2020版高中数学 第二章 随机变量及其分布 2.3.1 离散型随机变量的均值课件 新人教A版选修2

-1-2.3离散型随机变量的均值与方差-2-2.3.1离散型随机变量的均值ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航1.理解离散型随机变量的均值的意义,会根据离散型随机变量的分布列求出均值.2.掌握离散型随机变量的均值的性质,掌握两点分布、二项分布的均值.3.会利用离散型随机变量的均值反映离散型随机变量的取值水平,并解决一些相关的实际问题.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn121.离散型随机变量的均值(1)一般地,若离散型随机变量X的分布列为则称E(X)=x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn为随机变量X的均值或数学期望.(2)离散型随机变量X的均值或数学期望反映了离散型随机变量取值的平均水平.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航12知识拓展1.定义中给出了求离散型随机变量均值的方法,我们只研究有限个随机变量的均值的情况.2.随机变量的均值E(X)是一个数值,是随机变量X本身所固有的一个数字特征.它不具有随机性,反映的是随机变量取值的平均水平.3.若Y=aX+b,其中a,b为常数,则E(Y)=E(aX+b)=aE(X)+b.因为E(aX+b)=aE(X)+b,所以随机变量X的线性函数Y=aX+b的均值等于随机变量X的均值的线性函数.此式有如下几种特殊形式:(1)当b=0时,E(aX)=aE(X),此式表明常量与随机变量乘积的均值等于这个常量与随机变量的均值的乘积;(2)当a=1时,E(X+b)=E(X)+b,此式表明随机变量与常量和的均值等于随机变量的均值与这个常量的和;(3)当a=0时,E(b)=b,此式表明常量的均值等于这个常量.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航12【做一做1-1】已知ξ的分布列为ξ-1012P14381418,则ξ的均值为()A.0B.-1C.18D.14解析:E(ξ)=-1×14+0×38+1×14+2×18=14.答案:D【做一做1-2】设一随机变量ξ的均值为E(ξ)=3,则E(10ξ+2)=()A.3B.5C.30D.32解析:E(10ξ+2)=10E(ξ)+2=32.答案:DZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航122.两点分布、二项分布的均值(1)若随机变量X服从两点分布,则E(X)=p.(2)若X~B(n,p),则E(X)=np.知识拓展若离散型随机变量X服从参数为N,M,n(n≤N,M≤N,n,m,N∈N*)的超几何分布,则【做一做2】一名射手每次射击中靶的概率均为0.8,则他独立射击3次中靶次数X的均值为()A.0.8B.0.83C.3D.2.4解析:射手独立射击3次中靶次数X服从二项分布,即X~B(3,0.8),则E(X)=3×0.8=2.4.答案:DE(X)=𝑛𝑀𝑁.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航121.求随机变量ξ的均值的一般步骤是什么剖析(1)写出ξ的分布列,在求ξ取每一个值的概率时,要联系概率的有关知识,如古典概型的概率,相互独立事件的概率等;(2)由分布列求E(ξ);(3)如果随机变量是线性关系或服从两点分布、二项分布,根据它们的均值公式计算.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航12【示例】将两封信随机投入A,B,C三个空邮箱中,求A邮箱的信件数ξ的分布列及均值.分析(1)确定ξ的所有可能取值;(2)计算出ξ取每一个值时的概率;(3)列出分布列;(4)利用E(ξ)的公式计算E(ξ).解:记A邮箱的信件数为ξ,则ξ的所有可能取值为0,1,2,P(ξ=0)=2×23×3=49,P(ξ=1)=2×23×3=49,P(ξ=2)=19,故ξ的分布列为ξ012P494919E(ξ)=0×49+1×49+2×19=23.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航122.随机变量的均值与样本平均值有怎样的关系剖析随机变量的均值与样本的平均值的关系:随机变量的均值是一个常数,它不依赖于样本的抽取,而样本平均值是一个随机变量,它随样本抽取的不同而变化.对于简单随机抽样,随着样本容量的增加,样本平均值越来越接近于总体的均值.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四题型一求离散型随机变量的均值【例1】在甲、乙等6个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中,每个单位的节目集中安排在一起,若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序(序号为1,2,…,6),求:(1)甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率;(2)甲、乙两单位之间的演出单位个数ξ的分布列与均值.分析:(1)可先求“甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数”的对立事件的概率;(2)先求出ξ的取值及每个取值的概率,再求其分布列和均值.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四解:只考虑甲、乙两单位的相对位置,故可用组合计算基本事件数.(1)设A表示“甲、乙的演出序号至少有一个为奇数”,则𝐴表示“甲、乙的演出序号均为偶数”,由等可能性事件的概率计算公式得P(A)=1-P(𝐴)=1−C32C62=1−15=45.(2)ξ的所有可能取值为0,1,2,3,4,且P(ξ=0)=5C62=13,𝑃(𝜉=1)=4C62=415,𝑃(𝜉=2)=3C62=15,𝑃(𝜉=3)=2C62=215,𝑃(𝜉=4)=1C62=115.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四从而知ξ的分布列为ξ01234P1341515215115∴E(ξ)=0×13+1×415+2×15+3×215+4×115=43.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四反思求离散型随机变量ξ的均值的步骤(1)根据ξ的实际意义,写出ξ的全部取值;(2)求出ξ取每个值的概率;(3)写出ξ的分布列;(4)利用定义求出均值.其中第(1)(2)两条是解答此类题目的关键,在求解过程中应注重分析概率的相关知识.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四【互动探究】本例已知条件不变,记甲单位的演出序号为x,乙单位的演出序号为y,随机变量η=x+y,求η的分布列和数学期望.解:依题意,随机变量η=3,4,5,6,7,8,9,10,11,则有P(η=3)=A22A44A66=115,𝑃(𝜂=4)=A22A44A66=115,P(η=5)=2A22A44A66=215,𝑃(𝜂=6)=2A22A44A66=215,P(η=7)=3A22A44A66=315=15,𝑃(𝜂=8)=2A22A44A66=215,P(η=9)=2A22A44A66=215,𝑃(𝜂=10)=A22A44A66=115,P(η=11)=A22A44A66=115,ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四∴η的分布列为η34567891011P11511521521515215215115115∴E(η)=3×115+4×115+5×215+6×215+7×15+8×215+9×215+10×115+11×115=10515=7.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四【变式训练1】袋中有4个红球,3个黑球.今从袋中随机取出4个球,设取到一个红球记2分,取到一个黑球记1分,试求得分ξ的均值.解:取出4个球,颜色分布情况是:4红得8分,3红1黑得7分,2红2黑得6分,1红3黑得5分,相应的概率为P(ξ=5)=C41C33C74=435,𝑃(𝜉=6)=C42C32C74=1835,P(ξ=7)=C43C31C74=1235,𝑃(𝜉=8)=C44C30C74=135.随机变量ξ的分布列为ξ5678P43518351235135则E(ξ)=5×435+6×1835+7×1235+8×135=447.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四题型二离散型随机变量均值的性质【例2】某市出租车的起步价为6元,行驶路程不超出3km时,车费为6元,若行驶路程超出3km,则按每超出1km收费3元计费(不足1km按1km计算).设出租车行车路程X是一个随机变量,司机所收车费为Y(单位:元),则Y=3X-3.已知出租车在一天内行车路程可能取的值有(单位:km)200,220,240,260,280,300,它们出现的概率分别为0.12,0.18,0.20,0.20,0.18,0.12.求出租车行驶一天所收车费的均值.分析先求出E(X),再利用E(Y)=E(3X-3)求E(Y).解:E(Y)=E(3X-3)=3E(X)-3=3×(200×0.12+220×0.18+240×0.20+260×0.20+280×0.18+300×0.12)-3=3×250-3=747.反思本题利用公式E(aX+b)=aE(X)+b,将求E(Y)的问题转化为求E(X)的问题,避免了求Y的分布列的麻烦,简化了运算.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四【变式训练2】已知随机变量X的分布列为(1)试求E(X);(2)若Y=2X-3,求E(Y).X-2-1012P141315m120解:(1)由随机变量分布列的性质,得14+13+15+m+120=1,∴m=16.∴E(X)=(-2)×14+(-1)×13+0×15+1×16+2×120=-1730.(2)由公式E(aX+b)=aE(X)+b,得E(Y)=E(2X-3)=2E(X)-3=2×-1730-3=-6215.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四题型三与二项分布、两点分布有关的均值【例3】某运动员的投篮命中率为p=0.6.(1)求投篮一次时命中次数ξ的均值;(2)求重复投篮5次时,命中次数η的均值.分析第(1)问中ξ只有0,1两个结果,服从两点分布;第(2)问中η服从二项分布.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四解:(1)投篮一次,命中次数ξ的分布列为,则E(ξ)=