2019秋九年级数学上册 第4章 图形的相似 4.3 相似多边形课件 （新版）北师大版

第四章图形的相似初中数学（北师大版）九年级上册定义各角分别相等、各边成比例的两个多边形叫做相似多边形表示五边形ABCDE和五边形A1B1C1D1E1相似,叫做五边形ABCDE∽五边形A1B1C1D1E1,“∽”读作“相似于”相似比相似多边形对应边的比叫做相似比.如四边形ABCD∽四边形A'B'C'D',如果 = ,那么四边形ABCD和四边形A'B'C'D'的相似比为 ,四边形A'B'C'D'与四边形ABCD的相似比为 性质如果两个多边形相似,那么这两个多边形的对应角相等,对应边成比例,可简单记为(1)相似多边形的对应角相等;(2)相似多边形的对应边成比例ABA'B'232332图例 五边形ABCDE和五边形A'B'C'D'E'中,∠A=∠A',∠B=∠B',∠C=∠C',∠D=∠D',∠E=∠E', = = = = ,则五边形ABCDE∽五边形A'B'C'D'E'重点解读(1)形状相同的图形即为相似图形,两个全等的多边形是相似多边形,其相似比为1,也就是说全等图形是特殊的相似图形.(2)用相似符号表示两个多边形相似时,要把对应顶点的字母写在对应的位置上,用叙述的方式说明多边形时,要确定好各边角的对应关系.(3)判定两个多边形相似要满足两个条件:①角对应相等;②边对应成比例.这两个条件缺一不可,即各角对应相等的两个多边形不一定相似,各边对应成比例的两个多边形也不一定相似.(4)相似比是有顺序的ABA'B'BCB'C'CDC'D'DED'E'EAE'A'例如图4-3-1所示的两个矩形相似吗?为什么? 图4-3-1分析根据相似多边形的定义进行判断.解析矩形ABCD∽矩形A1B1C1D1.理由:∵四边形ABCD与四边形A1B1C1D1都是矩形,∴∠A=∠A1=∠B=∠B1=∠C=∠C1=∠D=∠D1=90°.∵AB=CD=8,A1B1=C1D1=4,AD=BC=12,A1D1=B1C1=6,∴ = = =2, = = =2,∴ = = = .∴矩形ABCD∽矩形A1B1C1D1.方法归纳判定两个多边形相似时,一定要满足两个条件:①角对应相等;②边对应成比例.二者缺一不可.11ABAB11CDCD8411BCBC11ADAD12611ABAB11CDCD11BCBC11ADAD题型相似多边形性质的应用例如图4-3-2所示,四边形ABCD∽四边形EFGH,∠A=77°,∠B=83°,∠H=117°,AD=18,EF=6,FG=7,EH=4,求∠G的度数和AB、BC的长. 图4-3-2分析由相似多边形的对应角相等,可以求得∠E、∠F的度数.在四边形EFGH中,根据多边形的内角和定理可以求得∠G的度数.因为AD与EH是对应边,所以可求得四边形ABCD与四边形EFGH的相似比,进而根据相似多边形对应边成比例求得AB、BC的长.解析∵四边形ABCD∽四边形EFGH,∴∠E=∠A=77°,∠F=∠B=83°,∴∠G=360°-(∠E+∠F+∠H)=83°.又∵四边形ABCD∽四边形EFGH,∴相似比为 = = ,∴AB= EF= ×6=27,BC= FG= ×7= .ADEH1849292929292632易错点错误判定两个多边形相似对相似多边形的概念掌握不牢固,在判断两个多边形是否相似时,仅凭边对应成比例或角对应相等就判定两个多边形相似.例如图4-3-3,一块矩形草坪长30m,宽20m,外围有等宽(宽度为2m)的小路,请问里外两个矩形相似吗? 图4-3-3解析不相似,因为对应边不成比例.易错警示误认为对应边成比例,其实不然.因为内矩形的长、宽分别为30m、20m,小路宽2m,所以外矩形的长、宽分别为34m、24m,而 ≠ ,所以不相似.30203424知识点相似多边形1.(2018甘肃临洮期中)观察下列每组图形,相似图形是 () 答案D根据相似图形的定义,可得出答案.2.下列说法中,正确的有 ()①所有的正三角形都相似;②所有的正方形都相似;③所有的等腰直角三角形都相似;④所有的矩形都相似;⑤所有的菱形都相似.A.2个B.3个C.4个D.5个说法正误分析①√形状相同,相似②√形状相同,相似③√形状相同,相似④✕对应边不一定成比例,不一定相似,如一般矩形和正方形⑤✕对应角不一定相等,不一定相似,如一般菱形和正方形答案B分析如下:根据上述分析可知,正确的有3个,故选B.3.如图4-3-1所示的三个矩形,其中是相似图形的是 () 图4-3-1A.甲和乙B.甲和丙C.乙和丙D.甲、乙和丙答案B矩形甲的长与宽的比是3∶2,矩形乙的长与宽的比是5∶3,矩形丙的长与宽的比是3∶2,因为矩形的四个角都是直角,所以矩形甲和矩形丙相似.4.如图4-3-2,四边形ABCD与四边形EFGH相似,试求出x及∠α的大小. 图4-3-2解析因为四边形ABCD与四边形EFGH相似,所以∠H=∠D=95°,则∠α=360°-95°-118°-67°=80°.由x∶7=12∶6,解得x=14.5.在如图4-3-3①所示的网格图中有一个四边形,请在图4-3-3②中画出一个与它相似的四边形. 图4-3-3解析作图如下:(答案不唯一)1.一块四周镶有花边的地毯如图所示,它的长为16m,宽为10m,如果中央矩形图案的长为8m,要使中央矩形图案的形状与矩形地毯的形状相同,那么中央矩形图案的宽为. 答案5m解析因为中央矩形图案的形状与矩形地毯的形状相同,所以中央矩形图案的长与宽的比等于矩形地毯的长与宽的比.设中央矩形图案的宽为xm,则8∶x=16∶10,解得x=5,即中央矩形图案的宽为5m.2.已知一个四边形的四条边的长分别为54cm,48cm,45cm,63cm,另一个和它相似的四边形的最短边的长为15cm,则这个四边形的最长边的长为cm.答案21解析由两个四边形相似得这两个四边形的最长边和最短边对应成比例.设所求四边形的最长边的长为xcm,可得 = ,解得x=21.154563x1.(2018江苏无锡滨湖期末)已知A4纸的宽为21cm,如图4-3-4,对折后所得的两个矩形都和原来的矩形相似,则A4纸的长约为 () 图4-3-4A.24.8cmB.26.7cmC.29.7cmD.无法确定答案C设A4纸的长为xcm,则对折后的矩形的宽为 cm,∵对折后所得的两个矩形都和原来的矩形相似,∴ = ,∴x=21 ≈29.7,即A4纸的长约为29.7cm.故选C.2x212x21x22.如图4-3-5所示,一般书本的纸张是由原纸张多次对开得到的.矩形ABCD沿EF对开后,再把矩形EFCD沿MN对开,依此类推.若各种开本的矩形都相似,那么 等于 () ABAD图4-3-5A.0.618B. C. D.2222答案B由题意得矩形ABCD与矩形AEFB相似,则 = ,又AE= AD,所以AB2= AD2,所以 = ,故选B.ADABABAE1212ABAD223.如图4-3-6,在一幅长80cm,宽50cm的矩形风景画ABCD的四周镶上金色纸边,制成一幅矩形挂图A'B'C'D'.如果金色镶边纸的宽度x为5cm,那么原矩形风景画ABCD与矩形挂图A'B'C'D'是否相似?若相似,请求出相似比;若不相似,请说明理由. 图4-3-6解析原矩形风景画ABCD与矩形挂图A'B'C'D'不相似.理由:因为矩形ABCD的长为80cm,宽为50cm,宽度x为5cm,所以矩形A'B'C'D'的长为90cm,宽为60cm,而 ≠ ,所以这两个矩形不相似.805090601.如图,取一张长为a,宽为b的长方形纸片,将它对折两次后得到一张小长方形纸片,若要使小长方形与原长方形相似,则原长方形纸片的边a、b应满足的条件是 () A.a= bB.a=2bC.a=2 bD.a=4b22答案B对折两次后得到的小长方形的长为b,宽为 a,∵小长方形与原长方形相似,∴ = ,∴a2=4b2,即a=2b.故选B.14ab14ba2.如图,E、F、G分别是矩形ABCD的边AB、BC、AD的中点.问:(1)矩形ABFG和矩形ABCD相似吗?(2)矩形AEHG和矩形ABCD相似吗? 解析(1)不相似.因为 ≠ ,即对应边不成比例,所以两个矩形不相似.(2)相似.因为矩形AEHG和矩形ABCD的每一个角都是90°,所以对应角相等.又因为 = = = = ,所以这两个矩形相似.ABABBFBCAEABEHBCGHDCAGAD123.如图,一个木框内外是两个矩形ABCD和EFGH.问:当图中所标尺寸满足什么条件时,这两个矩形相似? 解析已经满足四个角都是直角,即对应角相等,下面的问题就是,要使这两个矩形相似,还必须满足对应边成比例,即 = .化简,得mn-2ma=mn-2nb,所以ma=nb,即满足 = 时,这两个矩形相似.2mmb2nnamnba4.如图,在AB=30m,AD=20m的矩形花坛四周修建小路.(1)如图①所示,如果四周的小路的宽均相等,那么小路四周所围成的矩形A'B'C'D'和矩形ABCD相似吗?请说明理由;(2)如图②所示,如果相对着的两条小路的宽均相等,那么小路的宽x与y的比为多少时,能使小路四周所围成的矩形A'B'C'D'和矩形ABCD相似?请说明理由. 解析(1)小路四周所围成的矩形A'B'C'D'和矩形ABCD不相似.理由:设四周的小路的宽为xm,∵ =1+ , =1+ ,∴ ≠ ,∴小路四周所围成的矩形A'B'C'D'和矩形ABCD不相似.30230x15x20220x10x30230x20220x解析(2)当 = 时,矩形A'B'C'D'和矩形ABCD相似.理由:由题意知只要 = ,小路四周所围成的矩形A'B'C'D'和矩形ABCD便可相似,解得 = ,∴小路的宽x与y的比为2∶3时,能使小路四周所围成的矩形A‘B’C‘D’和矩形ABCD相似.xy2330230y20220xxy23一、选择题1.(2019山东济南槐荫育华中学月考,9,★☆☆)下列说法正确的是 ()A.矩形都是相似图形B.各角对应相等的两个五边形相似C.等边三角形都是相似三角形D.等腰三角形都是相似三角形答案C等边三角形的对应角相等,对应边成比例,所以等边三角形都是相似三角形,故选C.二、填空题2.(2019山西太原期中,13,★★☆)如图4-3-7,正方形ABCD中,点E是对角线BD上的一点,BE=BC,过点E作EF⊥AB,EG⊥BC,垂足分别为点F,G,则正方形FBGE与正方形ABCD的相似比为. 图4-3-7答案 22解析设BG=x,则BE= x,∵BE=BC,∴BC= x,则正方形FBGE与正方形ABCD的相似比=BG∶BC=x∶ x= ∶2,故答案为 .222222三、解答题3.(2018湖南衡阳期中,21,★★☆)如图4-3-8,四边形ABCD∽四边形A'B'C'D',求边x、y的长度和角α的大小. 图4-3-8解析∵四边形ABCD∽四边形A'B'C'D',∴ = = ,∠C=∠α,∠D=∠D'=140°,∴x=12,y= ,∠α=∠C=360°-∠A-∠B-∠D=360°-62°-75°-140°=83°.8x11y963321.(2017山西阳泉盂县期末,3,★★☆)如图所示的两个四边形相似,则∠α的度数是 () A.87°B.60°C.75°D.120°答案A如图,∵两个四边形相似,∴∠1=138°,∵四边形的内角和等于360°,∴∠α=360°-60°-75°-138°=87°,故选A.2.(2018上海徐汇育华中学月考,7,★☆☆)如图,已知在矩形ABCD中,AB=2,在BC上取一点E,沿AE将△ABE向上折叠,使B点落在AD上的F点,若四边形EFDC与矩形ABCD相似,则AD=. 答案1+ 5解析AF=EF=AB=2.设AD=x,则FD=x-2.∵四边形EFDC与矩形ABCD相似,∴ = ,即 = ,解得x1=1+ ,x2=1- (不合题意,舍去),经检验,x1=1+ 是原方程的解,故答案为1+ .EFFDADAB22x2x5555一、填空题1.(2014浙江绍兴中考,16,★★☆)把标准纸一次又一次