三个括号中式子都小于零,即要证a2ab+ac,b2bc+ba,c2ca+cb.也就是要证ab+c,bc+a,ca+b.它们显然都成立,因为三角形一边小于其他两边的和,所以a2+b2+c22S.故原不等式成立.典例透析题型一题型二题型三易错辨析易错点:混淆综合法和分析法而致错【例3】求证:7−63−2.错解证明:要证7−63−2,只需证7+26+3,∴7+214+26+218+3.∴214218.∴1418,即1418,这是显然成立的.∴7−63−2.错因分析分析法应是始终寻求上一步成立的条件,其步骤应始终是“要证……只需证……只需证……”,不要与综合法混淆.典例透析题型一题型二题型三正解:证明:要证7−63−2,只需证7+26+3.因为7+2和6+3都是正数,所以只需证(7+2)2(6+3)2,展开得9+2149+218,只需证1418,只需证1418.因为1418显然成立,所以7−63−2成立.典例透析