2019版高中数学 第三章 基本初等函数（Ⅰ）3.1.1 实数指数幂及其运算课件 新人教B版必修1

-1-第三章基本初等函数(Ⅰ)-2-3.1指数与指数函数-3-3.1.1实数指数幂及其运算ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航1.理解有理指数幂的含义,会用幂的运算法则进行有关计算.2.通过具体实例了解实数指数幂的意义.3.通过本节的学习,进一步体会“用有理数逼近无理数”的思想,可以利用计算器或计算机实际操作,感受“逼近”的过程.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航12341.整数指数幂(2)正整指数幂的运算法则:①am·an=am+n;②(am)n=amn;③am÷an=am-n(mn,a≠0);④(ab)n=anbn;(1)正整指数幂的定义:an=𝑎·𝑎·𝑎·…·𝑎𝑛个(n∈N+).⑤𝑎𝑏𝑛=𝑎𝑛𝑏𝑛(b≠0).ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航1234在上述法则③中,限定mn,如果取消这种限制,则正整指数幂就推广到了整数指数幂.但要规定a0=1(a≠0).a-n=1𝑎𝑛(a≠0,n∈N+).这样一来,上面的五条运算法则就可以归纳为三条:①am·an=am+n;②(ab)n=anbn;③(am)n=amn.同时,将指数的范围扩大到了整数.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航1234【做一做1-1】已知a0,m,n为整数,则下列各式中正确的有()B.an·am=am·nC.(an)m=am+nD.1÷an=a0-n解析:只有选项D是按照幂的运算法则进行运算的.选项A应为am-n,选项B应为am+n,选项C应为amn.答案:DA.am÷an=𝑎𝑚𝑛ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航1234【做一做1-2】化简:(a2b3)-2·(a5b-2)0÷(a4b3)2的结果为.解析:原式=(a2)-2·(b3)-2·1÷(a4)2(b3)2=a-4·b-6÷a8b6=a-12b-12.答案:a-12b-12ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航12342.根式(2)n次方根的定义:如果存在实数x,使得xn=a(a∈R,n1,n∈N+),则x叫做a的n次方根.(3)n次方根的性质:①在实数范围内,正数的奇次方根是一个正数,负数的奇次方根是一个负数,零的奇次方根是零.设a∈R,n是大于1的奇数,则a的n次方根(1)根式的定义:式子a𝑛叫做根式,这里n叫做根指数,a叫做被开方数.是𝑎𝑛.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航1234②在实数范围内,正数的偶次方根是两个绝对值相等符号相反的数,零的偶次方根是零,负数的偶次方根没有意义.设a≥0,n是大于1的偶数,则a的n次方根是±𝑎𝑛.其中𝑎𝑛叫做a的n次算术根.(4)根式的性质:①(𝑎𝑛)n=a(n1,且n∈N+);②𝑎𝑛𝑛=𝑎,当𝑛为奇数时,|𝑎|,当𝑛为偶数时.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航1234归纳总结正数开方要分清,根指奇偶大不同,根指为奇根一个,根指为偶双胞生.负数只有奇次根,算术方根零或正,正数若求偶次根,符号相反值相同.负数开方要慎重,根指为奇才可行,根指为偶无意义,零取方根仍为零.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航1234【做一做2-1】求下列各式的值:(1)(-3)55;(2)(-5)44;(3)(2-2)2;(4)(4-π4)4;(5)(π-45)5.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航1234解:(1)(-3)55=−3;(2)(-5)44=544=5;(3)(2-2)2=2−2;(4)(4-π4)4=4-π;(5)(π-45)5=π-4.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航1234【做一做2-2】计算(-8)33+(3-2)44−(2-3)2=.解析:原式=-8+|3−2|-(2−3)=-8+2−3−2+3=−8.答案:-8ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航12343.分数指数幂(1)如不特别说明,我们约定底数a0.于是,正分数指数幂可定义为𝑎1𝑛=a𝑛(a0);amn=𝑎𝑚𝑛𝑎0,𝑚,𝑛∈N+,且𝑚𝑛为既约分数.负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相同,同样可定义为𝑎-𝑚𝑛=1𝑎𝑚𝑛𝑎0,𝑚,𝑛∈N+,且𝑚𝑛为既约分数.(2)有理指数幂的运算法则:①aαaβ=aα+β(a0,α,β∈Q);②(aα)β=aαβ(a0,α,β∈Q);③(ab)α=aαbα(a0,b0,α∈Q).ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航1234名师点拨0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义,0的零指数幂也没有意义,有理指数幂的三条运算法则实际上可推广到实数指数幂.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航1234【做一做3-1】把根式𝑎𝑎化成分数指数幂是()A.(-𝑎)32B.-(-𝑎)32C.−𝑎32D.𝑎32答案:D【做一做3-2】计算:23×1.53×126.解:23×1.53×126=2×312×3213×(3×22)16=21-13+13×312+13+16=2×3=6.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航12434.无理指数幂教材中通过实例利用逼近的思想理解无理指数幂的意义.一般地,无理指数幂aα(a0,α是无理数)是一个确定的实数.另外,我们要熟记经常要用的公式:(1)a-b=(𝑎−𝑏)(𝑎+𝑏)(a0,b0);(2)a±2𝑎𝑏+𝑏=(𝑎±𝑏)2(a0,b0).【做一做4】判断正误:(1)23是一个有理数.()(2)23不是一个确定的数,而是一个近似值.()(3)23没有意义.()(4)23是一个实数.()答案:(1)×(2)×(3)×(4)ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航一、辨析(a𝑛)n和an𝑛剖析:(1)(a𝑛)n是实数a的n次方根的n次幂,其中实数a的取值由n的奇偶性来决定:①当n为大于1的奇数时,a∈R.例如,(273)3=27,(-325)5=-32,(07)7=0;②当n为大于1的偶数时,a≥0.例如,(274)4=27,(3)2=3,(06)6=0;若a0,式子(𝑎𝑛)n无意义.例如,(-2)2,(-544)4均无意义.因此,只要(𝑎𝑛)n有意义,其值恒等于a,即(𝑎𝑛)n=a.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航(2)𝑎𝑛𝑛是实数an的n次方根,an是一个恒有意义的式子,不受n的奇偶性限制,a∈R.但是𝑎𝑛𝑛的值受n的奇偶性限制:①当n为大于1的奇数时,其值为a,即𝑎𝑛𝑛=𝑎.例如,(-2)33=−2,6.155=6.1;②当n为大于1的偶数时,其值为|a|,即𝑎𝑛𝑛=|𝑎|.例如,344=3,(-3)2=|−3|=3.因此𝑎𝑛𝑛=𝑎,𝑛=2𝑘-1,𝑘∈N+,且𝑘1,|𝑎|,𝑛=2𝑘,𝑘∈N+.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航二、根式与分数指数幂互化的条件探究剖析:(1)引入分数指数幂之后,任何有意义的根式都能化成分数指数幂,即a𝑛=𝑎1n,这时被开方数a即是分数指数幂的底数,根指数的倒数即是分数指数幂的幂指数,显然𝑎1𝑛是𝑎𝑚𝑛当m=1时的特例.(2)分数指数幂的意义来源于根式,而要使𝑎𝑚𝑛对任意的n∈N+,且n1都有意义,必须限定a0,否则,当a=0时,若m=0或𝑚𝑛为分母是偶数的负分数,则𝑎𝑚𝑛没有意义;当a0时,若m为奇数,n为偶数,则𝑎𝑚𝑛没有意义.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航(3)在分数指数幂的定义中,整数m,n应互素(或互质),因为如果没有这个规定,将导致幂的运算结果出现矛盾.例如,在𝑎13中,底数a∈R,当a0时,𝑎130,而如果把𝑎13写成𝑎26,有两种方法:一是𝑎26=(𝑎16)2就必须有a≥0;二是𝑎26=(a2)16,当a0时,𝑎26的结果大于0,与𝑎130相矛盾.所以规定整数m,n互素.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航知识拓展在进行幂和根式的化简时,一般是先将根式化成幂的形式,并化小数指数幂为分数指数幂,且尽可能地统一成分数指数幂的形式,再利用幂的性质进行化简、求值、计算,以利于运算,达到化繁为简的目的.对于根式的计算结果,并不强求统一的表示形式,一般用分数指数幂的形式来表示.如果有特殊要求,那么按要求给出结果,但结果中不能同时含有根号和分数指数幂,也不能既含有分母又含有负指数,即结果必须化为最简形式.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四题型五题型一简单的指数幂运算【例1】计算:(1)12527-23;(2)0.008-23;(3)812401-34;(4)56-35-1-1;(5)2350+2-2×214-12−(0.01)0.5;(6)2790.5+(0.1)-2