2019版高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.1.2 椭圆的几何性质课件 新人教B版选修1-1

-1-2.1.2椭圆的几何性质目标导航1.掌握椭圆的几何性质.2.掌握椭圆中长半轴长,短半轴长,半焦距和离心率的几何意义以及它们之间的关系.知识梳理焦点在x轴、y轴上的椭圆的几何性质与特征的比较:焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程x2a2+y2b2=1(ab0)y2a2+x2b2=1(ab0)范围-a≤x≤a,-b≤y≤b-a≤y≤a,-b≤x≤b顶点A1(-a,0),A2(a,0),B1(0,-b),B2(0,b)A1(0,-a),A2(0,a),B1(-b,0),B2(b,0)轴长长轴长为2a,短轴长为2b知识梳理焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上焦点F1(-c,0),F2(c,0)F1(0,-c),F2(0,c)焦距2c(c2=a2-b2)对称性对称轴为x轴,y轴,对称中心为原点离心率e=ca∈(0,1),其中c=a2-b2名师点拨(1)判断曲线关于原点,x轴,y轴对称的方法.若把方程中的x换成-x,y换成-y,方程不变,则曲线关于原点对称.若把方程中的y换成-y,方程不变,则曲线关于x轴对称.若把方程中的x换成-x,方程不变,则曲线关于y轴对称.(2)椭圆的顶点是它与对称轴的交点.知识梳理【做一做1】椭圆𝑥29+𝑦236=1的长轴长为()A.5B.3C.6D.12解析:由椭圆的方程可知长半轴长a=6,所以长轴长2a=12.答案:D【做一做2】椭圆𝑥225+𝑦29=1的离心率为.答案:45重难聚焦椭圆𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(ab0)的离心率.剖析(1)椭圆的半焦距c与长半轴长a的比,称作椭圆的离心率.记作e=𝑐𝑎.(2)因为ac0,所以离心率e的取值范围是0e1.离心率的大小对椭圆形状的影响:①当e趋近于1时,c趋近于a,从而b=𝑎2-𝑐2越小,因此椭圆越扁平;②当e趋近于0时,c趋近于0,从而b趋近于a,因此椭圆越接近于圆.椭圆与圆是两种不同的曲线,椭圆的离心率满足不等式0e1.当e=0时,曲线为圆.典例透析题型一题型二题型三利用椭圆的方程研究其几何性质【例1】求椭圆25x2+16y2=400的长轴长、短轴长、离心率、焦点坐标和顶点坐标.分析:先把椭圆方程写成标准形式,求出基本元素长半轴长a、短半轴长b和半焦距c,再求解.解将方程变形为𝑦225+𝑥216=1,由方程知长半轴长a=5,短半轴长b=4,所以半焦距c=52-42=3,所以长轴长为2a=2×5=10,短轴长为2b=2×4=8,离心率e=𝑐𝑎=35,焦点坐标分别为(0,-3),(0,3),顶点坐标分别为(0,-5),(0,5),(-4,0),(4,0).典例透析题型一题型二题型三反思已知椭圆的方程讨论其性质时,应将方程化成标准形式,找准长半轴长a与短半轴长b,求出半焦距c,才能正确地解决与椭圆的性质有关的问题.典例透析题型一题型二题型三利用椭圆的几何性质求它的方程【例2】已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍,且过点(2,-6),求椭圆的标准方程.分析:因为不知道椭圆的焦点在哪个坐标轴上,所以需要分两种情况来讨论.典例透析题型一题型二题型三解当椭圆的焦点在x轴上时,设其标准方程为𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(ab0),则有𝑎=2𝑏,22𝑎2+(-6)2𝑏2=1.解得𝑎2=148,𝑏2=37.此时椭圆的标准方程为𝑥2148+𝑦237=1.当椭圆的焦点在y轴上时,设其标准方程为𝑦2𝑎2+𝑥2𝑏2=1(ab0),则有𝑎=2𝑏,(-6)2𝑎2+22𝑏2=1.解得𝑎2=52,𝑏2=13.此时椭圆的标准方程为𝑦252+𝑥213=1.故所求椭圆的标准方程为𝑥2148+𝑦237=1或𝑦252+𝑥213=1.典例透析题型一题型二题型三反思在求椭圆的标准方程时,关键要分清焦点在哪个坐标轴上;当焦点不确定在哪个坐标轴上时,要分焦点在x轴上、y轴上两种情况讨论.典例透析题型一题型二题型三求椭圆方程中的参数【例3】已知方程𝑥2𝑎2+y2=1(a0,a≠1)表示离心率为12的椭圆,求a的值.分析因为不知道椭圆的焦点在哪个坐标轴上,所以需要分两种情况来讨论,再根据离心率为12即可求得.典例透析题型一题型二题型三解当焦点在x轴上,即a1时,由短半轴长b=1,得半焦距c=𝑎2-1,所以离心率e=𝑎2-1𝑎=12,解得a=233.当焦点在y轴上,即0a1时,由题意得半焦距c=1-𝑎2,所以离心率e=1-𝑎21=12,解得a=32.综上,a的值为233或32.典例透析题型一题型二题型三反思在求椭圆标准方程中的参数时,先要分清焦点在哪个坐标轴上,再根据椭圆的几何性质求解.注意本题所给方程中的a与椭圆标准方程中的a不同.典例透析1椭圆6x2+y2=6的长轴的端点坐标为()A.(-1,0),(1,0)B.(-6,0),(6,0)C.(-6,0),(6,0)D.(0,-6),(0,6)答案:D典例透析2已知椭圆的对称轴是坐标轴,离心率为13,长轴长为12,则椭圆的标准方程是()A.𝑥24+𝑦26=1B.𝑥26+𝑦24=1C.𝑥236+𝑦232=1或𝑦236+𝑥232=1D.𝑥232+𝑦236=1解析:由题意无法确定焦点在x轴上还是在y轴上,则标准方程有两个.由长轴长2a=12,得a=6.因为离心率e=𝑐𝑎=13,所以c=2,所以b2=a2-c2=36-4=32,则椭圆的标准方程是𝑥236+𝑦232=1或𝑦236+𝑥232=1.答案:C典例透析3椭圆𝑥225+𝑦29=1与椭圆𝑥2𝑎2+𝑦29=1有()A.相同的短轴B.相同的长轴C.相同的离心率D.以上都不正确解析:由于椭圆𝑥2𝑎2+𝑦29=1的焦点不确定在哪个坐标轴上,故它的长轴、短轴都不明确.答案:D4已知椭圆𝑥25+𝑦2𝑚=1的离心率e=105,则m的值为.解析:若m5,则5-𝑚5=105,解得m=3.若m5,则𝑚-5𝑚=105,解得m=253.答案:3或253典例透析5已知椭圆的焦点在坐标轴上,且椭圆过点(3,0),离心率e=63,求椭圆的标准方程.分析:应用待定系数法,列出方程组求解.解:设椭圆的长半轴长为a,短半轴长为b,半焦距为c,则当椭圆的焦点在x轴上时,∵a=3,𝑐𝑎=63,∴c=6.可得b2=a2-c2=9-6=3,∴椭圆的标准方程为𝑥29+𝑦23=1.当椭圆的焦点在y轴上时,∵b=3,𝑐𝑎=63,∴𝑎2-𝑏2𝑎=63,解得a2=27,∴椭圆的标准方程为𝑦227+𝑥29=1.∴所求椭圆的标准方程为𝑥29+𝑦23=1或𝑦227+𝑥29=1.典例透析