2019版高中数学 第二章 数列 2.3 习题课——等比数列习题课课件 新人教B版必修5

-1-习题课——等比数列习题课目标导航SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析1.了解分期付款的含义,理解复利的实质.2.掌握有关分期付款的还贷问题.3.掌握数列求和的常用方法——错位相减法.SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航题型一题型二题型三题型四等比数列的基本运算【例1】(1)已知Sn为等比数列{an}的前n项和,Sn=93,an=48,公比q=2,求项数n.(2)已知四个实数,前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,首末两数之和为37,中间两数之和为36,求这四个数.分析:(1)可通过建立关于首项a1,项数n的方程求解.(2)根据条件可设出其中的两个数,再通过一些条件表示出另两个数,然后求解.SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航题型一题型二题型三题型四解:(1)由题意,得𝑎1(1-𝑞𝑛)1-𝑞=93,a1qn-1=48,又q=2,可解得n=5.(2)设前两个数分别为a,b,则第三、四个数分别为36-b,37-a,由题意,得2𝑏=(36-𝑏)+𝑎,(36-𝑏)2=𝑏(37-𝑎),解得𝑎=12,𝑏=16或𝑎=994,𝑏=814.所以这四个数分别为12,16,20,25或994,814,634,494.SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航题型一题型二题型三题型四反思等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题,数列中有五个量a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”,通过列方程(组)求解.解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关公式并灵活运用,在运算过程中,还应善于运用整体代换思想,简化运算的过程.在使用等比数列的前n项和公式时,应根据公比q的情况进行分类讨论,切不可忽视q的取值而盲目用求和公式.SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航题型一题型二题型三题型四【变式训练1】在等比数列{an}中,a1+an=66,a2an-1=128,且前n项和Sn=126,求n及公比q.解:∵a1an=a2an-1=128,且a1+an=66,∴a1,an是方程x2-66x+128=0的两根,∴x1=2,x2=64.∴𝑎1=2,𝑎𝑛=64或𝑎1=64,𝑎𝑛=2.显然q≠1.当𝑎1=2,𝑎𝑛=64时,Sn=126=𝑎1-𝑎𝑛𝑞1-𝑞=2-64𝑞1-𝑞,∴q=2.由an=a1qn-1,可得64=2×2n-1,∴n=6.当𝑎1=64,𝑎𝑛=2时,同理可得q=12,n=6.∴n的值为6,公比q=2或q=12.SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航题型一题型二题型四题型三错位相减法求和【例2】求数列1,3a,5a2,7a3,…,(2n-1)an-1的前n项和.分析:数列中含字母参数,应注意分类讨论,利用错位相减法.解:当a=0时,数列变为1,0,0,…,0,则Sn=1+0+…+0=1,当a=1时,数列变为1,3,5,7,…,(2n-1),当a≠1且a≠0时,Sn=1+3a+5a2+7a3+…+(2n-1)an-1,①aSn=a+3a2+5a3+7a4+…+(2n-1)an,②则Sn=𝑛[1+(2𝑛-1)]2=n2.SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航题型一题型二题型四题型三反思对含参类求和问题要养成分类讨论的习惯.由①-②,得Sn-aSn=1+2a+2a2+2a3+…+2an-1-(2n-1)an,即有(1-a)Sn=1-(2n-1)an+2(a+a2+a3+…+an-1)=1-(2n-1)an+2·𝑎(1-𝑎𝑛-1)1-𝑎=1-(2n-1)an+2(𝑎-𝑎𝑛)1-𝑎.∵1-a≠0,∴Sn=1-(2𝑛-1)𝑎𝑛1-𝑎+2(𝑎-𝑎𝑛)(1-𝑎)2.SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航题型一题型二题型四题型三【变式训练2】已知数列{an}的前n项和Sn=kcn-k(其中c,k为常数),且a2=4,a6=8a3.(1)求an;(2)求数列{nan}的前n项和Tn.解:(1)当n1时,an=Sn-Sn-1=k(cn-cn-1),a6=k(c6-c5),a3=k(c3-c2),𝑎6𝑎3=𝑐6-𝑐5𝑐3-𝑐2=c3=8,解得c=2.∵a2=4,即k(c2-c1)=4,解得k=2,∴an=2(2n-2n-1)=2×2n-2n=2n.当n=1时,a1=S1=2,综上所述,an=2n(n∈N+).SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航题型一题型二题型四题型三(2)nan=n·2n,则Tn=2+2·22+3·23+…+n·2n,①2Tn=1·22+2·23+3·24+…+(n-1)2n+n·2n+1,②由①-②,得-Tn=2+22+23+…+2n-n·2n+1,Tn=2+(n-1)2n+1.SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航题型一题型二题型三题型四转化为等比数列问题【例3】设数列{an}的前n项和Sn=,n∈N+,求数列{an}的通项公式.分析:解答本题可充分利用Sn与an的关系式,将问题转化为等比数列问题来求解.43an-13×2n+1+23解:当n=1时,a1=S1=43a1-13×4+23,即a1=2.当n≥2时,由Sn=43an-13×2n+1+23,①得Sn-1=43an-1-13×2n+23.②由①-②,得an=43(an-an-1)-13(2n+1-2n).整理得an+2n=4(an-1+2n-1),所以数列{an+2n}是首项为a1+2=4,公比为4的等比数列.所以an+2n=4×4n-1,所以an=4n-2n.SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航题型一题型二题型三题型四反思1.将一个数列问题转化为等比(差)数列来求解,这是求解有关数列通项公式与前n项和公式的基本思想.2.已知数列{an}的首项a1,且an+1=man+k(m,k为常数).(1)当m≠1时,可得an+1-c=m(an-c),则有an+1-man=c(1-m),c=,转化为等比数列求解.(2)当m=1时,an+1-an=k,利用等差数列求解.𝑘1-𝑚SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航题型一题型二题型三题型四【变式训练3】已知在数列{an}中,a1=23,an+1=2𝑎𝑛𝑎𝑛+1,n=1,2,3,….(1)证明:数列1𝑎𝑛-1是等比数列;(2)求数列𝑛𝑎𝑛的前n项和Sn.(1)证明:∵an+1=2𝑎𝑛𝑎𝑛+1,∴1𝑎𝑛+1=𝑎𝑛+12𝑎𝑛=12+12·1𝑎𝑛,∴1𝑎𝑛+1-1=121𝑎𝑛-1.又a1=23,∴1𝑎1-1=12.故数列1𝑎𝑛-1是以12为首项,12为公比的等比数列.SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航题型一题型二题型三题型四(2)解:由(1)知1𝑎𝑛-1=12·12𝑛-1=12𝑛,即1𝑎𝑛=12𝑛+1,则𝑛𝑎𝑛=𝑛2𝑛+n.设Tn=12+222+323+…+𝑛2𝑛,①则12Tn=122+223+…+𝑛-12𝑛+𝑛2𝑛+1,②由①-②,得12Tn=12+122+…+12𝑛−𝑛2𝑛+1=121-12𝑛1-12−𝑛2𝑛+1=1-12𝑛−𝑛2𝑛+1,即Tn=2-12𝑛-1−𝑛2𝑛.又1+2+3+…+n=𝑛(𝑛+1)2,故数列𝑛𝑎𝑛的前n项和Sn=2-2+𝑛2𝑛+𝑛(𝑛+1)2=𝑛2+𝑛+42−𝑛+22𝑛.SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航题型一题型二题型三题型四等差与等比数列的综合问题【例4】等差数列{an}的各项均为正数,a1=3,前n项和为Sn,{bn}为等比数列,b1=1,且b2S2=64,b3S3=960.(1)求an与bn;(2)求1𝑆1+1𝑆2+…+1𝑆𝑛.分析:(1)中根据已知条件列方程组求an,bn.(2)中应先求出Sn再求和.SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航题型一题型二题型三题型四解:(1)设数列{an}的公差为d,数列{bn}的公比为q,则d0,an=3+(n-1)d,bn=qn-1.根据题意,有𝑆2𝑏2=(6+𝑑)𝑞=64,𝑆3𝑏3=(9+3𝑑)𝑞2=960,解得𝑑=2,𝑞=8或𝑑=-65,𝑞=403(舍去).故an=3+2(n-1)=2n+1,bn=8n-1.(2)Sn=3+5+…+(2n+1)=n(n+2),则1𝑆1+1𝑆2+…+1𝑆𝑛=11×3+12×4+13×5+…+1𝑛(𝑛+2)=121-13+12-14+13-15+…+1𝑛-1𝑛+2=121+12-1𝑛+1-1𝑛+2=34−2𝑛+32(𝑛+1)(𝑛+2).SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航题型一题型二题型三题型四反思等差数列与等比数列的综合问题,解答时应注意在题设条件下,寻求它们之间的内在联系,寻求它们之间的相互转化,寻求它们之间的相互利用.SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航题型一题型二题型三题型四【变式训练4】已知数列{an}为等差数列,且a3=-6,a6=0.(1)求数列{an}的通项公式;(2)若等比数列{bn}满足b1=-8,b2=a1+a2+a3,求{bn}的前n项和公式.解:(1)设等差数列{an}的公差为d.因为a3=-6,a6=0,所以𝑎1+2𝑑=-6,𝑎1+5𝑑=0.解得a1=-10,d=2.所以an=-10+(n-1)×2=2n-12.(2)设等比数列{bn}的公比为q.因为b2=a1+a2+a3=-24,b1=-8,所以-8q=-24,q=3.所以数列{bn}的前n项和公式Sn=𝑏1(1-𝑞𝑛)1-𝑞=4(1-3n).SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航123451等比数列{an}的前n项和为Sn.已知S3=a2+10a1,a5=9,则a1的值为()A.13B.-13C.19D.-19解析:设数列{an}的公比为q,若q=1,则由a5=9,得a1=9,此时S3=27,而a2+10a1=99,不满足题意,因此q≠1.当q≠1时,S3=𝑎1(1-𝑞3)1-𝑞=a1q+10a1,所以1-𝑞31-𝑞=q+10,整理得q2=9.因为a5=a1q4=9,即81a1=9,所以a1=19.答案:CSUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航123452已知数列{an}为等比数列,Sn是它的前n项和,若a2a3=2a1,且a4与2a7的等差中项为,则S5=()A.35B.33C.31D.2954解析:设公比为q(q≠0),则由a2a3=2a1,知a1q3=2,∴a4=2.又a4+2a7=52,∴a7=14.∴a1=16,q=12.∴S5=𝑎1(1-𝑞5)1-𝑞=161-1251-12=31.答案:CSUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航123453已知在各项都是正数的等比数列{an}中,a1,12a3,2a2成等差数列,则𝑎9+𝑎10𝑎7+𝑎8的值为()A.1+2B.1-2C.3+22D.3-22答案:CSUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航123454已知x≠0,x≠1,y≠1,则𝑥+1𝑦+𝑥2+1𝑦2+…+𝑥𝑛+1𝑦𝑛的值为.解析:当x≠0,x≠1,y≠1时,𝑥+1𝑦+