2020版高考数学大一轮复习 第五章 平面向量与复数 5.3 平面向量的数量积课件 理 新人教A版

§5.3平面向量的数量积第五章平面向量与复数NEIRONGSUOYIN内容索引基础知识自主学习题型分类深度剖析课时作业1基础知识自主学习PARTONE知识梳理1.两个向量的夹角(1)定义已知两个向量a，b，作＝a，＝b，则称作向量a和向量b的夹角，记作〈a，b〉.(2)范围向量夹角〈a，b〉的范围是，且＝〈b，a〉.(3)向量垂直如果〈a，b〉＝，则a与b垂直，记作.ZHISHISHULI非零OA→OB→∠AOB[0，π]〈a，b〉π2a⊥b2.向量在轴上的正射影已知向量a和轴l(如图)，作＝a，过点O，A分别作轴l的垂线，垂足分别为O1，A1，则叫做向量a在轴l上的正射影(简称)，该射影在轴l上的坐标，称作a在轴l上的或在轴l的方向上的.OA→O1A1—→向量射影数量数量＝a在轴l上正射影的坐标记作al，向量a的方向与轴l的正向所成的角为θ，则由三角函数中的余弦定义有al＝.OA→|a|cosθ3.向量的数量积(1)向量的数量积(内积)的定义|a||b|cos〈a，b〉叫做向量a和b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉.(2)向量数量积的性质①如果e是单位向量，则a·e＝e·a＝；②a⊥b⇔；③a·a＝，|a|＝；④cos〈a，b〉＝；⑤|a·b||a||b|.|a|cos〈a，e〉a·b＝0|a|2≤a·aa·b|a||b|(|a||b|≠0)(3)向量数量积的运算律①交换律：a·b＝.②对λ∈R，λ(a·b)＝＝.③分配律：(a＋b)·c＝.(4)向量数量积的坐标运算与度量公式设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则①a·b＝；②a⊥b⇔；b·a(λa)·ba·(λb)a·c＋b·ca1b1＋a2b2a1b1＋a2b2＝0③|a|＝；④cos〈a，b〉＝.a21＋a22a1b1＋a2b2a21＋a22·b21＋b221.a在b方向上的正投影与b在a方向上的正投影相同吗？提示不相同.因为a在b方向上的正投影为|a|cosθ，而b在a方向上的正投影为|b|cosθ，其中θ为a与b的夹角.2.两个向量的数量积大于0，则夹角一定为锐角吗？提示不一定.当夹角为0°时，数量积也大于0.【概念方法微思考】题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)向量在另一个向量方向上的正投影为数量，而不是向量.()(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量.()(3)由a·b＝0可得a＝0或b＝0.()(4)(a·b)c＝a(b·c).()(5)两个向量的夹角的范围是()(6)若a·b0，则a和b的夹角为钝角.()0，π2.√××√×123456×基础自测JICHUZICE题组二教材改编2.已知向量a＝(2,1)，b＝(－1，k)，a·(2a－b)＝0，则k＝____.12345612解析∵2a－b＝(4,2)－(－1，k)＝(5,2－k)，由a·(2a－b)＝0，得(2,1)·(5,2－k)＝0，∴10＋2－k＝0，解得k＝12.3.已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角θ＝120°，则向量b在向量a方向上的正投影为____.－2解析由数量积的定义知，b在a方向上的正投影为|b|cosθ＝4×cos120°＝－2.123456题组三易错自纠4.已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝_____.12345623解析方法一|a＋2b|＝a＋2b2＝a2＋4a·b＋4b2＝22＋4×2×1×cos60°＋4×12＝12＝23.方法二(数形结合法)由|a|＝|2b|＝2知，以a与2b为邻边可作出边长为2的菱形OACB，如图，则|a＋2b|＝|OC→|.又∠AOB＝60°，所以|a＋2b|＝23.1234565.已知点A(－1,1)，B(1,2)，C(－2，－1)，D(3,4)，则向量AB→在CD→方向上的正投影为_____.322解析AB→＝(2,1)，CD→＝(5,5)，由定义知，AB→在CD→方向上的正投影为AB→·CD→|CD→|＝1552＝322.6.已知△ABC的三边长均为1，且AB→＝c，BC→＝a，CA→＝b，则a·b＋b·c＋a·c＝____.解析∵〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈a，c〉＝120°，|a|＝|b|＝|c|＝1，123456－32∴a·b＝b·c＝a·c＝1×1×cos120°＝－12，∴a·b＋b·c＋a·c＝－32.2题型分类深度剖析PARTTWO题型一平面向量数量积的基本运算1.已知a＝(x,1)，b＝(－2,4)，若(a＋b)⊥b，则x等于A.8B.10C.11D.12√自主演练解析∵a＝(x,1)，b＝(－2,4)，∴a＋b＝(x－2,5)，又(a＋b)⊥b，∴(x－2)×(－2)＋20＝0，∴x＝12.2.(2018·全国Ⅱ)已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)等于A.4B.3C.2D.0√解析a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2|a|2－a·b.∵|a|＝1，a·b＝－1，∴原式＝2×12＋1＝3.3.(2019·铁岭模拟)设D，E为正三角形ABC中BC边上的两个三等分点，且BC＝2，则AD→·AE→等于A.49B.89C.269D.263∴AD→·AE→＝AB→＋13BC→·AC→＋13CB→＝23AB→＋13AC→·13AB→＋23AC→＝29|AB→|2＋59AB→·AC→＋29|AC→|2＝29×4＋59×2×2×12＋29×4＝269.解析如图，|AB→|＝|AC→|＝2，〈AB→，AC→〉＝60°，∵D，E是边BC的两个三等分点，√平面向量数量积的三种运算方法(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉.(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.(3)利用数量积的几何意义求解.思维升华AB上一点，且AB→·CD→＝－5，则|BD→|等于题型二平面向量数量积的应用命题点1求向量的模例1(1)(2019·抚顺模拟)在△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝5，AC＝6，D是多维探究A.1B.2C.3D.4√(2)设向量a，b，c满足|a|＝|b|＝2，a·b＝－2，〈a－c，b－c〉＝60°，则|c|的最大值为A.4B.2C.D.1√2∴cosα＝12，∵0≤α≤π，∴α＝π3.A.π6B.π3C.2π3D.5π6命题点2求向量的夹角例2(1)(2018·通辽质检)设向量a，b满足|a|＝2，|b|＝1，a·(a－b)＝3，则a与b的夹角为解析由题意得a·(a－b)＝a2－a·b＝4－2×1×cosα＝4－2cosα＝3，√|3e1－e2|＝3e1－e22＝3e21－23e1·e2＋e22＝3－0＋1＝2.(2)已知e1，e2是互相垂直的单位向量.若e1－e2与e1＋λe2的夹角为60°，则实数λ的值是____.解析由题意知|e1|＝|e2|＝1，e1·e2＝0，333同理|e1＋λe2|＝1＋λ2.所以cos60°＝3e1－e2·e1＋λe2|3e1－e2||e1＋λe2|＝3e21＋3λ－1e1·e2－λe2221＋λ2＝3－λ21＋λ2＝12，解得λ＝33.(1)求解平面向量模的方法思维升华①利用公式|a|＝x2＋y2.②利用|a|＝a2.(2)求平面向量的夹角的方法①定义法：cosθ＝a·b|a||b|，θ的取值范围为[0，π].②坐标法：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则cosθ＝x1x2＋y1y2x21＋y21·x22＋y22.③解三角形法：把两向量的夹角放到三角形中.跟踪训练1(1)(2019·锦州模拟)已知向量a与b的夹角为30°，且|a|＝1，|2a－b|＝1，则|b|＝____.3整理得|b|2－23|b|＋3＝(|b|－3)2＝0，解得|b|＝3.解析∵|2a－b|＝1，∴|2a－b|2＝4a2－4a·b＋b2＝1，∴4－4|b|cos30°＋b2＝1，(2)已知|a|＝1，|b|＝2，且a⊥(a－b)，则向量a与向量b的夹角为A.π6B.π4C.π3D.2π3解析∵a⊥(a－b)，∴a·(a－b)＝a2－a·b＝1－2cos〈a，b〉＝0，∴cos〈a，b〉＝22，∴〈a，b〉＝π4.√例3已知向量a＝cos3x2，sin3x2，b＝cosx2，－sinx2，且x∈－π3，π4.题型三平面向量与三角函数(1)求a·b及|a＋b|；师生共研(2)若f(x)＝a·b－|a＋b|，求f(x)的最大值和最小值.解f(x)＝cos2x－2cosx＝2cos2x－2cosx－1＝2cosx－122－32.∵x∈－π3，π4，∴12≤cosx≤1，∴当cosx＝12时，f(x)取得最小值－32；当cosx＝1时，f(x)取得最大值－1.平面向量与三角函数的综合问题的解题思路(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解.(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等.思维升华跟踪训练2在平面直角坐标系xOy中，已知向量m＝22，－22，n＝(sinx，cosx)，x∈0，π2.(1)若m⊥n，求tanx的值；解因为m＝22，－22，n＝(sinx，cosx)，m⊥n.所以m·n＝0，即22sinx－22cosx＝0，所以sinx＝cosx，所以tanx＝1.(2)若m与n的夹角为π3，求x的值.解因为|m|＝|n|＝1，所以m·n＝cosπ3＝12，即22sinx－22cosx＝12，所以sinx－π4＝12，因为0xπ2，所以－π4x－π4π4，所以x－π4＝π6，即x＝5π12.3课时作业PARTTHREE基础保分练1.已知a，b为非零向量，则“a·b0”是“a与b的夹角为锐角”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件√12345678910111213141516解析根据向量数量积的定义式可知，若a·b0，则a与b的夹角为锐角或零角，若a与b的夹角为锐角，则一定有a·b0，所以“a·b0”是“a与b的夹角为锐角”的必要不充分条件，故选B.2.已知向量a＝(1,1)，b＝(2，－3)，若ka－2b与a垂直，则实数k的值为A.1B.－1C.2D.－212345678910111213141516解析向量a＝(1,1)，b＝(2，－3)，则ka－2b＝(k－4，k＋6).若ka－2b与a垂直，则k－4＋k＋6＝0，解得k＝－1.故选B.√则2a－b＝22，故选A.3.(2018·乌海模拟)已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a－b＝(3，2)，则|2a－b|等于A.22B.17C.15D.25则(a－b)2＝a2＋b2－2a·b＝5－2a·b＝5，可得a·b＝0，结合|a|＝1，|b|＝2，可得(2a－b)2＝4a2＋b2－4a·b＝4＋4＝8，12345678910111213141516解析根据题意，|a－b|＝3＋2＝5，√a2－2a·b＋b2＝a2，解得|b|＝2|a|，∴cosθ＝a－b·b|a－b||b|＝a·b－|b|2|a||b|＝|a|2－2|a|22|a|2＝－22，∴θ＝135°，故选A.4.(2018·辽阳模拟)非零向量a，b满足：|a－b|＝|a|，a·(a－b)＝0，则a－b与b夹角θ的大小为A.135°B.120°C.60°D.45°√12345678910111213141516解析∵非零向量a