2019版高中数学 第二章 数列 2.2.2 等差数列的前n项和课件 新人教B版必修5

-1-2.2.2等差数列的前n项和目标导航ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析1.理解等差数列前n项和公式推导过程.2.掌握等差数列前n项和公式.3.熟练掌握等差数列的五个量a1,d,n,an,Sn的关系.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航1.等差数列的前n项和公式已知量首项、末项与项数首项、公差与项数求和公式Sn=n(a1+an)2Sn=na1+n(n-1)2d名师点拨1.倒序相加法是解决等差数列求和问题的基本方法,利用倒序相加法可以推出等差数列的前n项和公式.2.等差数列的前n项和公式有两个,一共涉及a1,an,Sn,n,d五个量,通常已知其中三个量,可求另外两个量,解答方法就是解方程组.3.当已知首项a1和末项an及项数n时,用公式来求和,用此公式时常结合等差数列的性质.4.当已知首项a1和公差d及项数n时,用公式来求和.Sn=𝑛(𝑎1+𝑎𝑛)2Sn=na1+𝑛(𝑛-1)2dZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航【做一做1-1】设Sn为等差数列{an}的前n项和,S8=4a3,a7=-2,则a9的值为()A.-6B.-4C.-2D.2解析:由S8=4a3知:a1+a8=a3,a8=a3-a1=2d=a7+d,所以a7=d=-2.所以a9=a7+2d=-2-4=-6.答案:A【做一做1-2】等差数列{an}的前n项和为Sn,若a3+a17=10,则S19的值为()A.55B.95C.100D.不能确定解析:∵a1+a19=a3+a17=10,∴S19=19(𝑎1+𝑎19)2=19×102=95.答案:BZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航2.等差数列前n项和公式与函数的关系由于Sn=na1+𝑛(𝑛-1)2d=𝑑2n2+𝑎1-𝑑2n,当d≠0时,此公式可看作二次项系数为𝑑2,一次项系数为a1-𝑑2,常数项为0的二次函数,其图象为抛物线y=𝑑2x2+𝑎1-𝑑2x上的点集,坐标为(n,Sn)(n∈N+).因此,由二次函数的性质立即可以得出结论:当d0时,Sn有最小值;当d0时,Sn有最大值.归纳总结数列中的最值问题可以根据二次函数的最值加以求解,这也是利用函数解决数列问题的一个重要应用.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航【做一做2-1】已知等差数列{an}的通项公式an=19-2n,则{an}的前项和最大.答案:9【做一做2-2】已知数列{an}的前n项和Sn=n2-12n,则当n等于时,Sn最小.答案:6ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航一二三一、关于等差数列中奇数项和、偶数项和的问题剖析:(1)当等差数列{an}有偶数项时,设项数为2n,设S偶=a2+a4+a6+…+a2n,①S奇=a1+a3+a5+…+a2n-1,②由①-②,得S偶-S奇=nd.由①+②,得S偶+S奇=S2n.由①②,得𝑆偶𝑆奇=𝑛2(𝑎2+𝑎2𝑛)𝑛2(𝑎1+𝑎2𝑛-1)=2𝑎𝑛+12𝑎𝑛=𝑎𝑛+1𝑎𝑛.(2)当等差数列{an}有奇数项时,设项数为2n+1,设S奇=a1+a3+a5+…+a2n+1,③S偶=a2+a4+a6+…+a2n,④由③-④,得S奇-S偶=a1+nd=an+1.由③+④,得S偶+S奇=S2n+1=(2n+1)an+1.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航一二三由③④,得𝑆奇𝑆偶=𝑛+12(𝑎1+𝑎2𝑛+1)𝑛2(𝑎2+𝑎2𝑛)=(𝑛+1)𝑎𝑛+1𝑛𝑎𝑛+1=𝑛+1𝑛.综上所述,等差数列奇数项和、偶数项和有如下性质:(1)当项数为2n时,S偶-S奇=nd,S偶+S奇=S2n,𝑆偶𝑆奇=𝑎𝑛+1𝑎𝑛.(2)当项数为2n+1时,S奇-S偶=a1+nd=an+1,S偶+S奇=S2n+1=(2n+1)an+1,𝑆奇𝑆偶=(𝑛+1)𝑎𝑛+1𝑛𝑎𝑛+1=𝑛+1𝑛.熟练运用这些性质,可以提高解题速度.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航一二三知识链接除了上述性质外,与前n项和有关的性质还有:(1)等差数列的依次连续每k项之和Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…组成公差为k2d的等差数列.(2)若Sn为数列{an}的前n项和,则数列{an}为等差数列等价于数列是等差数列.(3)若数列{an},{bn}都为等差数列,Sn,Sn'为它们的前n项和,则𝑆𝑛𝑛𝑎𝑚𝑏𝑚=𝑆2𝑚-1𝑆'2𝑚-1ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航一二三二、教材中的“?”如果仅利用通项公式,能求出使得Sn最小的序号n的值吗?剖析:如果仅利用通项公式,也可求出使得Sn最小的序号n的值.因为该数列的通项公式为an=4n-32,其各项为-28,-24,…,-4,0,4,…,可以看出,所有负数或非正数的项相加其和最小,n的值为7或8.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航一二三三、教材中的“思考与讨论”1.如果已知数列{an}的前n项和Sn的公式,那么这个数列确定了吗?如果确定了,那么如何求它的通项公式?应注意一些什么问题?剖析:确定了.由公式来求解,求解时要分类讨论,要注意验证当n=1时是否也适合当n≥2时的式子,能写成统一的形式就将a1合进来,否则保留分段函数形式.an=𝑆1,𝑛=1,𝑆𝑛-𝑆𝑛-1,𝑛≥2ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航一二三2.如果一个数列的前n项和的公式是Sn=an2+bn+c(a,b,c为常数),那么这个数列一定是等差数列吗?剖析:等差数列前n项和公式变形为.当d≠0时,是关于n的二次函数,如果一个数列的前n项和公式是Sn=an2+bn+c(a,b,c为常数),那么这个数列的通项公式是只有当c=0时,a1=a+b+c才满足an=2an-a+b.因此,当数列的前n项和公式为Sn=an2+bn时,所确定的数列才是等差数列,此时,等差数列的公差d=2a.Sn=𝑑2n2+𝑎1-𝑑2nan=𝑎+𝑏+𝑐,𝑛=1,2𝑎𝑛-𝑎+𝑏,𝑛≥2.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航题型一题型二题型三题型四题型五等差数列的前n项和公式的直接应用【例1】在等差数列{an}中,(1)已知a10=30,a20=50,Sn=242,求n;(2)已知S8=24,S12=84,求a1和d;(3)已知a6=20,S5=10,求a8和S8;(4)已知a16=3,求S31.分析:在等差数列的前n项和公式中有五个基本量a1,an,d,n,Sn,只要已知任意三个量,就可以求出其他两个量.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航题型一题型二题型三题型四题型五解:(1)由𝑎10=𝑎1+9𝑑=30,𝑎20=𝑎1+19𝑑=50,得𝑎1=12,𝑑=2.因为Sn=242,所以12n+𝑛(𝑛-1)2×2=242.解得n=11或n=-22(舍去).所以n=11.(2)由𝑆8=8𝑎1+28𝑑=24,𝑆12=12𝑎1+66𝑑=84,得𝑎1=-4,𝑑=2.所以a1=-4,d=2.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航题型一题型二题型三题型四题型五(3)由𝑎6=𝑎1+5𝑑=20,𝑆5=5𝑎1+10𝑑=10,得𝑎1=-10,𝑑=6.所以a8=a6+2d=32,S8=8(𝑎1+𝑎8)2=88.(4)S31=𝑎1+𝑎312×31=a16×31=93.反思在等差数列{an}中,首项a1与公差d是两个最基本的元素,有关等差数列的问题,均可化成有关a1,d的方程或方程组求解.解题过程中,要注意:(1)选择适当的公式;(2)合理利用等差数列的有关性质.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航题型一题型二题型三题型四题型五【变式训练1】在等差数列{an}中,(1)已知d=12,an=32,Sn=-152,求a1和n.(2)已知d=2,a20=29,求S20.解:(1)由题意,得𝑎1+(𝑛-1)×12=32,𝑛𝑎1+322=-152,解得𝑎1=-3,𝑛=10或𝑎1=72,𝑛=-3.∵n∈N+,∴𝑎1=-3,𝑛=10.(2)∵an=a1+(n-1)d,且a20=29,d=2,∴a1=an-(n-1)d=a20-(20-1)d=29-19×2=-9,∴S20=20(𝑎1+𝑎20)2=20×(-9+29)2=200.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航题型一题型二题型四题型五题型三Sn与an的关系问题【例2】已知下列各数列{an}的前n项和Sn,求{an}的通项公式.(1)Sn=1-12𝑛;(2)Sn=2n2-3n-1.分析:利用an=𝑆1,𝑛=1,𝑆𝑛-𝑆𝑛-1,𝑛≥2求解.解:(1)当n=1时,a1=S1=1-12=12;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=1-12𝑛−1-12𝑛-1=12𝑛-1−12𝑛=12𝑛.∵当n=1时,a1=12也适合an=12𝑛,∴an=12𝑛(n∈N+).(2)当n=1时,a1=S1=-2.当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n2-3n-1-[2(n-1)2-3(n-1)-1]=4n-5.∵当n=1时,a1=-2不适合an=4n-5(n≥2),∴an=-2,𝑛=1,4𝑛-5,𝑛≥2.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航题型一题型二题型四题型五题型三反思利用an=Sn-Sn-1时应注意以下三点:(1)由an=Sn-Sn-1求an使用的条件是n≥2;(2)由Sn-Sn-1求得an,如果当a1=S1时,恰好与当n=1时an的值相等,那么an就是{an}的通项公式;(3)由Sn-Sn-1求得an,当n=1时,a1的值与当a1=S1时的值不相等,那么数列的通项公式应用分段表示法,即an=𝑆1,𝑛=1,𝑆𝑛-𝑆𝑛-1,𝑛≥2.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航题型一题型二题型四题型五题型三【变