2019-2020学年高中数学 第一章 集合与函数概念 1.1.3 集合与函数概念（第2课时）补集课

第2课时补集1.理解全集、补集的含义,会求给定集合的补集.2.能够解决交集、并集、补集的综合运算问题.3.能借助Venn图,利用集合运算解决有关的实际应用问题.1.全集定义一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集记法通常记作U图示2.补集文字语言对于一个集合A,由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集,简称为集合A的补集,记作∁UA符号语言∁UA={x|x∈U,且x∉A}图形语言归纳总结1.简单地说,∁UA是从全集U中取出集合A的全部元素之后,所有剩余的元素组成的集合.2.性质:A∪(∁UA)=U,A∩(∁UA)=⌀,∁U(∁UA)=A,∁UU=⌀,∁U⌀=U,∁U(A∩B)=(∁UA)∪(∁UB),∁U(A∪B)=(∁UA)∩(∁UB).3.如图,阴影部分是常用到的含有两个集合运算结果的Venn图表示.【做一做1】设全集U={1,2,4,8},M={1,2},则∁UM等于()A.{4}B.{8}C.{4,8}D.⌀答案:C【做一做2】已知全集U=R,集合A={x|2x≤5},则∁UA=.解析:用数轴表示集合A为图中阴影部分,可知∁UA={x|x≤2或x5}.答案:{x|x≤2或x5}∁AC与∁BC不一定相等剖析依据补集的含义,符号∁AC和∁BC都表示集合C的补集,但是∁AC表示集合C在全集A中的补集,而∁BC表示集合C在全集B中的补集;因为集合A和B不一定相等,所以∁AC与∁BC不一定相等.因此,求集合的补集时,首先要明确全集,否则容易出错.如若集合A={1,2,3,4,5,6,7,8,9},B={0,1,2,3,4},C={1,3,4},则∁AC={2,5,6,7,8,9},∁BC={0,2},很明显∁AC≠∁BC.题型一题型二题型三题型四题型五补集运算问题【例1】(1)已知全集U,集合A={1,3,5,7},∁UA={2,4,6},∁UB={1,4,6},则集合B=.(2)已知全集U={x|x≤5},集合A={x|-3≤x5},则∁UA=.分析:(1)由A及∁UA求出全集U,再由补集定义求出集合B,或利用Venn图求出集合B.(2)利用补集的定义,借助于数轴的直观作用求解.题型一题型二题型三题型四题型五解析:(1)解法一:∵A={1,3,5,7},∁UA={2,4,6},∴U={1,2,3,4,5,6,7}.又∁UB={1,4,6},∴B={2,3,5,7}.解法二:用Venn图表示集合U,A,B,如图所示,由图可知B={2,3,5,7}.(2)将集合U和集合A分别表示在数轴上,如图所示.由补集的定义可知∁UA={x|x-3或x=5}.答案:(1){2,3,5,7}(2){x|x-3或x=5}题型一题型二题型三题型四题型五【变式训练1】已知全集U={x|-5≤x≤2},集合A={x|0≤x1},则∁UA=.解析:将集合U和集合A分别表示在数轴上,如图所示.由补集定义得∁UA={x|-5≤x0,或1≤x≤2}.答案:{x|-5≤x0,或1≤x≤2}题型一题型二题型三题型四题型五交集、并集、补集的综合运算【例2】已知全集U={x|x≤4},集合A={x|-2x3},B={x|-3≤x≤2},求A∩B,(∁UA)∪B,A∩(∁UB).分析:利用数轴分别表示出全集U及集合A,B.先求出∁UA及∁UB,再求解.解:将集合U,A,B分别表示在数轴上,如图.所以∁UA={x|x≤-2或3≤x≤4}.∁UB={x|x-3或2x≤4}.所以A∩B={x|-2x≤2},(∁UA)∪B={x|x≤2或3≤x≤4},A∩(∁UB)={x|2x3}.题型一题型二题型三题型四题型五反思数轴与Venn图有同样的直观功效,在数轴上可以直观地表示数集,所以进行集合的交集、并集、补集运算时,经常在数轴上进行表示.题型一题型二题型三题型四题型五【变式训练2】(1)已知全集U={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},集合A={0,1,3,5,8},集合B={2,4,5,6,8},则(∁UA)∩(∁UB)等于()A.{5,8}B.{7,9}C.{0,1,3}D.{2,4,6}(2)设集合S={x|x-2},T={x|-4≤x≤1},则(∁RS)∪T等于()A.{x|-2x≤1}B.{x|x≤-4}C.{x|x≤1}D.{x|x≥1}解析:(1)由已知可得∁UA={2,4,6,7,9},∁UB={0,1,3,7,9},所以(∁UA)∩(∁UB)={7,9}.(2)因为S={x|x-2},所以∁RS={x|x≤-2}.而T={x|-4≤x≤1},所以(∁RS)∪T={x|x≤-2}∪{x|-4≤x≤1}={x|x≤1}.答案:(1)B(2)C题型一题型二题型三题型四题型五【例3】某班共有30人,其中15人喜爱篮球运动,10人喜爱乒乓球运动,8人对这两项运动都不喜爱,求喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数.分析:先将文字语言转化为集合语言,设U为全班学生组成的集合,A,B分别表示喜爱篮球运动的学生组成的集合、喜爱乒乓球运动的学生组成的集合,再利用Venn图可直观得出答案.有关集合的实际应用题题型一题型二题型三题型四题型五解:设全集U={全班30名学生},A={喜爱篮球运动的学生},B={喜爱乒乓球运动的学生},画出Venn图如图所示.设既喜爱篮球运动又喜爱乒乓球运动的人数为x,则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为15-x,喜爱乒乓球运动但不喜爱篮球运动的人数为10-x,则有(15-x)+x+(10-x)+8=30,解得x=3.所以喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为15-x=15-3=12.反思解答有关集合的实际应用题时,首先要将文字语言转化为集合语言,然后结合集合的交、并、补运算来处理.此外,由于Venn图简明、直观,很多有关集合的实际应用问题往往借助Venn图来分析.题型一题型二题型三题型四题型五【变式训练3】某商店销售电视机和电脑两种电器,有15人进入该商店,有6人买了电视机,有5人买了电脑,其中有2人同时买了电视机和电脑,求这15人中没有在该商店消费的人数.解:设全集U={进入商店的15人},A={买电视机的顾客},B={买电脑的顾客},画出Venn图,如图所示,则A∩B中有2人,(∁UA)∩B中有5-2=3(人),(∁UB)∩A中有6-2=4(人),则∁U(A∪B)中有15-4-2-3=6(人),即这15人中没有在该商店消费的人数是6.题型一题型二题型三题型四题型五由集合的补集关系求参数的值(范围)【例4】设集合A={x|x+m≥0},B={x|-2x4},全集U=R,且(∁UA)∩B=⌀,求实数m的取值范围.分析:(∁UA)∩B=⌀说明两个非空集合∁UA和B没有公共元素.解:易得A={x|x≥-m},所以∁UA={x|x-m}.又B={x|-2x4},(∁UA)∩B=⌀,结合数轴分析可知-m≤-2,即m≥2,所以m的取值范围是m≥2.题型一题型二题型三题型四题型五反思由集合的补集关系求解参数的方法:(1)有限集,由补集求参数问题,若集合中元素个数有限时,可利用补集定义并结合集合知识求解.(2)无限集,与集合交、并、补运算有关的求参数问题,若集合中元素有无限个时,则一般利用数轴分析法求解.题型一题型二题型三题型四题型五【变式训练4】若将例4中条件“(∁UA)∩B=⌀”改为“(∁UB)∪A=R”,其他条件不变,求m的取值范围.解:由已知可得A={x|x≥-m},∁UB={x|x≤-2,或x≥4}.因为(∁UB)∪A=R,所以-m≤-2,解得m≥2.题型一题型二题型三题型四题型五易混易错题易错点求补集时易漏掉一些特殊元素【例5】已知R为全集,A={x|-1≤x3},B={x|-2x≤3},求(∁RA)∩B.错解∵A={x|-1≤x3},∴∁RA={x|x-1或x3}.∵B={x|-2x≤3},∴(∁RA)∩B={x|-2x-1}.错因分析:错解在求A的补集时,由于考虑不严密,漏掉了元素3,从而导致最后的结果是错误的.题型一题型二题型三题型四题型五正解:∵A={x|-1≤x3},∴∁RA={x|x-1或x≥3}.∵B={x|-2x≤3},∴(∁RA)∩B={x|-2x-1或x=3}.反思已知集合是“连续”的数集(如本题中的集合A,B),求其补集时,易漏掉一些特殊的数(如端点等),可借助数轴来解决.题型一题型二题型三题型四题型五【变式训练5】设全集U={2,3,a2+2a-3},A={|2a-1|,2},∁UA={5},求实数a的值.解法一:∵∁UA={5},∴5∈U,且5∉A,∴a2+2a-3=5,且|2a-1|≠5,解得a=2或a=-4.当a=2时,|2a-1|=3,A={2,3},符合题意;而当a=-4时,A={9,2},不是U的子集.∴a=2.解法二:∵∁UA={5},∴5∈U,且5∉A,且|2a-1|=3.∴𝑎2+2𝑎-3=5,|2𝑎-1|=3,解得a=2.