2020版高中数学 第二讲 参数方程 2.2 圆锥曲线的参数方程课件 新人教A版选修4-4

-1-二圆锥曲线的参数方程ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航1.理解椭圆的参数方程,会用椭圆的参数方程解决简单问题.2.理解双曲线的参数方程,会用双曲线的参数方程解决简单问题.3.理解抛物线的参数方程,了解参数的意义,会用抛物线的参数方程解决简单问题.4.通过具体问题,体会某些曲线用参数方程表示比用普通方程表示更方便,感受参数方程的优越性.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航1.椭圆的参数方程中心在原点,焦点在x轴上的椭圆𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1𝑎𝑏0的一个参数方程是𝑥=𝑎cos𝜑,𝑦=𝑏sin𝜑𝜑为参数.通常规定参数𝜑的取值范围为𝜑∈[0,2π).名师点拨当椭圆的普通方程不是标准形式时,也可以表示为参数方程的形式.如(𝑥-𝑚)2𝑎2+(𝑦-𝑛)2𝑏2=1(𝑎𝑏0)可表示为𝑥=𝑚+𝑎cos𝜑,𝑦=𝑛+𝑏sin𝜑(𝜑为参数).【做一做1-1】已知椭圆𝑥=𝑎cos𝜃,𝑦=𝑏sin𝜃(𝑎𝑏0,𝜃为参数),若𝜃∈[0,2π),则椭圆上的点(-a,0)对应的θ为()A.πB.π2C.2πD.3π2答案:AZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航【做一做1-2】在下面的参数方程中,表示的曲线是椭圆的为()A.𝑥=𝑟cos𝜃,𝑦=𝑟sin𝜃(𝜃为参数)B.𝑥=2cos𝜃,𝑦=𝜃(𝜃为参数)C.𝑥=𝑎tan𝜃,𝑦=𝑏sin𝜃(𝜃为参数)D.𝑥=cos𝑡,𝑦=2-5sin𝑡(𝑡为参数)解析:根据椭圆的参数方程知只有选项D符合题意.答案:DZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航2.双曲线的参数方程中心在原点,焦点在x轴上的双曲线𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1𝑎0,𝑏0的参数方程是𝑥=𝑎sec𝜑,𝑦=𝑏tan𝜑𝜑为参数,通常规定参数𝜑的取值范围为𝜑∈[0,2π),且φ≠π2,𝜑≠3π2.【做一做2】双曲线𝑥23−𝑦2=1的参数方程为(𝜃为参数).答案:𝑥=3sec𝜃,𝑦=tan𝜃ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航3.抛物线的参数方程(1)抛物线y2=2px(p0)的参数方程为𝑥=2𝑝𝑡2,𝑦=2𝑝𝑡(𝑡为参数).(2)参数t的几何意义是抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数.【做一做3】抛物线y2=14x的参数方程是()A.𝑥=14𝑡,𝑦=14𝑡2(𝑡为参数)B.𝑥=14𝑡2,𝑦=14𝑡(𝑡为参数)C.𝑥=7𝑡2,𝑦=7𝑡𝑡为参数D.𝑥=28𝑡,𝑦=28𝑡2(𝑡为参数)解析:由题意知2p=14,且抛物线的焦点在x轴正半轴,所以参数方程为答案:B𝑥=14𝑡2,𝑦=14𝑡(𝑡为参数).ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航1.椭圆的参数方程中参数φ的几何意义剖析从几何变换的角度看,通过伸缩变换,令𝑥'=1𝑎𝑥,𝑦'=1𝑏𝑦,椭圆𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1可以变成圆x'2+y'2=1,利用圆x'2+y'2=1的参数方程𝑥'=cos𝜑,𝑦'=sin𝜑(𝜑是参数),可以得到椭圆𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1的参数方程𝑥=𝑎cos𝜑,𝑦=𝑏sin𝜑(𝜑是参数).因此,参数φ的几何意义是椭圆上任意一点M所对应的圆的半径OA(或OB)的旋转角(称为点M的离心角),而不是OM的旋转角,如图所示.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航2.圆锥曲线的参数方程不是唯一的剖析同一条圆锥曲线的参数方程形式是不唯一的.例如,椭圆𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎0,𝑏0,𝑎≠b)的参数方程可以是𝑥=𝑎cos𝜃,𝑦=𝑏sin𝜃(𝜃为参数)的形式,也可以是𝑥=𝑎sin𝜃,𝑦=𝑏cos𝜃(𝜃为参数)的形式,二者只是形式上不同而已,实质上都表示同一个椭圆.同样对于双曲线、抛物线也可以用其他形式的参数方程来表示,只是选取的参数不同,参数的几何意义也不同.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四求圆锥曲线的参数方程【例1】已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,椭圆上的一点到两个焦点的距离之和是6,焦距是分析:可先根据题目条件求出椭圆的普通方程,再将其化为参数方程.25,求椭圆的参数方程.解:由题意可设椭圆的方程为𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1𝑎𝑏0,则a=3,c=5,所以b=2.故椭圆的普通方程为𝑥232+𝑦222=1,化为参数方程是𝑥=3cos𝜑,𝑦=2sin𝜑(𝜑为参数).反思求参数方程的关键是选定参数,有时可选的参数并不唯一,这时要选择一个恰当的.另外求参数方程比较困难时,也可以先求出它的普通方程,再化为参数方程.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四【变式训练1】已知双曲线的中心在原点,焦点在x轴上,双曲线上的一点到两个焦点的距离之差的绝对值为25,焦距是43,求双曲线的参数方程.解:由题意可设双曲线的方程为𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(𝑎0,𝑏0),则a=5,𝑐=23,所以b=7.故双曲线的普通方程为𝑥25−𝑦27=1,化为参数方程是𝑥=5sec𝜑,𝑦=7tan𝜑(𝜑为参数).ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四圆锥曲线的普通方程与参数方程的互化【例2】已知曲线C1:𝑥=-4+cos𝑡,𝑦=3+sin𝑡𝑡为参数,𝐶2:𝑥=8cos𝜃,𝑦=3sin𝜃(𝜃为参数).化C1,C2的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线.分析:先消去参数化为普通方程再判断.解:C1:(x+4)2+(y-3)2=1,C2:𝑥264+𝑦29=1,𝐶1为圆心是(-4,3),半径是1的圆,C2为中心在坐标原点,焦点在x轴,长半轴长是8,短半轴长是3的椭圆.反思有些参数方程很难直接看出它所表示的曲线类型,这时需要把它化为普通方程后再研究.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四【变式训练2】已知两条曲线的参数方程分别为𝑥=5cos𝜃,𝑦=sin𝜃(0≤θπ,θ为参数)和𝑥=54𝑡2,𝑦=𝑡(𝑡为参数),它们的交点坐标为.解析:方程𝑥=5cos𝜃,𝑦=sin𝜃表示椭圆𝑥25+𝑦2=1(−5𝑥≤5,且0≤y≤1),方程𝑥=54𝑡2,𝑦=𝑡表示抛物线y2=45𝑥.联立𝑥25+𝑦2=1,𝑦2=45𝑥,消去y,得x2+4x-5=0⇒x=1或x=-5(舍去).因为0≤y≤1,所以它们的交点坐标为1,255.答案:1,255ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四圆锥曲线的参数方程的应用【例3】已知M为抛物线y2=2x上的动点,定点M0(-1,0),点P为线段M0M的中点,求点P的轨迹的参数方程.分析:合理选取参数,先将抛物线方程转化为参数方程,再寻求解题方法.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四解:令y=2t,则x=𝑦22=2𝑡2,得抛物线的参数方程为𝑥=2𝑡2,𝑦=2𝑡(𝑡为参数).如图,设动点M(2t2,2t),点P的坐标为(x,y),由定点M0(-1,0)及中点坐标公式得𝑥=12(-1+2𝑡2),𝑦=12(0+2𝑡),即𝑥=-12+𝑡2,𝑦=𝑡(𝑡为参数),故点P的轨迹的参数方程为𝑥=-12+𝑡2,𝑦=𝑡(𝑡为参数).ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四反思抛物线y2=2px(p0)上任意一点的坐标可以设为(2pt2,2pt),这是解决与抛物线有关问题的关键.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四【变式训练3】求点M0(0,2)到双曲线x2-y2=1的最小距离(即双曲线上任一点M与点M0距离的最小值).解:把双曲线方程化为参数方程𝑥=sec𝜃,𝑦=tan𝜃(𝜃为参数).设双曲线上的任一点为M(secθ,tanθ),则|M0M|2=sec2θ+(tanθ-2)2=tan2θ+1+tan2θ-4tanθ+4=2tan2θ-4tanθ+5=2(tanθ-1)2+3,当tanθ-1=0时,|M0M|2取最小值3,此时有|M0M|=3.故点M0到双曲线x2-y2=1的最小距离为3.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四易错辨析易错点:混淆参数的几何意义而致错【例4】已知P为椭圆𝑥216+𝑦212=1上一点,𝑥轴正半轴与角的始边重合,且∠POx=π3,求点𝑃的坐标.错解设点P的坐标为(x,y),如图所示,由椭圆的参数方程得𝑥=4cosπ3,𝑦=23sinπ3,即点P的坐标为(2,3).ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四错因分析:在椭圆𝑥=𝑎cos𝜑,𝑦=𝑏sin𝜑(𝜑为参数)和圆𝑥=𝑟cos𝜑,𝑦=𝑟sin𝜑(φ为参数)中,参数φ的意义是不同的.在圆的方程中,φ是圆周上的动点M(x,y)所对应的∠xOM,而椭圆方程中的φ,其意义却不是这样.上述解答把椭圆方程中φ的意义错混为圆的方程中φ的意义,从而导致了解答的错误.正解:设|OP|=t,点P的坐标为𝑡cosπ3,𝑡sinπ3,将其代入椭圆方程,得12𝑡216+32𝑡212=1,即t=855,所以点P的坐标为455,4155.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAO