2020版高考数学大一轮复习 第三章 导数及其应用 高考专题突破一 高考中的导数应用问题（第2课时）

第2课时导数与方程第三章高考专题突破一高考中的导数应用问题NEIRONGSUOYIN内容索引题型分类深度剖析课时作业题型分类深度剖析1PARTONE题型一求函数零点个数例1(2018·乌海模拟)已知函数f(x)＝2a2lnx－x2(a0).(1)求函数f(x)的单调区间；师生共研∴f′(x)＝2a2x－2x＝2a2－2x2x＝－2x－ax＋ax，解∵f(x)＝2a2lnx－x2，∵x0，a0，当0xa时，f′(x)0，当xa时，f′(x)0.∴f(x)的单调递增区间是(0，a)，单调递减区间是(a，＋∞).(2)讨论函数f(x)在区间(1，e2)上零点的个数(e为自然对数的底数).(1)可以通过构造函数，将两曲线的交点问题转化为函数零点问题.(2)研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，并借助函数的大致图象判断方程根的情况.思维升华跟踪训练1设函数f(x)＝lnx＋，m∈R.(1)当m＝e(e为自然对数的底数)时，求f(x)的极小值；∴当x∈(0，e)时，f′(x)0，f(x)在(0，e)上单调递减，当x∈(e，＋∞)时，f′(x)0，f(x)在(e，＋∞)上单调递增，mx解由题设，当m＝e时，f(x)＝lnx＋ex，则f′(x)＝x－ex2(x0)，由f′(x)＝0，得x＝e.∴当x＝e时，f(x)取得极小值f(e)＝lne＋ee＝2，∴f(x)的极小值为2.(2)讨论函数g(x)＝f′(x)－的零点的个数.x3题型二根据函数零点情况求参数范围师生共研例2(2018·全国Ⅰ)已知函数f(x)＝－x＋alnx.(1)讨论f(x)的单调性；1x(2)若f(x)存在两个极值点x1，x2，证明：fx1－fx2x1－x2a－2.函数的零点个数可转化为函数图象的交点个数，确定参数范围时要根据函数的性质画出大致图象，充分利用导数工具和数形结合思想.思维升华跟踪训练2已知函数f(x)＝xlnx，g(x)＝－x2＋ax－3(a为实数)，若方程g(x)＝2f(x)在区间上有两个不等实根，求实数a的取值范围.1e，e课时作业2PARTTWO1.已知函数f(x)＝a＋·lnx(a∈R)，试求f(x)的零点个数.基础保分练123456x(1)判断f(x)在(0，＋∞)上的单调性；123456令f′(x)0，解得x1，令f′(x)0，解得0x1，所以f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增.2.已知f(x)＝1x＋exe－3，F(x)＝lnx＋exe－3x＋2.解f′(x)＝－1x2＋exe＝x2ex－eex2，(2)判断函数F(x)在(0，＋∞)上零点的个数.123456解F′(x)＝f(x)＝1x＋exe－3，由(1)得∃x1，x2，满足0x11x2，使得f(x)在(0，x1)上大于0，在(x1，x2)上小于0，在(x2，＋∞)上大于0，即F(x)在(0，x1)上单调递增，在(x1，x2)上单调递减，在(x2，＋∞)上单调递增，而F(1)＝0，x→0时，F(x)→－∞，x→＋∞时，F(x)→＋∞，画出函数F(x)的草图，如图所示.故F(x)在(0，＋∞)上的零点有3个.3.已知函数f(x)＝ax2(a∈R)，g(x)＝2lnx，且方程f(x)＝g(x)在区间[，e]上有两个不相等的解，求a的取值范围.12345624.已知函数f(x)＝－x2＋2ex＋m－1，g(x)＝x＋(x0).(1)若g(x)＝m有零点，求m的取值范围；123456e2x解∵g(x)＝x＋e2x≥2e2＝2e(x0)，当且仅当x＝e2x时取等号，∴当x＝e时，g(x)有最小值2e.∴要使g(x)＝m有零点，只需m≥2e.即当m∈[2e，＋∞)时，g(x)＝m有零点.(2)确定m的取值范围，使得g(x)－f(x)＝0有两个相异实根.123456如图，作出函数g(x)＝x＋e2x(x0)的大致图象.解若g(x)－f(x)＝0有两个相异实根，则函数g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点.∵f(x)＝－x2＋2ex＋m－1＝－(x－e)2＋m－1＋e2，∴其对称轴为x＝e，f(x)max＝m－1＋e2.若函数f(x)与g(x)的图象有两个交点，则m－1＋e22e，即当m－e2＋2e＋1时，g(x)－f(x)＝0有两个相异实根.∴m的取值范围是(－e2＋2e＋1，＋∞).123456技能提升练5.已知函数f(x)＝(x－2)ex＋a(x－1)2有两个零点.(1)求a的取值范围；123456(2)设x1，x2是f(x)的两个零点，证明：x1＋x22.6.已知函数f(x)＝(3－a)x－2lnx＋a－3在上无零点，求实数a的取值范围.123456拓展冲刺练0，14