2019版高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.5 直线与圆锥曲线课件 新人教B版选修2-1

-1-2.5直线与圆锥曲线目标导航1.能用坐标法解决直线与圆锥曲线的位置关系问题和实际问题.2.掌握直线与圆锥曲线的位置关系的判断,弦长问题,中点弦及相关问题.知识梳理1.直线与圆锥曲线的位置关系(1)从几何角度看,可分为三类:无公共点,仅有一个公共点及有两个相异的公共点.(2)从代数角度看,可通过将表示直线的方程代入二次曲线的方程消元后所得方程解的情况来判断.设直线l的方程为Ax+By+C=0,圆锥曲线方程为f(x,y)=0.由𝐴𝑥+𝐵𝑦+𝐶=0,𝑓(𝑥,𝑦)=0消元,如消去y后得ax2+bx+c=0.①若a=0,当圆锥曲线是双曲线时,直线l与双曲线的渐近线平行或重合;当圆锥曲线是抛物线时,直线l与抛物线的对称轴平行(或重合).②若a≠0,设Δ=b2-4ac.当Δ0时,直线和圆锥曲线相交于不同的两点;当Δ=0时,直线和圆锥曲线相切于一点;当Δ0时,直线和圆锥曲线没有公共点.知识梳理名师点拨如果直线和圆锥曲线只有一个公共点,那么它们不一定相切.例如,当直线和双曲线的渐近线平行或直线与抛物线的对称轴平行时,它们只有一个公共点,它们是相交的位置关系,而不是相切.知识梳理【做一做1-1】过原点的直线l与双曲线𝑥24−𝑦23=1有两个交点,则直线𝑙的斜率的取值范围是()A.-32,32B.0,32∪-32,0C.-32,32D.-∞,-32∪32,+∞解析:设l:y=kx,代入𝑥24−𝑦23=1中,得14𝑥2−𝑘23𝑥2=1,即14-𝑘23𝑥2−1=0,由Δ0知,−32𝑘32.答案:A知识梳理【做一做1-2】直线y=kx-k+1与椭圆𝑥29+𝑦24=1的位置关系为()A.相交B.相切C.相离D.不确定解析:由于直线y=kx-k+1=k(x-1)+1过定点(1,1),又(1,1)在椭圆内,故直线与椭圆必相交.答案:A知识梳理2.直线与圆锥曲线相交时的弦长问题(1)斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),则所得弦长|P1P2|=(1+𝑘2)[(𝑥1+𝑥2)2-4𝑥1𝑥2]或|𝑃1𝑃2|=1+1k2[(y1+y2)2-4y1y2].(2)当斜率k不存在时,可求出交点坐标,直接运算(利用轴上两点间距离公式).知识梳理【做一做2】已知抛物线C的顶点为坐标原点,焦点在x轴上,直线y=x与抛物线C交于A,B两点.若D(2,2)为AB的中点,则抛物线C的方程为.解析:设抛物线方程为y2=ax(a0),则由y2=ax,y=x,得x2-ax=0.设A(x1,y1),B(x2,y2).由x1+x2=a,又x1+x22=2,所以a=4,即y2=4x.答案:y2=4x重难聚焦1.解决直线与圆锥曲线的位置关系问题时,有哪些常用的数学思想方法?剖析:(1)方程的思想.笛卡儿在创立解析几何时,他大胆设想:所有的数学问题都可以化为方程(组)问题,然后通过解方程(组)得到数学问题的解决,因此,直线和圆锥曲线位置关系的判定,直线和圆锥曲线的交点,直线和圆锥曲线相关的弦长等,都可以通过方程(组)来解决.(2)数形结合的思想.由于几何研究的对象是图形,而图形的直观性会帮助我们发现问题,启发我们的思路,得到解决问题的有效方法,所以在解决本类题目时,最好先画出草图,注意观察、分析图形的特征,将形与数结合起来.(3)设而不求与整体代入的技巧与方法.解析几何的运算具有明确的几何意义,是带有几何特色的代数计算,在处理圆锥曲线中与“中点弦”有关问题时,常用中点公式、根与系数的关系整体代入使问题得到解决.重难聚焦2.在直线与圆锥曲线的位置关系中,常见问题的处理方法有哪些?剖析:(1)在解析几何中,直线与曲线的位置关系可以转化为二元二次方程组的解的问题进行讨论,但当直线与曲线只有一个交点时,须除去以下两种情况,此直线才是曲线的切线:一是直线与抛物线的对称轴平行;二是直线与双曲线的渐近线平行.(2)运用圆锥曲线弦长公式时,注意结合中点坐标公式和根与系数的关系求解.典例透析题型一题型二题型三直线与圆锥曲线的位置关系【例1】已知曲线C:x2-y2=1及直线l:y=kx-1.(1)若l与C有两个不同的交点,求实数k的取值范围;(2)若l与C交于A,B两点,O是坐标原点,且△AOB的面积为2,求实数𝑘的值.分析:(1)联立方程组𝑥2-𝑦2=1,𝑦=𝑘𝑥-1,得到(1-k2)x2+2kx-2=0,再由1-𝑘2≠0,𝛥=4𝑘2+8(1-𝑘2)0即可求得k的取值范围.(2)先由(1)得x1+x2和x1x2,再由面积公式求解.典例透析题型一题型二题型三解:(1)联立方程组𝑥2-𝑦2=1,𝑦=𝑘𝑥-1,消去y,得(1-k2)x2+2kx-2=0.由1-𝑘2≠0,𝛥=4𝑘2+8(1-𝑘2)0,得k的取值范围为(−2,−1)∪(-1,1)∪(1,2).(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),由(1)得x1+x2=−2𝑘1-𝑘2,𝑥1𝑥2=−21-𝑘2.又l过点D(0,-1),当l与左右两支相交时,S△OAB=S△OAD+S△OBD=12|𝑥1|+12|𝑥2|=12|𝑥1−𝑥2|=2.同理,当l与其中一支相交时,S△OAB=12|𝑥1−𝑥2|=2,∴(x1-x2)2=(22)2,即-2𝑘1-𝑘22+81-𝑘2=8,∴k=0或k=±62.典例透析题型一题型二题型三反思一般地,在讨论直线和圆锥曲线的位置关系时,先联立方程组,再消去x(或y),得到关于y(或x)的方程.若是直线与圆或椭圆,则无需讨论二次项系数是否为零(一定不为零),直接考虑Δ的情况即可;若是直线与双曲线或抛物线,则需讨论二次项系数等于零和不等于零两种情况,这是要特别注意的问题.另外注意直线的斜率不存在的情形.典例透析题型一题型二题型三点关于直线对称的问题【例2】设椭圆C的方程为𝑥24+𝑦23=1,试确定𝑚的取值范围,使𝐶上的不同两点𝐴,𝐵关于直线𝑦=4𝑥+𝑚对称.分析:先利用对称性,设出点A,B及AB中点的坐标,再利用点A,B在椭圆上,寻找中点的横、纵坐标的关系,最后确定m的取值范围.解:设椭圆上两点A(x0-s,y0-t),B(x0+s,y0+t),AB的中点为C'(x0,y0).因为点A,B关于直线y=4x+m对称,所以直线AB的斜率kAB=𝑡𝑠=−14.又(𝑥0-𝑠)24+(𝑦0-𝑡)23=1,①(𝑥0+𝑠)24+(𝑦0+𝑡)23=1,②典例透析题型一题型二题型三①-②得,𝑡𝑠=−3𝑥04𝑦0,即y0=3x0.而点C'在直线y=4x+m上,则𝑥0=-𝑚,𝑦0=-3𝑚.因为点C'在椭圆𝑥24+𝑦23=1内,所以(-𝑚)24+(-3𝑚)231,所以m∈-21313,21313.反思解决点关于直线对称,主要利用“点与对称点所在的直线和对称轴所在直线的斜率之积为-1”和“点与对称点的中点在对称轴上”两个条件.典例透析题型一题型二题型三易错题型【例3】已知双曲线x2−𝑦22=1,过点𝐴(1,1)能否作直线𝑙,使其与已知双曲线交于𝑃,𝑄两点,且𝐴是线段𝑃𝑄的中点,这样的直线𝑙如果存在,求出它的方程;如果不存在,说明理由.错解:设P(x1,y1),Q(x2,y2),代入双曲线方程,得𝑥12-𝑦122=1,①𝑥22-𝑦222=1,②①-②得,(x1+x2)(x1-x2)=12(𝑦1+𝑦2)(𝑦1−𝑦2).因为A(1,1)为PQ的中点,所以直线l的斜率k=𝑦1-𝑦2𝑥1-𝑥2=2(𝑥1+𝑥2)𝑦1+𝑦2=2.所以满足条件的直线存在,其方程为y=2x-1.典例透析题型一题型二题型三错因分析:事实上,不存在这样的直线,由𝑦=2𝑥-1,𝑥2-𝑦22=1得2x2-4x+3=0,Δ=-80,错解中忽略了Δ0这一条件.典例透析题型一题型二题型三正解:设P(x1,y1),Q(x2,y2),代入双曲线方程得,𝑥12-𝑦122=1,①𝑥22-𝑦222=1.②①-②得,(x1+x2)(x1-x2)=12(𝑦1+𝑦2)(𝑦1−𝑦2).因为A(1,1)为PQ的中点,所以直线的斜率为k=𝑦1-𝑦2𝑥1-𝑥2=2(𝑥1+𝑥2)𝑦1+𝑦2=2.所以直线方程为y=2x-1,再把直线与双曲线联立,即𝑦=2𝑥-1,𝑥2-𝑦22=1,得2x2-4x+3=0.上式中Δ=-80,不符合题意,所以这样的直线不存在.典例透析123451.抛物线y2=12x截直线y=2x+1所得弦长等于()A.15B.215C.152D.15答案:A典例透析123452.直线y=2k与曲线9k2x2+y2=18k2|x|(k∈R,k≠0)的公共点的个数是()A.-1B.2C.3D.4解析:由题意联立方程组𝑦=2𝑘,9𝑘2𝑥2+𝑦2=18𝑘2|𝑥|(𝑘∈R,𝑘≠0),消去y得9x2-18|x|+4=0,解得|x|=1±530,故x有4个解,即直线与曲线有4个交点.答案:D典例透析123453.已知抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l,经过F且斜率为3的直线与抛物线在𝑥轴上方的部分相交于点𝐴,𝐴𝐾⊥l,垂足为K,则△AKF的面积是()A.4B.33C.43D.8解析:由抛物线的定义知|AF|=|AK|,又∠KAF=60°,所以△AFK是正三角形.联立方程组𝑦2=4𝑥,𝑦=3(𝑥-1),消去y得3x2-10x+3=0,解得x=3或x=13.由题意得A(3,23),所以△AKF的边长为4,面积为12×4×23=43.答案:C典例透析123454.如图所示,过点P(0,2)的直线和抛物线y2=8x交于A,B两点,若线段AB的中点M在直线x=2上,则弦AB的长为.解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),则AB的中点𝑀2,𝑦1+𝑦22,将𝑦12=8𝑥1和𝑦22=8𝑥2相减得(y1-y2)(y1+y2)=8(x1-x2).因为kPM=kAB,所以kAB=𝑦1-𝑦2𝑥1-𝑥2=8𝑦1+𝑦2=𝑦1+𝑦22-22-0.令y1+y2=2b,则得b2-2b-8=0,所以b=4或b=-2,典例透析12345于是点M的坐标为(2,4)或(2,-2).因为M(2,4)在抛物线上,舍去,所以M的坐标是(2,-2).从而kAB=-2,所以AB的方程为y=-2x+2,将其代入抛物线的方程得x2-4x+1=0,所以|AB|=(1+𝑘2)[(𝑥1+𝑥2)2-4𝑥1𝑥2]=[1+(-2)2](42-4×1)=215.答案:215典例透析123455.已知斜率为1的直线l与双曲线C:𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(𝑎0,𝑏0)相交于𝐵,𝐷两点,且𝐵𝐷的中点为𝑀(1,3),求双曲线𝐶的离心率.分析:由题意可知,直线l的斜率为1,且M(1,3)在直线l上,即可求出直线l的方程,再联立直线l与双曲线C的方程,得到x1+x2=4𝑎2𝑏2-𝑎2.又因为M为BD的中点,所以𝑥1+𝑥22=1,从而得到b2=3a2,再由c=𝑎2+𝑏2,即可求出双曲线的离心率.典例透析12345解:由题设得,直线l的方程为y=x+2.代入C的方程,并化简,得(b2-a2)x2-4a2x-4a2-a2b2=0.设B(x1,y1),D(x2,y2),则x1+x2=4𝑎2𝑏2-𝑎2,𝑥1·x2=−4𝑎2+𝑎2𝑏2𝑏2-𝑎2.由M(1,3)为BD的中点知𝑥1+𝑥22=1,故12×4𝑎2𝑏2-𝑎2=1,即b2=3a2,故c=𝑎2+𝑏2=2𝑎,所以双曲线C的离心率e=𝑐𝑎=2.典例透析