2020版高考数学大一轮复习 第六章 数列与数学归纳法 6.4 数学归纳法课件 理 新人教A版

§6.4数学归纳法第六章数列与数学归纳法NEIRONGSUOYIN内容索引基础知识自主学习题型分类深度剖析课时作业1基础知识自主学习PARTONE数学归纳法一般地，证明一个与自然数相关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n取(n0∈N＋)时命题成立；(2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N＋)时命题成立的前提下，推出当时命题也成立.只要完成这两个步骤，就可以断定命题对n取第一个值后面的有正整数成立.第一个值n0n＝k＋1知识梳理ZHISHISHULI1.用数学归纳法证题时，证明当n取第一个值n0(n0∈N＋)时命题成立.因为n0∈N＋，所以n0＝1.这种说法对吗？提示不对，n0也可能是2,3,4，….如用数学归纳法证明多边形内角和定理(n－2)π时，初始值n0＝3.【概念方法微思考】2.数学归纳法的第一个步骤可以省略吗？提示不可以，数学归纳法的两个步骤相辅相成，缺一不可.3.有人说，数学归纳法是合情推理，这种说法对吗？提示不对，数学归纳法是一种证明与自然数有关的命题的方法，它是演绎推理.题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明.()(2)用数学归纳法证明问题时，归纳假设可以不用.()(3)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由n＝k到n＝k＋1时，项数都增加了一项.()(4)用数学归纳法证明等式“1＋2＋22＋…＋2n＋2＝2n＋3－1”，验证n＝1时，左边式子应为1＋2＋22＋23.()(5)用数学归纳法证明凸n边形的内角和公式时，n0＝3.()×××基础自测JICHUZICE√√123456题组二教材改编A.1B.2C.3D.41234562.在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为12n(n－3)条时，第一步检验n等于解析凸n边形边数最小时是三角形，故第一步检验n＝3.√3.已知{an}满足an＋1＝a－nan＋1，n∈N＋，且a1＝2，则a2＝___，a3＝___，a4＝___，猜想an＝_____.31234562n5n＋14A.1B.1＋aC.1＋a＋a2D.1＋a＋a2＋a3123456题组三易错自纠4.用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋an＋1＝1－an＋21－a(a≠1，n∈N＋)，在验证n＝1时，等式左边的项是解析当n＝1时，n＋1＝2，∴左边＝1＋a1＋a2＝1＋a＋a2.√∴当n＝k＋1时，不等式成立.则上述证法A.过程全部正确B.n＝1验证的不正确C.归纳假设不正确D.从n＝k到n＝k＋1的推理不正确1234565.对于不等式n2＋nn＋1(n∈N＋)，某同学用数学归纳法证明的过程如下：(1)当n＝1时，12＋11＋1，不等式成立.(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时，不等式成立，即k2＋kk＋1，则当n＝k＋1时，k＋12＋k＋1＝k2＋3k＋2k2＋3k＋2＋k＋2＝k＋22＝(k＋1)＋1.解析在n＝k＋1时，没有应用n＝k时的假设，不是数学归纳法.√6.用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋2n＝2n－1＋22n－1(n∈N＋)时，假设当n＝k时命题成立，则当n＝k＋1时，左端增加的项数是___.2k解析运用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋2n＝2n－1＋22n－1(n∈N＋).当n＝k时，则有1＋2＋3＋…＋2k＝2k－1＋22k－1(k∈N＋)，左边表示的为2k项的和.当n＝k＋1时，则左边＝1＋2＋3＋…＋2k＋(2k＋1)＋…＋2k＋1，表示的为2k＋1项的和，增加了2k＋1－2k＝2k项.1234562题型分类深度剖析PARTTWO题型一用数学归纳法证明等式自主演练用数学归纳法证明：12×4＋14×6＋16×8＋…＋12n2n＋2＝n4n＋1(n∈N＋).用数学归纳法证明恒等式应注意(1)明确初始值n0并验证当n＝n0时等式成立.(2)由n＝k证明n＝k＋1时，弄清左边增加的项，且明确变形目标.(3)掌握恒等变形常用的方法：①因式分解；②添拆项；③配方法.思维升华题型二用数学归纳法证明不等式例1等比数列{an}的前n项和为Sn，已知对任意的n∈N＋，点(n，Sn)均在函数y＝bx＋r(b0且b≠1，b，r均为常数)的图象上.(1)求r的值；解由题意得，Sn＝bn＋r，当n≥2时，Sn－1＝bn－1＋r.所以an＝Sn－Sn－1＝bn－1(b－1).由于b0且b≠1，所以n≥2时，{an}是以b为公比的等比数列.又a1＝S1＝b＋r，a2＝b(b－1)，师生共研所以当a2a1＝b，即bb－1b＋r＝b，解得r＝－1.(2)当b＝2时，记bn＝2(log2an＋1)(n∈N＋)，证明：对任意的n∈N＋，不等式b1＋1b1·b2＋1b2·…·bn＋1bnn＋1成立.用数学归纳法证明与n有关的不等式，在归纳假设使用后可运用比较法、综合法、分析法、放缩法等来加以证明，充分应用均值不等式、不等式的性质等放缩技巧，使问题得以简化.思维升华跟踪训练1数学归纳法证明：对一切大于1的自然数，不等式1＋131＋15·…·1＋12n－12n＋12均成立.题型三归纳—猜想—证明例2设函数f(x)＝ln(1＋x)，g(x)＝xf′(x)，x≥0，其中f′(x)是f(x)的导函数.(1)令g1(x)＝g(x)，gn＋1(x)＝g(gn(x))，n∈N＋，求gn(x)的表达式；多维探究命题点1与函数有关的证明问题(2)若f(x)≥ag(x)恒成立，求实数a的取值范围.(1)计算S1，S2，S3，S4的值，猜想Sn的表达式；命题点2与数列有关的证明问题例3已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝－23，且Sn＋1Sn＋2＝an(n≥2).解S1＝a1＝－23，S2＋1S2＋2＝S2－S1⇒S2＝－34，S3＋1S3＋2＝S3－S2⇒S3＝－45，S4＋1S4＋2＝S4－S3⇒S4＝－56.由此猜想：Sn＝－n＋1n＋2(n∈N＋).(2)用数学归纳法证明所得的结论.命题点3存在性问题的证明例4是否存在a，b，c使等式1n2＋2n2＋3n2＋…＋nn2＝an2＋bn＋cn对一切n∈N＋都成立，若不存在，说明理由；若存在，请用数学归纳法证明你的结论.“归纳—猜想—证明”属于探索性问题的一种，一般要经过计算、观察、归纳，然后猜想出结论，再用数学归纳法证明.在用这种方法解决问题时，应保证猜想的正确性和数学归纳法步骤的完整性.思维升华∵在数列{an}中，an0，跟踪训练2已知正项数列{an}中，对于一切的n∈N＋均有a2n≤an－an＋1成立.证明由a2n≤an－an＋1，得an＋1≤an－a2n.∴an＋10，∴an－a2n0，∴0an1，故数列{an}中的任何一项都小于1.(1)证明：数列{an}中的任意一项都小于1；(2)探究an与1n的大小关系，并证明你的结论.3课时作业PARTTHREE解析等式右边的分母是从1开始的连续的自然数，且最大分母为6n－1，则当n＝1时，最大分母为5，故选C.基础保分练1234567891011121314151.若f(n)＝1＋12＋13＋…＋16n－1(n∈N＋)，则f(1)的值为A.1B.15C.1＋12＋13＋14＋15D.非以上答案√2.已知f(n)＝12＋22＋32＋…＋(2n)2，则f(k＋1)与f(k)的关系是A.f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2B.f(k＋1)＝f(k)＋(k＋1)2C.f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋2)2D.f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2解析f(k＋1)＝12＋22＋32＋…＋(2k)2＋(2k＋1)2＋[2(k＋1)]2＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2.1234567891012131415√11A.1项B.k项C.2k－1项D.2k项12345678910121314153.利用数学归纳法证明不等式1＋12＋13＋…＋12n－1f(n)(n≥2，n∈N＋)的过程中，由n＝k到n＝k＋1时，左边增加了√11解析等式左边是从1开始的连续自然数的和，直到n2.故n＝k＋1时，最后一项是(k＋1)2，而n＝k时，最后一项是k2，应加上(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)2.12345678910121314154.用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝n4＋n22，则当n＝k＋1时左端应在n＝k的基础上加上A.k2＋1B.(k＋1)2C.k＋14＋k＋122D.(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)2√115.设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足当f(k)≥k＋1成立时，总能推出f(k＋1)≥k＋2成立，那么下列命题总成立的是A.若f(1)2成立，则f(10)11成立B.若f(3)≥4成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k＋1成立C.若f(2)3成立，则f(1)≥2成立D.若f(4)≥5成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k＋1成立1234567891012131415√11解析观察不等式中分母的变化便知.12345678910121314156.用数学归纳法证明122＋132＋…＋1n＋1212－1n＋2，假设n＝k时，不等式成立，则当n＝k＋1时，应推证的目标不等式是_____________________________________.122＋132＋…＋1k＋12＋1k＋2212－1k＋31112345678910121314157.已知f(n)＝1＋12＋13＋…＋1n(n∈N＋)，经计算得f(4)2，f(8)52，f(16)3，f(32)72，则其一般结论为_______________________.f(2n)n＋22(n≥2，n∈N＋)解析观察规律可知f(22)2＋22，f(23)3＋22，f(24)4＋22，f(25)5＋22，…，故得一般结论为f(2n)n＋22(n≥2，n∈N＋).11解析不等式的左边增加的式子是12345678910121314158.用数学归纳法证明不等式1n＋1＋1n＋2＋…＋1n＋n1324的过程中，由n＝k推导n＝k＋1时，不等式的左边增加的式子是_______________.12k＋12k＋212k＋1＋12k＋2－1k＋1＝12k＋12k＋2.1112345678910121314159.若数列{an}的通项公式an＝1n＋12，记cn＝2(1－a1)·(1－a2)…(1－an)，试通过计算c1，c2，c3的值，推测cn＝_____.n＋2n＋1解析c1＝2(1－a1)＝2×1－14＝32，c2＝2(1－a1)(1－a2)＝2×1－14×1－19＝43，c3＝2(1－a1)(1－a2)(1－a3)＝2×1－14×1－19×1－116＝54，故由归纳推理得cn＝n＋2n＋1.1110.用数学归纳法证明(n＋1)(n＋2)(n＋3)…(n＋n)＝2n·1·3·5…(2n－1)(n∈N＋)时，从n＝k到n＝k＋1时左边需增乘的代数式是______.4k＋2解析用数学归纳法证明(n＋1)(n＋2)(n＋3)…(n＋n)＝2n·1·3·5…(2n－1)(n∈N＋)时，从n＝k到n＝k＋1时左边需增乘的代数式是1234567891012131415k＋1＋kk＋1＋k＋1k＋1＝2(2k＋1).1112345678910111213141511.求证：1n＋1＋1n＋2＋…＋13n56(n≥2，n∈N＋).所以b2＝b11－4a21＝13，a2＝a1·b2＝13.12.已知点Pn(an，bn)满足an＋1＝an·bn＋1，bn＋1＝bn1－4a2n(n∈N＋)，且点