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-1-3.2对数与对数函数-2-3.2.1对数及其运算ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航1.理解对数的概念及其运算性质,掌握积、商、幂的对数的运算法则.2.知道换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数.3.了解对数的发现历史及对简化运算的作用.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航12341.对数的概念(1)如果a(a0,且a≠1)的b次幂等于N,即ab=N,那么数b称为以a为底N的对数,记作b=logaN(a0,且a≠1),其中a叫做对数的底数,N叫做真数;(2)以10为底的对数叫做常用对数,即log10N,记作lgN;(3)以无理数e(e=2.71828…)为底的对数叫做自然对数,即logeN,记作lnN.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航1234名师点拨指数式和对数式的关系如图所示:对数式logaN(a0,且a≠1)可看作一记号,表示关于x的方程ax=N(a0,且a≠1)的解;也可以看作一种运算,即已知底为a(a0,且a≠1)的幂为N,求幂指数的运算,因此对数式logaN又可看作幂运算的逆运算.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航1234【做一做1-1】如果𝑎12=𝑏(a0,且a≠1),则()A.log𝑎12=𝑏B.logab=12C.log12𝑎=𝑏D.log12𝑏=𝑎答案:B【做一做1-2】若log4x=12,则()A.4x=12B.𝑥12=4C.x4=12D.412=𝑥答案:DZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航12342.对数的性质(1)0和负数没有对数.(2)loga1=0(a0,且a≠1).(3)logaa=1(a0,且a≠1).名师点拨在对数logaN=b中,规定真数N0.这是由于在实数范围内,正数的任何次幂都是正数,因而ab=N0,故要求对数的真数必须大于0.(4)对数恒等式:𝑎log𝑎𝑁=𝑁(a0,且a≠1).ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航1234答案:D【做一做2-2】若log3(log2x)=0,则x=.解析:由已知得log2x=1,故x=2.答案:2【做一做2-1】式子4log43的值是()A.3B.13C.33D.3ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航12343.积、商、幂的对数的运算法则a0,a≠1,M0,N0运算数学表达式自然语言积的对数loga(MN)=logaM+logaNloga(N1N2…Nk)=logaN1+logaN2+…+logaNk(Ni0,i=1,2,…,k)正因数积的对数等于同一底数的各因数对数的和商的对数log𝑎MN=logaM-logaN两个正数商的对数等于同一底数的被除数的对数减去除数的对数幂的对数logaMn=nlogaM(n∈R)正数幂的对数等于幂指数乘以同一底数幂的底数的对数ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航1234名师点拨1.应用公式时需要注意法则的适用范围,并且公式可以正用、逆用和变形用.2.当心记忆错误:loga(MN)≠logaM·logaN,loga(M±N)≠logaM±logaN.3.虽然loga(M+N)≠logaM+logaN,但并不是说loga(M+N)与logaM+logaN一定不相等,对于某些M,N的取值,loga(M+N)=logaM+logaN是成立的.例如,当M=2,N=2时,loga(2+2)=loga2+loga2=loga4.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航1234【做一做3-1】对于a0,a≠1,下列说法中正确的是()①若M=N,则logaM=logaN;②若logaM=logaN,则M=N;③若logaM2=logaN2,则M=N;④若M=N,则logaM2=logaN2.A.①③B.②④C.②D.①②③④ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航1234解析:在①中,当M=N≤0时,logaM与logaN无意义,故①不成立;在②中,当logaM=logaN时,必有M=N0成立,故②成立;在③中,当logaM2=logaN2时,有M≠0,N≠0,且M2=N2,即|M|=|N|,但未必有M=N.例如,当M=2,N=-2时,有logaM2=logaN2,但M≠N,故③不成立;在④中,当M=N=0时,logaM2与logaN2均无意义,故④不成立.答案:CZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航1234【做一做3-2】计算各式的值:(1)lg300-lg3;(2)lne.解:(1)lg300-lg3=lg3003=lg100=2;(2)lne=lne12=12lne=12.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航12434.对数的换底公式一般地,我们有logbN=log𝑎𝑁log𝑎𝑏(a0,a≠1,b0,b≠1,N0),这个公式称为对数的换底公式.通过换底公式可推导出两个重要的结论:(1)logab·logba=1(a0,a≠1,b0,b≠1);(2)log𝑎𝑚𝑏𝑛=𝑛𝑚logab(a0,a≠1,b0,m≠0).名师点拨1.在换底公式中,所换的新底数可以是大于0且不等于1的任意实数;2.如果不做特殊要求,那么一般换底都换成常用对数.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航1243【做一做4】已知lg2=a,lg3=b,用a,b表示log125=.解析:log125=lg5lg12=1-lg2lg3+2lg2=1-𝑎2𝑎+𝑏.答案:1-𝑎2𝑎+𝑏ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航一、解读对数的定义剖析:(1)对数式x=logay是指数式y=ax的另一种表达形式,其本质相同.对数式中的真数y就是指数式中的函数值y,而对数x是指数式中的指数x,对数式与指数式的关系如图所示.(2)对数x=logay中,规定a0,且a≠1的原因.①若a0,则y为某些数值时,x不存在,如(-2)x=3没有实数解,即log(-2)3不存在,为此,规定a不能小于0;②若a=0,则当y≠0时,logay不存在;当y=0时,loga0有无数个值,不能确定,为此,规定a≠0;③若a=1,则y不为1时,x不存在,如log12不存在;而当a=1,y=1时,x可以为任何实数,不能确定,为此,规定a≠1.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航归纳总结指数式、对数式中各个字母的名称变化如下表:式子名称axN指数式ax=N底数指数幂值对数式x=logaN底数对数真数ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航二、对性质logaMn=nlogaM的延伸剖析:式子logaMn=nlogaM表明指数可以拿到前面,但对log𝑎𝑚𝑀而言是否有log𝑎𝑚𝑀=𝑚logaM成立呢?答案是否定的,应为log𝑎𝑚𝑀=1𝑚logaM.证明如下:令logaM=x,则ax=M.故1𝑚logaM=1𝑚𝑥.而log𝑎𝑚𝑀=log𝑎𝑚𝑎𝑥=𝑥log𝑎𝑚𝑎=𝑥log𝑎𝑚(a𝑚)1𝑚=1𝑚𝑥,故log𝑎𝑚𝑀=1𝑚logaM.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航logaMn=nlogaM与log𝑎𝑚𝑀=1𝑚logaM的结合使进行对数运算时更加简便快捷,同时也提醒我们在进行对数运算过程中,如果运算性质不能直接运用时,可以通过先化成指数式,变形后再化成对数式的方法达到计算的目的.这两个公式可以合写为log𝑎𝑚𝑀𝑛=𝑛𝑚logaM.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四题型五题型一对数式与指数式的互化【例1】已知logax=4,logay=5(a0,且a≠1),求A=𝑥·x-1y2312的值.分析:本题可以通过已知条件得到x,y,将x,y代入目标式子求值;或将目标式子化为指数式,再取对数,利用对数的运算性质解决.其中指数式与对数式的转化是解题的关键.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四题型五解:方法一:因为logax=4,logay=5,由对数的定义有x=a4,y=a5.所以A=a4·𝑎-4𝑎10312=𝑎2·a-2=1.方法二:A=𝑥·x-1y2312=𝑥512𝑦-13,两边取以a为底的对数,得logaA=loga(𝑥512𝑦-13)=512logax−13logay=512×4−13×5=0,故A=1.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四题型五反思1.把指数式改写成对数式时,指数式的底数在对数式中仍然位于底数位置,指数式的指数变为对数式中的对数,指数式中的幂值变为对数式中的真数.2.在进行指数式与对数式的互化时,一定要保证对数式中的真数大于0.3.注意常用对数与自然对数的表示方法.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型
本文标题:2019版高中数学 第三章 基本初等函数(Ⅰ)3.2.1 对数及其运算课件 新人教B版必修1
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