基于常微分方程的中国人口增长预测

精编WORD文档下载可编缉打印下载文档，远离加班熬夜基于常微分方程的中国人口增长预测篇一：一阶常微分方程模型—人口模型与预测辽宁工程技术大学数学建模课程成绩评定表赵常新魏文楷潘洋一阶常微分方程模型—人口模型与预测数学建模一阶常微分方程模型—人口模型与预测一．摘要：二．模型的背景问题描述三．模型假设四.分析与建立模型下表列出了中国1982-1998年的人口统计数据，取1982年为起始年（t?0），N0?101654万人，Nm?200000万人。要求：（1）建立中国人口的指数增长模型，并用该模型进行预测，与实际人口数据进行比较。（2）建立中国人口的Logistic模型，并用该模型进行预测，与实际人口数据进行比较。（3）利用MATLAB图形，标出中国人口的实际统计数据，并画出两种模型的预测曲线。精编WORD文档下载可编缉打印下载文档，远离加班熬夜赵常新魏文楷潘洋一阶常微分方程模型—人口模型与预测（4）利用MATLAB图形，画出两种预测模型的误差比较图，并分别标出其误差。模型一：指数增长模型（马尔萨斯（Malthus）模型）假设：人口净增长率r是一常数符号：x(t)??t时刻时的人口，可微函数x0??t?0时的人口则r?x(t??t)?x(t)x(t)?t?dx于是x（t）满足如下微分方程：??dt?rx??x(0)?x0解为：x(t)?x0ert模型二：Logistic模型人口净增长率应当与人口数量有关，即：r=r(x)?dx从而有：??dt?r(x)x??x(0)?x0对马尔萨斯模型引入一次项（竞争项），令r(x)=r-ax此时得到微分方程：dxdt?(r?ax)x或dxdt?r(1?xx)xm可改写成：精编WORD文档下载可编缉打印下载文档，远离加班熬夜dxdt?rx(xm?x)xm分离变量：??1?1?x?dx?rdt?xm?x?两边积分并整理得：x?xm1?Ce?rt令x(0)=xxm?x00，求得：C?x?xmx?100满足初始条件x(0)=xxm0的解为：x(t)?1?(xm?1)e?rtx0数学建模易见：limx(t)?xmt???五．模型的求解1、运行结果p=0.013111.5342y?0.0131t?11.5342精编WORD文档下载可编缉打印下载文档，远离加班熬夜?lnx0?11.5342?x0?102150.2451?x(t)?102150.24514e0.0131t预测公式预测1991--1998年的人口数量可得，1998年的由指数增长模型预测出的人口数于实际人口数相差最小，而其他年份的真实值与预测值之间有差别：由1991年开始，指数增长模型预测的结果很好的反映了实际情况。按此模型预测现在中国人口已超过13亿，到2021年中国人口将超过15亿。我们看到，尽管中国出台了计划生育的措施，但中国近几年仍处于高生育期，按指数增长模型预测的结果均比实际人口要多一些。同时由于中国人口调控政策比较得力，中国人口的自然增长率在逐年下降，虽仍有一定误差，但仍基本显示了1991--1998年的人口增长的趋势。2、运行结果篇二：微分方程模型—人口模型与预测实验报告2012——2013学年第2学期合肥学院数理系实验报告?课程名称：数学模型实验项目：微分方程模型—人口模型与预测实验类别：综合性□设计性□验证性□专业班级：10级数学与应用数学（2）班姓名：王倩学号：1007022039精编WORD文档下载可编缉打印下载文档，远离加班熬夜实验地点：数理系机房实验时间：2021年5月2日指导教师：闫晓辉成绩：一.实验目的：掌握常微分方程模型的建模方法，并能用数值算法或MATLAB库函数求解。二.实验内容：下表列出了中国1982-1998年的人口统计数据，取1982年为起始年（t?0），N0?101654万人，Nm?200000万人。实验要求：1、建立中国人口的指数增长模型，并用该模型进行预测，与实际人口数据进行比较。2、建立中国人口的Logistic模型，并用该模型进行预测，与实际人口数据进行比较。3、绘图，在图中标出中国人口的实际统计数据，并画出两种模型的预测曲线。三.实验方案（程序设计说明）模型一：指数增长模型（马尔萨斯（Malthus）模型）假设：人口净增长率r是一常数符号：x(t)??t时刻时的人口，可微函数x0??t?0时的人口则r?x(t??t)?x(t)精编WORD文档下载可编缉打印下载文档，远离加班熬夜x(t)?t?dx??rx于是x（t）满足如下微分方程：?dt?x(0)?x0?解为：x(t)?x0ert模型二：Logistic模型人口净增长率应当与人口数量有关，即：r=r(x)?dx??r(x)x从而有：?dt?x(0)?x0?对马尔萨斯模型引入一次项（竞争项），令r(x)=r-ax此时得到微分方程：dxxdx?(r?ax)x或?r(1?)xdtxmdt可改写成：dxr?(xm?x)xdtxm?11?分离变量：???dx?rdt?xxm?x?精编WORD文档下载可编缉打印下载文档，远离加班熬夜两边积分并整理得：x?xm?rt1?Cexm?x0xm??1x0x0令x(0)=x0，求得：C?满足初始条件x(0)=x0的解为：x(t)?xmx1?(m?1)e?rtx0易见：limx(t)?xmt???四.实验步骤或程序（经调试后正确的源程序）1、matlab源程序%以1982-1998年共计17个数据为例进行拟合：t=0:16;%输入数据s=[101654103008104357105851107507109300111026112704114333115823117171118517119850121121122389123626124810];y=log(s);p=polyfit(t,y,1)精编WORD文档下载可编缉打印下载文档，远离加班熬夜2、matlab源程序t=0:16;s=101654*(1+0.0131).^t;plot(t,s,'r')holdont=0:16;s=[101654103008104357105851107507109300111026112704114333115823117171118517119850121121122389123626124810];plot(t,s,'o')holdont=0:16;s=200000./(1+(200000/101654-1)*exp(-0.029*t));plot(t,s,'c')五．程序运行结果1、运行结果p=0.013111.5342y?0.0131t?11.5342?lnx0?11.5342?x0?102150.2451?x(t)?102150.24514e0.0131t预测公式预测1991--1998年的人口数量可得，1998年的由指数增长模型预测出的人口数于实际人口数相差最小，而其他年份的真实值与预测值之间有差别：由1991年开始，指数增长模型预测的结果很好的反映了实际情况。按此模型预测现在中国人口已超过13亿，到2021年中国人口将超过15亿。我们看到，尽管中国出台了计划生育的措施，但中国近几年仍处于高生育期，按指数增长模型预测的结果均比实际人口要多一些。同时由于中国人口调控政策比较精编WORD文档下载可编缉打印下载文档，远离加班熬夜得力，中国人口的自然增长率在逐年下降，虽仍有一定误差，但仍基本显示了1991--1998年的人口增长的趋势。2、运行结果如图所示：圈：人口的实际统计数据红线：人口的指数增长曲线x(t)=x0ert(x0=101654（1982人口），r=0.01116)篇三：基于指数增长模型的全国人口预测基于指数增长模型的全国人口预测摘要：本文根据每十年一次的全国人口普查中总人口的数据，建立了指数增长模型，并通过1975—2021年度数据验证了它的准确性，同时利用此模型实现了对未来总人口的预测，发现在短时间内，我国人口总数随着时间的增长而不断增大。关键词：人口增长率；指数增长模型；递归模型0引言我国人口一直呈持续增长趋势，为了发现人口增长的规律，以便于国家对人口政策作出合理调整，所以应该对未来人口进行预测，人口的预测与控制是一个较为复杂的问题，在不考虑资源与环境等干扰因素的影响下，最简单的人口增长与预测方案是人所共知的指数增长模型[1]。1指数增长模型1.1模型的原理精编WORD文档下载可编缉打印下载文档，远离加班熬夜指数增长是经济学理论中重要的分析工具，当一个变量在一定时期内按固定比率增长时，指数（或几何）增长就发生了。例如：当数量为200的人口每年以3%的比列增加时，在起始年份（第0年），人口为200，第1年人口数为200×（1+0.03）??；第2年人口数为200（1+0.03）??；……；第n年人口数为200×（1+0.03）