2019版高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.1.1 椭圆及其标准方程课件 新人教B版选修1-1

-1-2.1椭圆-2-2.1.1椭圆及其标准方程目标导航1.掌握椭圆的定义及其标准方程.2.会推导椭圆的标准方程.知识梳理1.椭圆的定义平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于定长(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点F1,F2叫做椭圆的焦点,两焦点的距离|F1F2|叫做椭圆的焦距.名师点拨在椭圆的定义中,当定长等于|F1F2|时,动点的轨迹是线段F1F2;当定长小于|F1F2|时,动点的轨迹不存在.知识梳理【做一做1-1】到两定点F1(-5,0)和F2(5,0)的距离之和为10的点M的轨迹是()A.椭圆B.线段C.圆D.以上答案都不正确解析:由题意可知,|MF1|+|MF2|=10=|F1F2|,故点M的轨迹是线段F1F2.答案:B【做一做1-2】已知椭圆上一点P到椭圆两个焦点F1,F2的距离之和等于10,且椭圆上另一点Q到焦点F1的距离为3,则点Q到焦点F2的距离为()A.2B.3C.5D.7解析:由椭圆的定义,得点Q到另一个焦点的距离为10-3=7.答案:D知识梳理2.椭圆的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程x2a2+y2b2=1(ab0)y2a2+x2b2=1(ab0)焦点坐标F1(-c,0),F2(c,0)F1(0,-c),F2(0,c)a,b,c的关系a2=b2+c2a2=b2+c2名师点拨由求椭圆的标准方程的过程可知,只有当椭圆的两个焦点都在坐标轴上,且关于原点对称时,才能得到椭圆的标准方程.【做一做2】椭圆𝑥24+𝑦29=1的焦点坐标为.解析:由椭圆的标准方程知焦点在y轴上,则a2=9,b2=4,所以c2=5.故焦点坐标为(0,5)和(0,-5).答案:(0,5)和(0,-5)重难聚焦1.椭圆的定义.剖析:(1)用集合语言叙述为:点集P={M||MF1|+|MF2|=2a,2a|F1F2|}.(2)在椭圆的定义中,若定长等于|F1F2|,则动点的轨迹是线段F1F2;若定长小于|F1F2|,则动点的轨迹不存在.如,动点P到两定点F1(1,0)和F2(-1,0)的距离之和为1,此时定长1小于|F1F2|,由平面几何的知识可知,这样的点不存在.重难聚焦2.椭圆的标准方程.剖析:𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(ab0)为焦点在x轴上的椭圆的标准方程,焦点为F1(-c,0),F2(c,0),且a,b,c满足a2=b2+c2.焦点在y轴上的椭圆的标准方程为𝑦2𝑎2+𝑥2𝑏2=1(ab0),焦点为F1(0,-c),F2(0,c),且a,b,c满足a2=c2+b2(当且仅当椭圆的两个焦点都在坐标轴上,且关于原点对称时,椭圆的方程才是标准形式).在椭圆的标准方程中,a表示椭圆上的点M到两焦点的距离的和的一半,可借助图形帮助记忆,如图,a,b,c恰能构成一个直角三角形,且都是正数,a是斜边,所以ab,ac,且a2=c2+b2,其中c是焦距的一半,叫做半焦距.重难聚焦名师点拨方程Ax2+By2=C(A,B,C均不为0)可化为𝐴𝑥2𝐶+𝐵𝑦2𝐶=1,即𝑥2𝐶𝐴+𝑦2𝐶𝐵=1.只有当A,B,C同号,且A≠B时,方程表示椭圆.当𝐶𝐴𝐶𝐵时,椭圆的焦点在x轴上;当𝐶𝐴𝐶𝐵时,椭圆的焦点在y轴上.典例透析题型一题型二题型三利用椭圆的定义解题【例1】设定点F1(0,-3),F2(0,3),动点P(x,y)满足条件|PF1|+|PF2|=a(a0),则动点P的轨迹为()A.椭圆B.线段C.椭圆或线段或不存在D.不存在解析:比较常数a与|F1F2|的大小可知动点P的轨迹.当a6时,轨迹不存在;当a=6时,轨迹为线段;当a6时,轨迹为椭圆.答案:C典例透析题型一题型二题型三反思凡涉及动点到两定点距离和的问题,首先要考虑它是否满足椭圆的定义|MF1|+|MF2|=2a(2a|F1F2|),再确定其轨迹.一定要注意2a与两定点间距离的大小关系.典例透析题型一题型二题型三求椭圆的标准方程【例2】求符合下列条件的椭圆的标准方程:(1)两个焦点的坐标分别为(-4,0)和(4,0),且椭圆经过点(5,0);(2)焦点在y轴上,且经过点(0,2)和(1,0);分析:应用待定系数法求椭圆的标准方程,要注意“定位”与“定量”.(3)经过点P(-23,1),Q(3,-2).解:(1)∵椭圆的焦点在x轴上,∴设它的标准方程为𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(ab0).∴2a=(5+4)2+(5-4)2=10.∴a=5,∴a2=25.又c=4,∴b2=a2-c2=25-16=9.∴所求椭圆的标准方程为𝑥225+𝑦29=1.典例透析题型一题型二题型三(2)∵椭圆的焦点在y轴上,∴设它的标准方程为𝑦2𝑎2+𝑥2𝑏2=1(ab0).又椭圆经过点(0,2)和(1,0),∴4𝑎2+0𝑏2=1,0𝑎2+1𝑏2=1⇒𝑎2=4,𝑏2=1.∴所求椭圆的标准方程为𝑦24+x2=1.(3)设椭圆的标准方程为mx2+ny2=1(m0,n0,且m≠n),∵点P(-23,1),Q(3,-2)在椭圆上,∴12𝑚+𝑛=1,3𝑚+4𝑛=1.解得𝑚=115,𝑛=15.∴所求椭圆的标准方程为𝑥215+𝑦25=1.典例透析题型一题型二题型三反思已知椭圆经过两点,求椭圆的标准方程时,把椭圆的方程设成mx2+ny2=1(m0,n0且m≠n)的形式有两个优点:①列出的方程组中分母不含字母;②不用讨论焦点所在的坐标轴.典例透析题型一题型二题型三【例3】若方程𝑥25-𝑘+𝑦2𝑘-3=1表示椭圆,求k的取值范围.错解由5-𝑘0,𝑘-30,得3k5.错因分析错解中没有注意到椭圆方程中ab0这一条件,当a=b时,方程并不表示椭圆.正解由题意,得5-𝑘0,𝑘-30,5-𝑘≠𝑘-3⇒𝑘5,𝑘3,𝑘≠4.所以k的取值范围是3k4或4k5.典例透析题型一题型二题型三反思求解椭圆的标准方程及相关问题时,需要注意:①不要忽略定义中的条件2a|F1F2|;②在没有明确椭圆焦点位置的情况下,椭圆的标准方程可能有两个;③不要忽略标准方程中ab0这一条件.典例透析1到两定点F1(0,4),F2(0,-4)的距离之和为6的点M的轨迹是()A.椭圆B.线段C.椭圆或线段或不存在D.不存在解析:∵|MF1|+|MF2|=6|F1F2|=8,∴点M的轨迹不存在.答案:D2椭圆𝑥29+𝑦22=1的焦点为F1,F2,点P在椭圆上,若|PF1|=4,则|PF2|=.答案:2典例透析4如果方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆,那么实数k的取值范围是.解析:方程可化为𝑥22+𝑦22𝑘=1,因为焦点在y轴上,所以2𝑘2,𝑘0,所以0k1.答案:0k13椭圆的一个焦点坐标为(0,-3),且过点(4,0),则椭圆的标准方程为.答案:𝑦225+𝑥216=1典例透析5已知点P在椭圆上,它到椭圆两焦点的距离分别为5,3,过点P且与焦点所在的坐标轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点,求椭圆的标准方程.解:设所求的椭圆的标准方程为𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(ab0)或𝑦2𝑎2+𝑥2𝑏2=1(ab0).由已知条件,得2𝑎=5+3,(2𝑐)2=52-32,解得a=4,c=2,则a2=16,c2=4,所以b2=a2-c2=12.故所求椭圆的标准方程为𝑥216+𝑦212=1或𝑦216+𝑥212=1.典例透析