2020版高考数学大一轮复习 第十二章 概率、随机变量及其分布 12.3 离散型随机变量的分布列及期

§12.3离散型随机变量的分布列及期望、方差第十二章概率、随机变量及其分布NEIRONGSUOYIN内容索引基础知识自主学习题型分类深度剖析课时作业1基础知识自主学习PARTONE如果随机变量X的所有可能的取值都能出来，则称X为离散型随机变量.2.离散型随机变量的分布列及性质(1)离散型随机变量的分布列：若离散型随机变量X所有可能取的值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率为p1，p2，…，pn，则表1.离散型随机变量知识梳理ZHISHISHULIXx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn一一列举称为离散型随机变量X的概率分布或称为离散型随机变量X的分布列.(2)离散型随机变量的分布列的性质：①；②；③P(xi≤x≤xj)＝pi＋pi＋1＋…＋pj.3.常见离散型随机变量的分布列(1)二点分布如果随机变量X的分布列为X10Ppq其中0p1，q＝，则称离散型随机变量X服从参数为p的二点分布.pi≥0(i＝1,2,3，…，n)p1＋p2＋…＋pn＝11－p(2)超几何分布设有总数为N件的两类物品，其中一类有M件，从所有物品中任取n件(n≤N)，这n件中所含这类物品件数X是一个离散型随机变量，当X＝m时的概率为P(X＝m)＝(0≤m≤l，l为n和M中较小的一个)，称离散型随机变量X的这种形式的概率分布为超几何分布，也称X服从参数为N，M，n的超几何分布.CmMCn－mN－MCnN4.离散型随机变量的数学期望与方差设一个离散型随机变量X所有可能取的值是x1，x2，…，xn，这些值对应的概率是p1，p2，…，pn.(1)数学期望称E(X)＝为离散型随机变量X的均值或(简称期望)，它刻画了这个离散型随机变量的.(2)方差称D(X)＝叫做这个离散型随机变量X的方差，即反映了离散型随机变量取值相对于的(或说)，D(X)的叫做离散型随机变量X的标准差.x1p1＋x2p2＋…＋xnpn数学期望算术平方根DX平均取值水平(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn期望平均波动大小离散程度5.期望与方差的性质(1)E(aX＋b)＝.(2)D(aX＋b)＝.(a，b为常数)aE(X)＋ba2D(X)1.随机变量和函数有何联系和区别？提示区别：随机变量和函数都是一种映射，随机变量是随机试验结果到实数的映射，函数是实数到实数的映射；联系：随机试验结果的范围相当于函数的定义域，随机变量的取值范围相当于函数的值域.【概念方法微思考】2.离散型随机变量X的每一个可能取值为实数，其实质代表的是什么？提示代表的是“事件”，即事件是用一个反映结果的实数表示的.3.如何判断所求离散型随机变量的分布列是否正确？提示可用pi≥0，i＝1,2，…，n及p1＋p2＋…＋pn＝1检验.4.随机变量的期望、方差与样本期望、方差的关系是怎样的？提示随机变量的期望、方差是一个常数，样本期望、方差是一个随机变量，随观测次数的增加或样本容量的增加，样本的期望、方差趋于随机变量的期望与方差.题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量.()(2)离散型随机变量的概率分布列描述了由这个随机变量所刻画的随机现象.()(3)从4名男演员和3名女演员中选出4名，其中女演员的人数X服从超几何分布.()(4)离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和可以小于1.()×基础自测JICHUZICE123456√√√(5)随机变量的期望是常数，样本的平均数是随机变量，它不确定.()(6)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离期望的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量的平均程度越小.()123456√√题组二教材改编1234562.设随机变量X的分布列如下：则p为X12345Pp112161316A.16B.13C.14D.112√解析由分布列的性质知，112＋16＋13＋16＋p＝1，∴p＝1－34＝14.1234563.已知X的分布列为设Y＝2X＋3，则E(Y)的值为X－101P121316A.73B.4C.－1D.1√解析E(X)＝－12＋16＝－13，E(Y)＝E(2X＋3)＝2E(X)＋3＝－23＋3＝73.4.有一批产品共12件，其中次品3件，每次从中任取一件，在取到合格品之前取出的次品数X的所有可能取值是.解析因为次品共有3件，所以在取到合格品之前取出的次品数X的可能取值为0,1,2,3.1234560,1,2,3题组三易错自纠5.袋中有3个白球、5个黑球，从中任取2个，可以作为随机变量的是A.至少取到1个白球B.至多取到1个白球C.取到白球的个数D.取到的球的个数123456√解析选项A，B表述的都是随机事件；选项D是确定的值2，并不随机；选项C是随机变量，可能取值为0,1,2.1234566.一盒中有12个乒乓球，其中9个新的、3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，则P(X＝4)的值为.27220解析由题意知取出的3个球必为2个旧球、1个新球，故P(X＝4)＝C23C19C312＝27220.2题型分类深度剖析PARTTWO题型一分布列的求法例1设某人有5发子弹，当他向某一目标射击时，每发子弹命中目标的概率为.若他连续两发命中或连续两发不中则停止射击，否则将子弹打完.(1)求他前两发子弹只命中一发的概率；师生共研23(2)求他所耗用的子弹数X的分布列.解X的所有可能值为2,3,4,5.P(X＝2)＝P(A1A2)＋P(A1A2)＝23×23＋13×13＝59，P(X＝3)＝P(A1A2A3)＋P(A1A2A3)＝23×132＋13×232＝29，P(X＝4)＝P(A1A2A3A4)＋P(A1A2A3A4)＝233×13＋133×23＝1081，P(X＝5)＝P(A1A2A3A4)＋P(A1A2A3A4)＝232×132＋132×232＝881.故X的分布列为X2345P59291081881求离散型随机变量X的分布列的步骤(1)理解X的意义，写出X可能取的全部值；(2)求X取每个值的概率；(3)写出X的分布列.求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所取值对应的概率，在求解时，要注意应用计数原理、古典概型等知识.思维升华跟踪训练1已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束.(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；则P(A)＝A12A13A25＝310.解记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A，P(X＝400)＝1－P(X＝200)－P(X＝300)＝1－110－310＝35.(2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X的分布列.解X的可能取值为200,300,400.故X的分布列为P(X＝200)＝A22A25＝110，P(X＝300)＝A33＋C12C13A22A35＝310，X200300400P11031035题型二期望与方差例2某投资公司在2019年年初准备将1000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：项目一：新能源汽车.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率分别为和；项目二：通信设备.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能损失30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为，和.针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由.师生共研79293513115离散型随机变量的期望与方差的常见类型及解题策略(1)求离散型随机变量的期望与方差.可依题设条件求出离散型随机变量的分布列，然后利用期望、方差公式直接求解.(2)由已知期望或方差求参数值.可依据条件利用期望、方差公式得出含有参数的方程(组)，解方程(组)即可求出参数值.(3)由已知条件，作出对两种方案的判断.可依据期望、方差的意义，对实际问题作出判断.思维升华跟踪训练2为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动.该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元(不足1小时的部分按1小时计算).有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为，；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为，；两人滑雪时间都不会超过3小时.(1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；14161223(2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与期望E(ξ)，方差D(ξ).题型三超几何分布师生共研例3(2017·山东)在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用.现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示.(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率；则P(M)＝C48C510＝518.解记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件为M，(2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列与期望E(X).解由题意知X可取的值为0,1,2,3,4，则P(X＝0)＝C56C510＝142，P(X＝1)＝C46C14C510＝521，P(X＝2)＝C36C24C510＝1021，P(X＝3)＝C26C34C510＝521，P(X＝4)＝C16C44C510＝142.因此X的分布列为X01234P1425211021521142＝0＋1×521＋2×1021＋3×521＋4×142＝2.所以X的期望E(X)＝0×P(X＝0)＋1×P(X＝1)＋2×P(X＝2)＋3×P(X＝3)＋4×P(X＝4)(1)超几何分布的两个特点①超几何分布是不放回抽样问题；②随机变量为抽到的某类个体的个数.(2)超几何分布的应用条件①两类不同的物品(或人、事)；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体.思维升华跟踪训练3PM2.5是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于2.5微米的可入肺颗粒物.根据现行国家标准GB3095－2012，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标.从某自然保护区2018年全年每天的PM2.5监测数据中随机地抽取10天的数据作为样本，监测值频数如下表所示：PM2.5日均值(微克/立方米)[25,35)[35,45)[45,55)[55,65)[65,75)[75,85]频数311113解记“从这10天的PM2.5日均值监测数据中，随机抽出3天，恰有一天空气质量达到一级”为事件A，则P(A)＝C13C27C310＝2140.(1)从这10天的PM2.5日均值监测数据中，随机抽出3天，求恰有一天空气质量达到一级的概率；(2)从这10天的数据中任取3天数据，记ξ表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求ξ的分布列.解由条件知，ξ服从超几何分布，其中N＝10，M＝3，n＝3，且随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3.P(ξ＝k)＝Ck3·C3－k7C310(k＝0,1,2,3).∴P(ξ＝0)＝C03C37C310＝724，P(ξ＝1)＝C13C27C310＝2140，P(ξ＝2)＝C23C17C310＝740，P(ξ＝3)＝C33C07C310＝1120.故ξ的分布列为ξ0123P724