2019-2020学年高中数学 第一讲 相似三角形的判定及有关性质 1.4 直角三角形的射影定理课件

-1-四直角三角形的射影定理XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页学习目标思维脉络1.理解射影的概念,会作出点和线段的射影.2.掌握射影定理,并能运用射影定理解决相关问题.直角三角形的射影定理射影的概念射影定理的应用计算证明XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页121.射影(1)点在直线上的正射影:从一点向一直线所引垂线的垂足,叫做这个点在这条直线上的正射影.(2)线段在直线上的正射影:一条线段的两个端点在一条直线上的正射影之间的线段,叫做这条线段在这条直线上的正射影.(3)射影:点和线段的正射影简称为射影.XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页12做一做1如图所示,AD⊥BC,EF⊥BC,垂足分别为点D,E.指出点A,B,C,D,E,F,G和线段AB,AC,AF,FG在直线BC上的射影.解由AD⊥BC,EF⊥BC可知,点A在直线BC上的射影是点D;点B在直线BC上的射影是点B,点C在直线BC上的射影是点C,点D在直线BC上的射影是点D,点E,F,G在直线BC上的射影都是点E;线段AB在直线BC上的射影是DB,线段AC在直线BC上的射影是DC,线段AF在直线BC上的射影是DE,线段FG在直线BC上的射影是点E.XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页122.直角三角形的射影定理(1)直角三角形的射影定理:直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项;两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项.(2)符号表示:如图,CD是Rt△ABC的斜边AB上的高,则①AC2=AD·AB;②BC2=BD·AB;③CD2=AD·DB.XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页12XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页12做一做2如图,在Rt△ABC中,∠C是直角,CD⊥AB于点D,若AD=4,BD=2,则CD=,AC=,BC=.解析由直角三角形的射影定理可得CD2=AD·BD=8,所以CD=22.同理AC2=AD·AB=24,所以AC=26,BC2=BD·AB=12,所以BC=23.答案222623XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页12思考辨析判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“”,错误的画“×”.(1)一条线段的射影不可能是点.()(2)在Rt△ABC中,∠C是直角,CD⊥AB于点D,则AD2=AC·AB.()(3)如果一个三角形一边上的高是另两边在这条边上的射影的比例中项,那么这个三角形是直角三角形.()答案(1)×(2)×(3)XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页探究一探究二探究三思维辨析探究一利用射影定理解决计算问题【例1】如图,D为△ABC中BC边上的一点,∠CAD=∠B,若AD=6,AB=10,BD=8,求CD的长.分析由条件知∠ADB=90°,即AD⊥BC,进一步可得∠BAC=90°,由射影定理求CD的长.解在△ABD中,AD=6,AB=10,BD=8,满足AB2=AD2+BD2,故∠ADB=90°,即AD⊥BC.∵∠CAD=∠B,且∠C+∠CAD=90°,∴∠C+∠B=90°,∴∠BAC=90°.在Rt△BAC中,AD⊥BC,由射影定理可知,AD2=BD·CD,即62=8CD,故CD=92.XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页探究一探究二探究三思维辨析XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页探究一探究二探究三思维辨析变式训练1如图,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,AD=3,CD=2,则𝐴𝐶𝐵𝐶的值为()A.32B.94C.23D.49解析由题意得,CD2=AD·BD,故BD=43.又AC2=AD·AB,BC2=BD·AB,则𝐴𝐶2𝐵𝐶2=𝐴𝐷𝐵𝐷=94,故𝐴𝐶𝐵𝐶=32.答案AXINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页探究一探究二探究三思维辨析探究二利用射影定理解决证明问题【例2】如图所示,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于点D,DF⊥AC于点F,DE⊥AB于点E.证明:(1)AB·AC=AD·BC;(2)AD3=BC·BE·CF.XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页探究一探究二探究三思维辨析分析(1)可针对△ABC的面积利用等积法证得;(2)在Rt△BAC中,有AB·AC=AD·BC,AD2=BD·DC;在Rt△ADB中,有BD2=BE·AB;在Rt△ADC中,有CD2=CF·AC.由这些关系式便可得到待证式.证明(1)在Rt△ABC中,∵AD⊥BC,∴S△ABC=12AB·AC=12BC·AD,∴AB·AC=AD·BC.(2)在Rt△ADB中,DE⊥AB,由射影定理得BD2=BE·AB.同理CD2=CF·AC,∴BD2·CD2=BE·AB·CF·AC.①又在Rt△BAC中,AD⊥BC,∴AD2=BD·DC,②∴由①②两式得AD4=BE·CF·AB·AC,即AD3=BE·CF·AB·AC·1𝐴𝐷.由(1)知AB·AC=BC·AD,代入上式得AD3=BC·BE·CF.XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页探究一探究二探究三思维辨析XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页探究一探究二探究三思维辨析变式训练2如图所示,CD垂直平分AB,点E在CD上,DF⊥AC于点F,DG⊥BE于点G,求证:AF·AC=BG·BE.证明∵CD垂直平分AB,∴△ACD和△BED均为直角三角形,且AD=DB.又DF⊥AC,DG⊥BE,∴AD2=AF·AC,DB2=BG·BE,∴AF·AC=BG·BE.XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页探究一探究二探究三思维辨析探究三利用射影定理解决综合问题【例3】如图,在△ABC中,D,F分别在AC,BC上,且AB⊥AC,AF⊥BC,BD=DC=FC=1,求AC的长.分析由题意可得,△ABC是直角三角形,AF为斜边上的高线,CF是直角边AC在斜边上的射影,AC为所求,已知BD=DC=1,即△BDC是等腰三角形.因此,可以过点D作DE⊥BC.由于DE,AF均垂直于BC,可以利用比例线段的性质,逐步等价转化求得AC的长.XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页探究一探究二探究三思维辨析解在△ABC中,设AC=x.∵AB⊥AC,AF⊥BC,又FC=1,根据射影定理,得AC2=FC·BC,即BC=x2.再由射影定理,得AF2=BF·FC=(BC-FC)·FC,即AF2=x2-1.∴AF=𝑥2-1.在△BDC中,过点D作DE⊥BC于E.∵BD=DC=1,∴BE=EC.XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页探究一探究二探究三思维辨析又AF⊥BC,∴DE∥AF.∴𝐷𝐸𝐴𝐹=𝐷𝐶𝐴𝐶.∴DE=𝐷𝐶·𝐴𝐹𝐴𝐶=𝑥2-1𝑥.在Rt△DEC中,∵DE2+EC2=DC2,即𝑥2-1𝑥2+𝑥222=12,∴𝑥2-1𝑥2+𝑥44=1.整理得x6=4.∴x=23.∴AC=23.XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页探究一探究二探究三思维辨析XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页探究一探究二探究三思维辨析变式训练3如图所示,AD,BE是△ABC的两条高,DF⊥AB,垂足为点F,直线FD交BE于点G,交AC的延长线于点H,求证:DF2=GF·HF.证明∵HF⊥AB,BE⊥AC,∴∠H+∠BAC=90°,∠GBF+∠BAC=90°,∴∠H=∠GBF.∵∠AFH=∠GFB=90°,∴△AFH∽△GFB,∴𝐻𝐹𝐵𝐹=𝐴𝐹𝐺𝐹,∴AF·BF=GF·HF.∵在Rt△ABD中,FD⊥AB,∴DF2=AF·BF,故DF2=GF·HF.XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页探究一探究二探究三思维辨析错用射影定理致误典例若CD是Rt△ABC的斜边AB上的高,AB=25,AC=20,试确定DB和CD的长.错解∵AC⊥CB,CD⊥AB,∴由射影定理得AD2=AC·AB=20×25=500,∴AD=105.∴DB=AB-AD=25-105.又CD2=DB·AD=(25-105)×105=2505-500=250(5-2),∴CD=510(5-2).XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页探究一探究二探究三思维辨析正解∵AC⊥CB,CD⊥AB,由射影定理可知,AC2=AD·AB,CD2=AD·DB,∴AD=𝐴𝐶2𝐴𝐵=20225=16,∴DB=AB-AD=25-16=9,∴CD=𝐴𝐷·𝐷𝐵=16×9=12.XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页探究一探究二探究三思维辨析XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页探究一探究二探究三思维辨析变式训练在Rt△ACB中,∠C=90°,CD⊥AB于点D.若AC∶CB=1∶5,则AD∶DB=.解析由射影定理可得AC2=AD·AB,CB2=BD·AB,所以AC2∶CB2=(AD·AB)∶(BD·AB)=AD∶BD=1∶25.答案1∶25XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页123451.一条线段在某条直线上的射影不可能是()A.点B.线段C.直线D.与该线段重合的一条线段解析线段在任何直线上的射影都不可能是直线.答案CXINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页123452.在Rt△ABC中,∠A=90°,AD⊥BC于点D,若DC·DB=9,则AD=()A.9B.3C.33D.18解析由射影定理可知AD2=DC·DB=9,所以AD=3.答案BXINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页123453.在Rt△ACB中,∠C=90°,CD⊥AB于点D,若BD∶AD=1∶4,则tan∠BCD的值是()A.14B.13C.12D.2解析如图所示,由射影定理得CD2=AD·BD.∵BD∶AD=1∶4,令BD=x,则AD=4x(x0).∴CD2=AD·BD=4x2,答案C∴CD=2x.在Rt△CDB中,tan∠BCD=𝐵𝐷𝐶𝐷=𝑥2𝑥=12.XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页123454.在一直角三角形中,斜边上的高为6cm,且把斜边分成3∶2两段,则斜边上中线的长是.解析设斜边长为xcm,由射影定理可得62=35x·25x,解得x=56,因此斜边