2019版高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.1.3 两个向量的数量积课件 新人教B版选修2-

-1-3.1.3两个向量的数量积目标导航1.理解空间向量夹角的概念及表示方法.2.理解两个向量的数量积的概念.3.会利用数量积的定义及运算律,计算两个向量的数量积及向量的模.知识梳理1.两个向量的夹角(1)定义及表示:已知两个非零向量a,b,在空间中任取一点O,则∠AOB叫做向量a与b的夹角,记作a,b;(2)范围和性质:规定0≤a,b≤π,显然有a,b=b,a;如果a,b=90°,则称a与b互相垂直,记作a⊥b.【做一做1】已知向量a,b不共线且模相等,m=a+b,n=a-b,则m,n=.作𝑂𝐴=a,𝑂𝐵=b,解析:用向量加减法的几何意义及菱形的性质可求得m,n=π2.答案:π2知识梳理2.异面直线(1)定义:不同在任何一个平面内的两条直线;(2)两条异面直线所成的角:把异面直线平移到一个平面内,这时两条直线的夹角(锐角或直角)叫做两条异面直线所成的角.如果所成的角是直角,则称两条异面直线互相垂直.【做一做2】在正四面体ABCD中,AB与CD的位置关系是()A.平行B.垂直但不相交C.相交但不垂直D.相交且垂直答案:B名师点拨对异面直线定义的理解需注意的问题:(1)“不在同一平面内的两条直线”是指不在任意一个平面内的两条直线,异面直线既不相交,也不平行,要注意把握异面直线的不共面性.(2)不能把异面直线误解为:分别在不同平面内的两条直线为异面直线.知识梳理3.两个向量的数量积已知空间两个向量a,b,则|a||b|cosa,b叫做两个空间向量a,b的数量积(或内积),记作a·b,即,a·b=|a||b|cosa,b.【做一做3】已知|a|=2,|b|=3,a,b=60°,则a·b=.答案:3知识梳理4.空间向量数量积的性质(1)a·e=|a|cosa,e(e为单位向量);(2)a⊥b⇔a·b=0;(3)|a|2=a·a;(4)|a·b|≤|a||b|.名师点拨两个向量的数量积的性质的作用:性质(1)可以帮助我们求两个向量的夹角.性质(2)用于判断空间两个向量是否垂直.性质(3)主要用于计算向量的模.性质(4)主要用于不等式的证明.知识梳理5.两个空间向量的数量积满足的运算律(1)(λa)·b=λ(a·b);(2)a·b=b·a(交换律);(3)(a+b)·c=a·c+b·c(分配律).【做一做4】下列各式不正确的是.(填序号)①𝑎·𝑎=𝐚;②a·b=0⇒a=0或b=0;③|a·b|=|a||b|;④a·(b+c)=(b+c)·a.解析:①②∵a·b=0⇒a⊥b,∴命题错误;③∵|a·b|=|a||b||cosa,b|,∴命题错误;④正确.答案:①②③∵𝑎·𝑎=|𝐚|,∴命题错误;重难聚焦1.如何理解空间向量的夹角?剖析:(1)只有两个非零向量才可以定义夹角,求向量的夹角注意把向量平移到同一起点;(2)向量夹角的范围是[0,π],向量同向时夹角为0,向量反向时夹角为π;(3)注意零向量与任意向量平行,零向量与任意向量垂直.2.如何理解异面直线?剖析:(1)两直线不同在某一个平面不一定是异面直线,异面直线是不同在任何一个平面内,异面直线既不平行也不相交;(2)注意异面直线所成角的范围是0,π2;(3)在空间中两直线垂直但未必相交.重难聚焦3.如何理解空间向量的数量积?剖析:(1)空间向量的数量积是平面向量数量积的推广;(2)空间向量的数量积的运算符号是“·”,不能省略,更不能写成“×”;(3)空间向量的数量积(内积)是一个实数而不是一个向量,它有别于数乘向量;(4)空间向量的数量积不满足结合律,即a·(b·c)≠(a·b)·c;(5)若a·b=k,不能得出a=𝑘𝑏;(6)a⊥b的充要条件是a·b=0,这是用向量证明空间中垂直关系的根本方法.典例透析题型一题型二题型三求空间向量的夹角【例1】如图,在正方体ABCD-A'B'C'D'中,求下列各向量的夹角:(1)𝐴𝐵与𝐶𝐶';(2)𝐴𝐶与𝐶𝐷.分析:结合图形,利用空间向量的夹角的定义求解.解:(1)∵𝐶𝐶'=𝐴𝐴',∴𝐴𝐵,𝐶𝐶'=90°.(2)在BA的延长线上作𝐴𝐸=𝐶𝐷,易知∠EAC=135°,∴𝐴𝐶,𝐶𝐷=135°.典例透析题型一题型二题型三反思求两个向量的夹角,一种方法是结合图形平移向量,利用空间向量的夹角的定义通过解三角形来求,但要注意向量夹角的范围;另一种方法是先求a·b,然后利用公式cosa,b=𝑎·𝑏|𝑎||𝑏|求cosa,b,最后确定a,b.典例透析题型一题型二题型三求空间向量的数量积【例2】已知长方体ABCD-A'B'C'D',AB=AA'=2,AD=4,E为侧面AB'的中心,F为A'D'的中点,计算下列数量积:(1)𝐴𝐵·𝐴𝐵';(2)𝐵𝐶·𝐸𝐷';(3)𝐸𝐹·𝐹𝐶'.解:如图,设𝐴𝐵=a,𝐴𝐷=b,𝐴𝐴'=c,则由题意,得|a|=|c|=2,|b|=4,|𝐴𝐵'|=22,𝐴𝐵,𝐴𝐵'=45°,a·b=b·c=c·a=0.(1)𝐴𝐵·𝐴𝐵'=|𝐴𝐵||𝐴𝐵'|cos𝐴𝐵,𝐴𝐵'=2×22×22=4;(2)𝐵𝐶·𝐸𝐷'=b·12(𝑐-𝑎)+𝑏=|𝐛|2=16;(3)𝐸𝐹·𝐹𝐶'=12(𝑐-𝑎)+12𝑏·12𝑏+𝑎=−12|𝐚|2+14|𝐛|2=2.典例透析题型一题型二题型三反思求两个向量m,n的数量积一般分为两个层次:一是结合图形确定向量m,n的模及m,n的大小,直接利用空间向量数量积的定义来求,此种情况下要注意向量夹角的正确性;二是选定一组基向量表示向量m,n,从而把m,n的数量积通过运算转化为基向量之间的数量积来求.典例透析题型一题型二题型三空间向量的数量积的应用【例3】如图所示,在平行四边形ABCD中,AB=AC=1,∠ACD=90°,将它沿对角线AC折起,使AB与CD成60°角,求B,D间的距离.分析:可选基底表示出𝐵𝐷,利用性质|a|2=a·a来求|𝐵𝐷|.典例透析题型一题型二题型三解:∵∠ACD=90°,∴𝐴𝐶·𝐶𝐷=0,同理𝐵𝐴·𝐴𝐶=0.∵AB与CD成60°角,∴𝐵𝐴,𝐶𝐷=60°或120°.又𝐵𝐷=𝐵𝐴+𝐴𝐶+𝐶𝐷,∴|𝐵𝐷|2=|𝐵𝐴|2+|𝐴𝐶|2+|𝐶𝐷|2+2(𝐵𝐴·𝐴𝐶+𝐵𝐴·𝐶𝐷+𝐴𝐶·𝐶𝐷)=1+1+1+2×1×1×cos𝐵𝐴,𝐶𝐷,∴当𝐵𝐴,𝐶𝐷=60°时,|𝐵𝐷|2=3+2cos60°=4,当𝐵𝐴,𝐶𝐷=120°时,|𝐵𝐷|2=3+2cos120°=2.∴|𝐵𝐷|=2或2,即B,D间的距离为2或2.反思通过向量数量积的性质,可证明空间中的垂直关系,求空间中两点间的距离,求空间中角的度数.典例透析123451.已知|a|=13,|b|=19,|a+b|=24,则|a-b|=()A.22B.48C.46D.32解析:利用|a+b|2+|a-b|2=2(|a|2+|b|2)可得|a-b|2=484,故|a-b|=22.答案:A典例透析123452.若cosa,b=12,则a,b=()A.60°B.30°C.45°D.90°答案:A典例透析123453.已知|a|=32,|b|=4,m=a+b,n=a+λb,a,b=135°,m⊥n,则λ=.解析:∵a·b=|a||b|cosa,b=32×4×-22=−12,m·n=(a+b)·(a+λb)=|a|2+λ|b|2+(1+λ)a·b=0,∴(32)2+42𝜆+(1+𝜆)×(−12)=0,解得λ=−32.答案:−32典例透析123454.已知|a|=22,|b|=22,a·b=−2,则a,b=.解析:∵cosa,b=𝑎·𝑏|𝑎||𝑏|=−22,∴a,b=135°.答案:135°典例透析123455.根据下列等式,求a,b.(1)cosa,b=1;(2)cosa,b=0;(3)a·b=-|a||b|.解:(1)∵cosa,b=1,∴a,b=0°;(2)∵cosa,b=0,∴a,b=90°;(3)∵a·b=-|a||b|,∴𝑎·𝑏|𝑎||𝑏|=−1=cosa,b,∴a,b=180°.典例透析