2019秋九年级数学上册 第2章 一元二次方程 2.5 一元二次方程的根与系数的关系课件 （新版）北

第二章一元二次方程初中数学（北师大版）九年级上册知识点一元二次方程的根与系数的关系例设x1、x2是一元二次方程2x2+4x=3的两根,利用根与系数的关系求下列代数式的值:(1)(x1+1)(x2+1);(2) x2+x1 ;(3)(x1-x2)2.21x22x解析方程变形为一般形式为2x2+4x-3=0,a=2,b=4,c=-3,∴Δ=b2-4ac=42-4×2×(-3)=400,∴方程有两个不相等的实数根.∴x1+x2=- =-2,x1x2=- .(1)(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1=- +(-2)+1=- .(2) x2+x1 =x1x2(x1+x2)=- ×(-2)=3.(3)(x1-x2)2= -2x1x2+ = +2x1x2+ -4x1x2=(x1+x2)2-4x1x2=(-2)2-4× =10.点拨利用一元二次方程的根与系数的关系求关于x1、x2的代数式的值时,关键是把所给的代数式转化为含x1+x2,x1x2的形式,然后把x1+x2,x1x2的值代入,即可求出所求代数式的值.4232325221x22x3221x22x21x22x32题型一利用根与系数的关系求方程的根或字母参数的值例1(2015江苏南京中考)已知方程x2+mx+3=0的一个根是1,则它的另一个根是,m的值是.解析设方程的另一个根为x1,则x1·1=3,即x1=3,则-m=1+3,解得m=-4.答案3;-4点拨利用一元二次方程的根与系数的关系是解决此类问题较为简单的方法.当已知常数项的值时,要根据两根之积构建方程;当已知一次项系数时,要根据两根之和构建方程.题型二不解方程,求与方程的根有关的代数式的值例2已知方程x2+3x-1=0的两个实数根分别为α,β,不解方程求下列各式的值.(1)α2+β2;(2)α3β+αβ3;(3) + ;(4)(α-1)(β-1).βααβ解析∵α,β是方程x2+3x-1=0的两个实数根,∴α+β=-3,αβ=-1.(1)α2+β2=(α+β)2-2αβ=(-3)2-2×(-1)=11.(2)α3β+αβ3=αβ(α2+β2)=(-1)×11=-11.(3) + = = =-11.(4)(α-1)(β-1)=αβ-(α+β)+1=(-1)-(-3)+1=3.方法总结一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)两根的对称式一般可转化成含x1+x2,x1x2的形式,故根与系数的关系是解决两根对称式求值问题的常用工具.βααβ22βααβ111易错点忽略Δ≥0的条件而致错例已知关于x的方程x2-(k-1)x+k+1=0的两个实数根的平方和等于4,求实数k的值.解析设方程的两个根为x1,x2,由根与系数的关系,得x1+x2=k-1,x1·x2=k+1.∵ + =4,即(x1+x2)2-2x1x2=4,∴(k-1)2-2(k+1)=4,即k2-4k-5=0,∴k=5或k=-1.当k=5时,b2-4ac=[-(k-1)]2-4(k+1)=-80,不符合题意,舍去;当k=-1时,b2-4ac=[-(k-1)]2-4(k+1)=40.∴k的值为-1.易错警示一元二次方程的根与系数的关系以一元二次方程有两个实数根为前提,此题易忽略原方程有两根的条件b2-4ac≥0,未将求出的k值代入判别式中检验而造成错误.21x22x知识点一元二次方程的根与系数的关系1.(2019广东广州越秀期中)设一元二次方程x2-2x+3=0的两个实数根为x1和x2,则x1x2= ()A.-2B.2C.-3D.3答案Dx2-2x+3=0,∴a=1,b=-2,c=3,x1x2= =3,故选D.ca2.(2019山东青岛二十六中期中)若关于x的方程x2+mx-6=0有一个根为2,则另一个根为 ()A.-2B.2C.4D.-3答案D设方程的另一个根为α,由根与系数的关系,得2α=-6,∴α=-3.故选D.3.(2016山东威海中考)已知x1,x2是关于x的方程x2+ax-2b=0的两实数根,且x1+x2=-2,x1·x2=1,则ba的值是 ()A. B.- C.4D.-11414答案A因为x1,x2是关于x的方程x2+ax-2b=0的两实数根,所以x1+x2=-a=-2,x1·x2=-2b=1,解得a=2,b=- ,所以ba= = ,故选A.12212144.设α,β是方程2x2-6x+3=0的两个实数根,那么α+β-αβ的值为.答案 32解析∵α,β是方程2x2-6x+3=0的两个实数根,∴α+β=3,αβ= ,∴α+β-αβ=3- = .3232321.设x1,x2是方程x2-3x-3=0的两个实数根,则 + 的值为 ()A.5B.-5C.1D.-121xx12xx答案B由根与系数的关系可知x1+x2=3,x1x2=-3,∴ + = = = -2= -2=-5.故选B.21xx12xx222112xxxx2211212()2xxxxxx22112()xxxx2332.设a,b是方程x2-x-2016=0的两个实数根,则a2+2a+3b-2的值为 ()A.2014B.2015C.2016D.2017答案D根据题意得a+b=- =1,把x=a代入方程,可得a2-a-2016=0,∴a2=a+2016,∴a2+2a+3b-2=3a+2016+3b-2=2016+3(a+b)-2=2016+3×1-2=2019-2=2017.故选D.113.已知x1,x2是一元二次方程x2+2ax+b=0的两根,且x1+x2=3,x1x2=1,则a,b的值分别是 ()A.a=-3,b=1B.a=3,b=1C.a=- ,b=-1D.a=- ,b=11632答案D根据题意知x1+x2=-2a,x1x2=b,所以-2a=3,b=1,解得a=- ,b=1.324.已知m和n是方程2x2-5x-3=0的两根,则 + 的值为()A. B. C.- D.- 1m1n35533553答案D由根与系数的关系可得m+n=- = ,mn= =- ,∴ + = = =- .ba52ca321m1nmnmn5232535.以3、-2为根,且二次项系数为1的一元二次方程是.答案x2-x-6=0解析根据题意得两根之和为1,两根之积为-6,则所求方程为x2-x-6=0.1.(2014山东日照中考)关于x的一元二次方程x2+2x+k+1=0的两实根x1、x2满足x1+x2-x1·x2-1,则k的取值范围在数轴上表示为 () 答案D由根与系数的关系可得x1+x2=-2,x1·x2=k+1,∵x1+x2-x1·x2-1,∴-2-k-1-1,解得k-2.∵方程有两实数根,∴b2-4ac≥0,即22-4×1×(k+1)≥0,解得k≤0,∴k的取值范围是-2k≤0,故选D.2.方程x2-7x+5=0的两根之差为 ()A. B.± C.- D.以上都不对292929答案B设方程的两根为x1,x2,则x1+x2=7,x1·x2=5,∴|x1-x2|= = = = = ,∴x1-x2=± .212||xx212()xx21212()4xxxx274529293.(2017四川内江中考)设α,β是方程(x+1)(x-4)=-5的两实数根,则 + =.3βα3αβ答案47解析由(x+1)(x-4)=-5得x2-3x+1=0,由根与系数的关系,得α+β=3,αβ=1.∴ + = = = = =47.3βα3αβ44βααβ22222()2αβαβαβ2222[()2]2αβαβαβαβ222(321)2114.设x1,x2是方程3x2-2x-2=0的两个根,利用根与系数的关系求下列各式的值:(1)(x1-4)(x2-4);(2)  +  ;(3)  .31x42x41x32x1213xx2113xx解析根据题意知x1+x2= ,x1x2=- .(1)(x1-4)(x2-4)=x1x2-4(x1+x2)+16=- -4× +16= .(2)  +  =  (x2+x1)= × =- .(3)  =x1x2+ + + =- + - =- .2323232338331x42x41x32x31x32x3232316811213xx2113xx13131219xx232316161.(2014四川攀枝花中考)若方程x2+x-1=0的两实根为α、β,那么下列说法不正确的是 ()A.α+β=-1B.αβ=-1C.α2+β2=3D. + =-11α1β答案D由一元二次方程根与系数的关系,知α+β=-1,αβ=-1,因此α2+β2=(α+β)2-2αβ=(-1)2-2×(-1)=3,显然选项A、B、C均正确,故选D.2.(2017天津南开模拟)甲、乙两个同学分别解一道一元二次方程,甲因把一次项系数看错了,而解得方程两根为-3和5,乙把常数项看错了,解得两根为2和2,则原方程是 ()A.x2+4x-15=0B.x2-4x-15=0C.x2+4x+15=0D.x2-4x+15=0答案B设原方程为x2+bx+c=0.∵甲因把一次项系数看错了,而解得方程两根为-3和5,∴-3×5=c,即c=-15,∵乙把常数项看错了,解得两根为2和2,∴2+2=-b,即b=-4,∴原方程为x2-4x-15=0.故选B.3.如果关于x的一元二次方程x2-4|a|x+4a2-1=0的一个根是5,则方程的另一个根是 ()A.1B.5C.7D.3或7答案D设方程的另一个根为m,由根与系数的关系可得5+m=4|a|,即|a|= ①,将x=m代入方程并整理得5m=4a2-1②,把①代入②得5m=4× -1,整理得m2-10m+21=0,解得m=3或m=7,故选D.54m2(5)16m4.(2015山东日照中考)如果m、n是两个不相等的实数,且满足m2-m=3,n2-n=3,那么代数式2n2-mn+2m+2015=.答案2026解析由题意可知,m,n是x2-x-3=0的两个不相等的实数根,根据根与系数的关系可知:m+n=1,mn=-3,又n2=n+3,则2n2-mn+2m+2015=2(n+3)-mn+2m+2015=2(m+n)-mn+2021=2×1-(-3)+2021=2026.5.已知α、β是关于x的一元二次方程x2+(2m+3)x+m2=0的两个不相等的实数根,且满足 + =-1,求m的值.1α1β解析∵α、β是方程x2+(2m+3)x+m2=0的两个不相等的实数根,∴α+β=-(2m+3),αβ=m2. + = = =-1,整理,得m2-2m-3=0,解得m=3或m=-1.当m=-1时,方程为x2+x+1=0,此时Δ=12-4=-30,方程无解,∴m=-1应舍去.当m=3时,方程为x2+9x+9=0,此时Δ=92-4×9=450,方程有两个不相等的实数根.综上所述,m=3.1α1βαβαβ2(23)mm1.(2019江苏南京二十九中月考,6,★★☆)已知实数a,b分别满足a2-6a+4=0,b2-6b+4=0,且a≠b,则 + 的值是 ()A.7B.-7C.11D.-11baab答案A根据题意得a与b为方程x2-6x+4=0的两根,∴a+b=6,ab=4,则 + = = =7,故选A.baab2()2ababab36842.(2018河南信阳罗山期中,3,★☆☆)已知关于x的一元二次方程x2+mx-8=0的一个实数根为2,则m的值和另一实数根分别为 ()A.2,-4B.-2,-4C.2,4D.-2,4答案A设方程的另一根为x,由根与系数的关系可得2x=-8,解得x=-4,∴-m=-4+2=-2,解得m=2,故选A.3.(2018河南漯河临颍月考,6,★★☆)已知m、n是方程x2+2 x+1=0的两根,则代数式 的值为 ()A. B.3C.4D.52223mnmn3答案A∵m、n是方程x2+2 x+1=0的两根,∴m+n=-2 ,mn=1,∴ = = =,故选A.22