2019-2020学年高中数学 第一章 集合与常用逻辑用语 1.3 集合的基本运算（第2课时）补集及

第2课时补集及应用课标阐释思维脉络1.理解全集、补集的含义,会求给定集合的补集.2.能够解决交集、并集、补集的综合运算问题.3.能借助Venn图,利用集合的相关运算解决有关的实际应用问题.一二一、全集这三个集合相等吗?为什么?(2)这三个集合中表示特征性质的方程相同,但得到的集合却不相同.你觉得化简集合时要注意什么?提示:要注意集合中代表元素的范围.即解方程时,要注意方程的根在什么范围内,同一个方程在不同的范围内其解会有所不同.1.(1)用列举法表示下列集合:A=x∈Z(x-2)x+13(x-2)=0;B=x∈Q(x-2)x+13(x-2)=0;C=x∈R(x-2)x+13(x-2)=0.提示:这三个集合分别为A={2},B=2,-13,C=2,-13,2.它们各不相等,因为三个集合中的元素不相同.三一二(3)在问题(1)中,集合Z,Q,R分别含有所解方程时所涉及的全部元素,这样的集合称为全集.那么全集一定要包含任何元素吗?提示:不一定.全集不是固定的,它是相对而言的.只要包含所研究问题中涉及的所有元素即可.2.填空一般地,如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集,通常记作U.三一二二、补集1.A={高一(2)班参加排球队的同学},B={高一(2)班没有参加排球队的同学},U={高一(2)班的同学}.(1)集合A,B,U有何关系?提示:U=A∪B.(2)集合B中的元素与U,A有何关系?提示:集合B中的元素在U中,但不在A中.三一二2.填表:文字语言对于一个集合A,由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集,简称为集合A的补集,记作∁UA.符号语言∁UA={x|x∈U,且x∉A}图形语言三一二3.做一做(1)已知全集U={1,2,3,4,5,6,7},集合A={1,3,5,6},则∁UA=()A.{1,3,5,6}B.{2,3,7}C.{2,4,7}D.{2,5,7}(2)已知全集U为R,集合A={x|x1,或x≥5},则∁UA=.解析:(1)由A={1,3,5,6},U={1,2,3,4,5,6,7},得∁UA={2,4,7}.故选C.(2)集合A={x|x1,或x≥5}的补集是∁UA={x|1≤x5}.答案:(1)C(2){x|1≤x5}三一二三三、补集的性质1.(1)全集的补集是什么?空集的补集是什么?提示:∁UU=⌀,∁U⌀=U.(2)一个集合同它的补集的并集是什么?一个集合同它的补集的交集是什么?提示:A∪∁UA=U;A∩∁UA=⌀.(3)一个集合的补集的补集是什么?提示:∁U(∁UA)=A.(4)当集合A⊆B时,∁UA与∁UB有什么关系?提示:A⊆B⇔∁UA⊇∁UB.2.做一做已知U={1,2,3,4,5,6},A={1,3,5}.求∁UA,A∩∁UA,A∪∁UA.解:∁UA={2,4,6},A∩∁UA=⌀,A∪∁UA=U={1,2,3,4,5,6}.探究一探究二探究三思维辨析随堂演练补集的基本运算例1(1)已知全集为U,集合A={1,3,5,7},∁UA={2,4,6},∁UB={1,4,6},则集合B=;(2)已知全集U={x|x≤5},集合A={x|-3≤x5},则∁UA=.分析:(1)先结合条件,由补集的性质求出全集U,再由补集的定义求出集合B,也可借助Venn图求解.(2)利用补集的定义,借助于数轴的直观作用求解.探究一探究二探究三思维辨析随堂演练解析:(1)(方法一)∵A={1,3,5,7},∁UA={2,4,6},∴U={1,2,3,4,5,6,7}.又∁UB={1,4,6},∴B={2,3,5,7}.(方法二)满足题意的Venn图如图所示.由图可知B={2,3,5,7}.(2)将全集U和集合A分别表示在数轴上,如图所示.由补集的定义可知∁UA={x|x-3,或x=5}.答案:(1){2,3,5,7}(2){x|x-3,或x=5}探究一探究二探究三思维辨析随堂演练反思感悟求集合的补集的方法1.定义法:当集合中的元素较少时,可利用定义直接求解.2.Venn图法:借助Venn图可直观地求出全集及补集.3.数轴法:当集合中的元素连续且无限时,可借助数轴求解,此时需注意端点问题.探究一探究二探究三思维辨析随堂演练变式训练1已知集合A={x|-3≤x5},∁UA={x|x≥5},B={x|1x3},求∁UB.解:由已知U={x|-3≤x5}∪{x|x≥5}={x|x≥-3},又B={x|1x3},所以∁UB={x|-3≤x≤1或x≥3}.探究一探究二探究三思维辨析随堂演练交集、并集与补集的混合运算例2设全集U={-2,-1,0,1,2},集合A={x|x2+x-2=0},B={0,-2},则B∩(∁UA)=()A.{0,1}B.{-2,0}C.{-1,-2}D.{0}分析:先求出集合A,再求出集合A的补集,最后根据集合的交集运算求出结果.解析:由于A={x|x2+x-2=0}={-2,1},所以∁UA={-1,0,2},所以B∩(∁UA)={0},故选D.答案:D探究一探究二探究三思维辨析随堂演练例3已知全集U={x|-5≤x≤3},A={x|-5≤x-1},B={x|-1≤x1},求∁UA,∁UB,(∁UA)∩(∁UB).分析:由于U,A,B均为连续的无限集,所求问题是集合间的交集、并集、补集运算,故考虑借助数轴求解.解:将集合U,A,B分别表示在数轴上,如图所示,则∁UA={x|-1≤x≤3};∁UB={x|-5≤x-1,或1≤x≤3};(∁UA)∩(∁UB)={x|1≤x≤3}.探究一探究二探究三思维辨析随堂演练反思感悟交集、并集、补集的综合运算的两种主要情况1.对于有限集,先把集合中的元素一一列举出来,再结合交集、并集、补集的定义求解,在解答过程中也常常借助于Venn图.这样处理问题,相对来说比较直观、形象,且不易出错.2.对于连续的无限集,常借助于数轴,先把已知集合及全集分别表示在数轴上,再根据交集、并集、补集的定义求解,这样处理比较形象、直观,解答过程中注意端点值的取舍.探究一探究二探究三思维辨析随堂演练变式训练2(1)如果全集U=R,M={x|-1x≤2},N={1,3,5},则M∩(∁UN)=()A.(-1,1)∪(1,2)B.(-1,2)C.(-1,1)∪(1,2]D.(-1,2](2)已知全集为R,A={x|3≤x7},B={x|2x10},求∁R(A∪B)及(∁RA)∩B.(1)解析:∁UN={x|x≠1,且x≠3,且x≠5},∴M∩(∁UN)=(-1,1)∪(1,2].答案:C(2)解:把集合A,B在数轴上表示如图.由图知,A∪B={x|2x10},∴∁R(A∪B)={x|x≤2,或x≥10}.∵∁RA={x|x3,或x≥7},∴(∁RA)∩B={x|2x3,或7≤x10}.探究一探究二探究三思维辨析随堂演练补集性质的应用例4已知全集为R,集合A={x|xa},B={x|1x2},且A∪(∁RB)=R,则实数a的取值范围是.分析:先求出∁RB,再借助于数轴求实数a的取值范围.解析:∵B={x|1x2},∴∁RB={x|x≤1,或x≥2}.又A={x|xa},且A∪(∁RB)=R,利用如图所示的数轴可得a≥2.答案:a≥2反思感悟由含补集的运算求参数的取值范围时,常根据补集的定义及集合之间的关系,并借助于数轴列出参数应满足的关系式求解,具体操作时要注意端点值的取舍.探究一探究二探究三思维辨析随堂演练延伸探究已知集合A={x|x2+ax+12b=0}和B={x|x2-ax+b=0},满足B∩(∁UA)={2},A∩(∁UB)={4},U=R,求实数a,b的值.解:(1)∵B∩(∁UA)={2},∴2∈B,但2∉A.∵A∩(∁UB)={4},∴4∈A,但4∉B.∴42+4𝑎+12𝑏=0,22-2𝑎+𝑏=0,解得𝑎=87,𝑏=-127.∴a,b的值分别为87,-127.探究一探究二探究三思维辨析随堂演练集合中的新定义问题此类问题是以集合内容为背景,设计一个陌生的问题情景,即给出一个新的概念或者新的运算、新的法则,要求我们在理解新概念、新运算、新法则的基础上解决相应的问题,这就是与集合相关的新定义题型.要解答此类题,关键是先要理解新定义、新运算、新法则的实质,根据这种新的定义、运算或者法则来求解问题.探究一探究二探究三思维辨析随堂演练一、新定义典例1已知集合M={1,2,3,4},A⊆M,集合A中所有元素的乘积称为集合A的“累积值”,且规定:当集合A只有一个元素时,其累积值即为该元素的数值,空集的累积值为0.设集合A的累积值为n.(1)若n=3,则这样的集合A共有个;(2)若n为偶数,则这样的集合A共有个.解析:(1)若n=3,据累积值的定义,得A={3}或A={1,3},这样的集合A共有2个.(2)因为集合M的子集共有24=16个,其中“累积值”为奇数的子集为{1},{3},{1,3},共3个,所以“累积值”为偶数的集合共有13个.答案:(1)2(2)13探究一探究二探究三思维辨析随堂演练二、新运算典例2已知集合A={0,2,3},定义集合运算A※A={x|x=a+b,a∈A,b∈A},则A※A=.解析:由题意知,集合A={0,2,3},则a与b可能的取值分别为0,2,3,∴a+b的值可能为0,2,3,4,5,6,∴A※A={0,2,3,4,5,6}.答案:{0,2,3,4,5,6}探究一探究二探究三思维辨析随堂演练1.设集合A={1,3,4,5},B={2,4,6},C={0,1,2,3,4},则(A∪B)∩C=()A.{2}B.{2,4}C.{1,2,3,4}D.{1,2,3,4,5}解析:A∪B={1,2,3,4,5,6},(A∪B)∩C={1,2,3,4}.答案:C2.已知全集U=R,A={x|x≤0},B={x|x≥1},则集合∁U(A∪B)=()A.{x|x≥0}B.{x|x≤1}C.{x|0≤x≤1}D.{x|0x1}解析:∵U=R,A={x|x≤0},B={x|x≥1},∴A∪B={x|x≤0,或x≥1},∴∁U(A∪B)={x|0x1}.答案:D探究一探究二探究三思维辨析随堂演练3.已知全集U=R,A={x|1≤xb},∁UA={x|x1,或x≥2},则实数b=.解析:∵∁UA={x|x1,或x≥2},∴A={x|1≤x2}.∴b=2.答案:24.已知全集U={1,2,3,4,5,6},集合A={1,3},集合B={3,4,6},集合U,A,B的关系如图所示,则图中阴影部分所表示的集合用列举法表示为.解析:题图中阴影部分所表示的集合为B∩(∁UA)={3,4,6}∩{2,4,5,6}={4,6}.答案:{4,6}探究一探究二探究三思维辨析随堂演练5.已知全集U=R,A={x|-4≤x2},B={x|-1x≤3},P=𝑥𝑥≤0,或𝑥≥52,求A∩B,(∁UB)∪P,(A∩B)∩(∁UP).解:将集合A,B,P分别表示在数轴上,如图所示.∵A={x|-4≤x2},B={x|-1x≤3},∴A∩B={x|-1x2},∁UB={x|x≤-1,或x3}.又P=𝑥𝑥≤0,或𝑥≥52,∴(∁UB)∪P=𝑥𝑥≤0,或𝑥≥52.又∁UP=𝑥0𝑥52,∴(A∩B)∩(∁UP)={x|-1x2}∩𝑥0𝑥52={x|0x2}.