2020版高考数学大一轮复习 第一章 集合与常用逻辑用语 1.3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量

§1.3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词第一章集合与常用逻辑用语NEIRONGSUOYIN内容索引基础知识自主学习题型分类深度剖析课时作业1基础知识自主学习PARTONE1.简单的逻辑联结词(1)命题中的、、叫做逻辑联结词.(2)命题p且q、p或q、非p的真假判断pqp且qp或q非p真真____真假真假____真假假真假真____假假假________且或非真知识梳理ZHISHISHULI假真假真2.全称量词和存在量词(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”等在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“”表示.(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”等在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“”表示.∀∃命题名称语言表示符号表示命题的否定全称命题对M中任意一个x，有p(x)成立________________________________________存在性命题存在M中的一个x，使p(x)成立________________________________________3.全称命题、存在性命题及含一个量词的命题的否定∀x∈M，p(x)∃x∈M，綈p(x)∃x∈M，p(x)∀x∈M，綈p(x)含有逻辑联结词的命题的真假有什么规律？提示p∨q：一真即真；p∧q：一假即假；p，綈p：真假相反.【概念方法微思考】题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)命题“3≥2”是真命题.()(2)命题p和綈p不可能都是真命题.()(3)“全等三角形的面积相等”是存在性命题.()(4)命题綈(p∧q)是假命题，则命题p，q都是真命题.()√√××基础自测JICHUZICE123456题组二教材改编2.已知p：2是偶数，q：2是质数，则命题綈p，綈q，p∨q，p∧q中真命题的个数为A.1B.2C.3D.4√123456解析p和q显然都是真命题，所以綈p，綈q都是假命题，p∨q，p∧q都是真命题.3.命题“正方形都是矩形”的否定是____________________________________.存在一个正方形，这个正方形不是矩形123456题组三易错自纠4.已知命题p，q，“綈p为真”是“p∧q为假”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析由綈p为真知，p为假，可得p∧q为假；反之，若p∧q为假，则可能是p真q假，从而綈p为假，故“綈p为真”是“p∧q为假”的充分不必要条件，故选A.√1234565.(2018·大连质检)命题“∃x∈R，x2－x－10”的否定是A.∀x∈R，x2－x－1≤0B.∀x∈R，x2－x－10C.∃x∈R，x2－x－1≤0D.∃x∈R，x2－x－1≥0123456√解析∵函数y＝tanx在0，π4上是增函数，∴ymax＝tanπ4＝1.依题意知，m≥ymax，即m≥1.∴m的最小值为1.6.若“∀x∈tanx≤m”是真命题，则实数m的最小值为_____.11234560，π4，2题型分类深度剖析PARTTWO题型一含有逻辑联结词的命题的真假判断1.命题p：若sinxsiny，则xy；命题q：x2＋y2≥2xy.下列命题为假命题的是A.p或qB.p且qC.qD.綈p√自主演练解析取x＝π3，y＝5π6，可知命题p是假命题；由(x－y)2≥0恒成立，可知命题q是真命题，故綈p为真命题，p或q是真命题，p且q是假命题.解析∵一元二次方程x2－x＋1＝0的判别式Δ＝(－1)2－4×1×10，∴x2－x＋10恒成立，∴p为真命题，綈p为假命题.∵当a＝－1，b＝－2时，(－1)2(－2)2，但－1－2，∴q为假命题，綈q为真命题.根据真值表可知p∧(綈q)为真命题，p∧q，(綈p)∧q，(綈p)∧(綈q)为假命题.故选B.2.已知命题p：∃x∈R，x2－x＋1≥0；命题q：若a2b2，则ab.下列命题为真命题的是A.p∧qB.p∧(綈q)C.(綈p)∧qD.(綈p)∧(綈q)√3.已知命题p：∃x∈R，使sinx＝；命题q：∀x∈R，都有x2＋x＋10.给出下列结论：①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧(綈q)”是假命题；③命题“(綈p)∨q”是真命题；④命题“(綈p)∨(綈q)”是假命题，其中正确的是______.(把所有正确结论的序号都填上)解析因为对任意实数x，|sinx|≤1，而1，所以p为假；因为x2＋x＋1＝0的判别式Δ0，所以q为真.故②③正确.②③5252“p∨q”“p∧q”“綈p”等形式命题真假的判断步骤(1)确定命题的构成形式；(2)判断其中命题p，q的真假；(3)确定“p∧q”“p∨q”“綈p”等形式命题的真假.思维升华题型二含有一个量词的命题命题点1全称命题、存在性命题的真假例1(1)(2018·沈阳模拟)下列四个命题中真命题是A.∀n∈R，n2≥nB.∃n∈R，∀m∈R，m·n＝mC.∀n∈R，∃m∈R，m2nD.∀n∈R，n2n√对于选项C，D，可令n＝－1加以验证，均不正确，故选B.解析对于选项A，令n＝12，即可验证其不正确；多维探究(2)下列命题中的假命题是A.∀x∈R，2x－10B.∀x∈N＋，(x－1)20C.∃x∈R，lgx1D.∃x∈R，tanx＝2解析当x∈N＋时，x－1∈N，可得(x－1)2≥0，当且仅当x＝1时取等号，故B不正确；易知A，C，D正确，故选B.√命题点2含一个量词的命题的否定例2(1)已知命题p：“∃x∈R，ex－x－1≤0”，则綈p为A.∃x∈R，ex－x－1≥0B.∃x∈R，ex－x－10C.∀x∈R，ex－x－10D.∀x∈R，ex－x－1≥0解析根据全称命题与存在性命题的否定关系，可得綈p为“∀x∈R，ex－x－10”，故选C.√(2)(2018·福州质检)已知命题p：∀x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)≥0，则綈p是A.∃x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)≤0B.∀x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)≤0C.∃x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)0D.∀x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)0解析已知全称命题p：∀x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)]·(x2－x1)≥0，则綈p：∃x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)0，故选C.√(1)判定全称命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立；要判断存在性命题是真命题，只要在限定集合内找到一个x＝x0，使p(x0)成立.(2)对全称(存在性)命题进行否定的方法①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义先加上量词，再改变量词；②对原命题的结论进行否定.思维升华解析因为log21＝0，cos0＝1，所以选项A，B均为真命题，02＝0，选项C为假命题，2x0，选项D为真命题，故选C.跟踪训练1(1)(2018·东北三校联考)下列命题中是假命题的是A.∃x∈R，log2x＝0B.∃x∈R，cosx＝1C.∀x∈R，x20D.∀x∈R，2x0√(2)已知命题p：∃x∈R，log2(3x＋1)≤0，则A.p是假命题；綈p：∀x∈R，log2(3x＋1)≤0B.p是假命题；綈p：∀x∈R，log2(3x＋1)0C.p是真命题；綈p：∀x∈R，log2(3x＋1)≤0D.p是真命题；綈p：∀x∈R，log2(3x＋1)0解析因为3x0，所以3x＋11，则log2(3x＋1)0，所以p是假命题；綈p：∀x∈R，log2(3x＋1)0.故选B.√题型三命题中参数的取值范围例3(1)(2018·包头质检)已知命题p：“∀x∈[0,1]，a≥ex”；命题q：“∃x∈R，使得x2＋4x＋a＝0”.若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围为________.师生共研[e,4]解析若命题“p∧q”是真命题，那么命题p，q都是真命题.由∀x∈[0,1]，a≥ex，得a≥e；由∃x∈R，使x2＋4x＋a＝0，得Δ＝16－4a≥0，则a≤4，因此e≤a≤4.则实数a的取值范围为[e,4].(2)已知f(x)＝ln(x2＋1)，g(x)＝－m，若对∀x1∈[0,3]，∃x2∈[1,2]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是___________.解析当x∈[0,3]时，f(x)min＝f(0)＝0，当x∈[1,2]时，12x14，＋∞g(x)min＝g(2)＝14－m，由f(x)min≥g(x)min，得0≥14－m，所以m≥14.本例(2)中，若将“∃x2∈[1,2]”改为“∀x2∈[1,2]”，其他条件不变，则实数m的取值范围是_________.12，＋∞解析当x∈[1,2]时，g(x)max＝g(1)＝12－m，由f(x)min≥g(x)max，得0≥12－m，∴m≥12.引申探究(1)已知含逻辑联结词的命题的真假，可根据每个命题的真假，利用集合的运算求解参数的取值范围.(2)对于含量词的命题中求参数的取值范围的问题，可根据命题的含义，利用函数值域(或最值)解决.思维升华跟踪训练2(1)已知命题“∀x∈R，x2－5x＋a0”的否定为假命题，则实数a的取值范围是___________.15256，＋∞解析由“∀x∈R，x2－5x＋152a0”的否定为假命题，可知原命题必为真命题，即不等式x2－5x＋152a0对任意实数x恒成立.设f(x)＝x2－5x＋152a，则其图象恒在x轴的上方.故Δ＝25－4×152a0，解得a56，即实数a的取值范围为56，＋∞.(2)已知c0，且c≠1，设命题p：函数y＝cx为减函数.命题q：当x∈12，2时，函数f(x)＝x＋1x1c恒成立.如果“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，则c的取值范围为________________.0，12∪(1，＋∞)有关四种命题及其真假判断、充分必要条件的判断或求参数的取值范围、量词等问题几乎在每年高考中都会出现，多与函数、数列、立体几何、解析几何等知识相结合，难度中等偏下.解决这类问题应熟练把握各类知识的内在联系.高频小考点GAOPINXIAOKAODIAN常用逻辑用语一、命题的真假判断例1(1)下列命题的否定为假命题的是____.(填序号)①∀x∈R，－x2＋x－10；②∀x∈R，|x|x；③∀x，y∈Z，2x－5y≠12；④∀x∈R，sin2x＋sinx＋1＝0.①解析命题的否定为假命题亦即原命题为真命题，只有①为真命题.(2)(2018·哈尔滨联考)已知命题p：∀x∈R，3x5x；命题q：∃x∈R，x3＝1－x2，则下列命题中为真命题的是A.p∧qB.(綈p)∧qC.p∧(綈q)D.(綈p)∧(綈q)解析若x＝0，则30＝50＝1，∴p是假命题，∵方程x3＝1－x2有解，∴q是真命题，∴(綈p)∧q是真命题.√二、充要条件的判断例2(1)设m，n为非零向量，则“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·n0”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件√解析∵存在负数λ，使得m＝λn，∴非零向量m与n方向相反，∴m·n0.∵m·n0，即|m||n|cos〈m，n〉0，∴cos〈m，n〉0，∴m与n的夹角为钝角或平角，不一定有m与n反向，故选A.(2)已知圆C：(x－1)2＋y2＝r2(r0).设p：0r3，q：圆C上至多有2个点到直线x－y＋3＝0的距离为1，则p是q的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件√3三、求参数的取值范围例3(1)(2018·周口模拟)若命题“∃x∈R，x2＋(a－1)x＋10”是真命题，则实数a的取值范围是A.[－1,3]B.(－1,3)C.(－∞，－1]∪[3，＋∞