2019-2020学年高中数学 第五章 三角函数章末整合课件 新人教A版必修1

-1-章末整合知识网络系统构建专题突破深化提升专题一专题二专题三专题一三角函数的图象及其变换例1函数f(x)=Asin(ωx+φ)A,ω,φ为常数,A0,ω0,|φ|π2的部分图象如图所示,则f(0)的值是.专题四专题突破深化提升专题一专题二专题三解析:由题图可知,A=2,𝑇4=7π12−π3=π4,所以T=π,ω=2π𝑇=2.又函数图象经过点π3,0,所以2×π3+φ=π,则φ=π3,故函数的解析式为f(x)=2sin2𝑥+π3,所以f(0)=2sinπ3=62.答案:62归纳总结由已知函数图象求函数y=Asin(ωx+φ)(A0,ω0)的解析式时,常用的解题方法是待定系数法.由图中的最大值或最小值确定A,由周期确定ω,由适合解析式的点的坐标来确定φ,但由图象求得的y=Asin(ωx+φ)(A0,ω0)的解析式一般不是唯一的,只有限定φ的取值范围,才能得出唯一的解,否则φ的值不确定,解析式也就不唯一.专题四专题突破深化提升专题一专题二专题三变式训练1已知函数y=f(x)=Asin(ωx+φ)A0,ω0,0φπ2的图象上的一个最低点为M2π3,-2,周期为π.(1)求f(x)的解析式;(2)将y=f(x)的图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),然后再将所得的图象沿x轴向右平移个单位长度,得到函数y=g(x)的图象,写出函数y=g(x)的解析式;(3)当x∈0,π12时,求函数f(x)的最大值和最小值.𝜋6分析:(1)先由函数图象的周期为π确定ω,再由图象的一个最低点为M2π3,-2,确定A,φ.(2)通过图象变换与解析式的关系确定g(x).(3)由x∈0,π12确定ωx+φ的范围,从而确定最值.专题四专题突破深化提升专题一专题二专题三解:(1)∵T=2π𝜔=π,∴ω=2.又f(x)min=-2,∴A=2.∵f(x)的最低点为M2π3,-2,∴sin4π3+𝜑=-1.∵0φπ2,∴4π34π3+φ11π6.∴4π3+φ=3π2.∴φ=π6.∴f(x)=2sin2𝑥+π6.专题四专题突破深化提升专题一专题二专题三(2)y=2sin2𝑥+π6y=2sin12×2x+π6=2sin𝑥+π6y=2sin𝑥-π6+π6=2sinx,∴y=g(x)=2sinx.(3)∵0≤x≤π12,∴π6≤2x+π6≤π3.∴当2x+π6=π6,即x=0时,f(x)min=2sinπ6=1;当2x+π6=π3,即x=π12时,f(x)max=2sinπ3=3.专题四专题突破深化提升专题一专题二专题三专题二三角函数的求值例2试求tan10°+4sin10°的值.分析:所求式中含有切函数和弦函数,应先将切化弦通分,然后根据角之间的关系求解.3解:原式=3sin10°+4sin10°cos10°cos10°=3sin10°+2sin20°cos10°=3sin(30°-20°)+2sin20°cos10°=3sin30°cos20°-3cos30°sin20°+2sin20°cos10°=32cos20°+12sin20°cos10°=sin(60°+20°)cos10°=sin80°cos10°=1.专题四专题突破深化提升专题一专题二专题三例3已知cos𝛼-𝛽2=-35,sin𝛼2-𝛽=513,且π2απ,0βπ2,求cos(α+β)的值.分析:本题主要考查三角函数的给值求值,解题的关键是用整体代换的思想,即α+β=2α-𝛽2-𝛼2-β.解:易知α+β=2𝛼-𝛽2-𝛼2-𝛽=2×𝛼+𝛽2.∵cos𝛼-𝛽2=-35,且π2απ,0βπ2,∴π4α-𝛽2π.∴sin𝛼-𝛽2=1-cos2𝛼-𝛽2=1--352=45.专题四专题突破深化提升专题一专题二专题三又sin𝛼2-𝛽=513,-π4𝛼2-βπ2,∴cos𝛼2-𝛽=1-sin2𝛼2-𝛽=1-5132=1213.∴cos𝛼+𝛽2=cos𝛼-𝛽2-𝛼2-𝛽=cos𝛼-𝛽2cos𝛼2-𝛽+sin𝛼-𝛽2sin𝛼2-𝛽=-35×1213+45×513=-1665.∴cos(α+β)=2cos2𝛼+𝛽2-1=2×-16652-1=-37134225.专题四专题突破深化提升专题一专题二专题三归纳总结三角函数的求值问题通常包括三种类型:给角求值,给值求值,给值求角.给角求值的关键是将问题转化为特殊角的三角函数值,给值求值的关键是结合条件和结论中的角合理拆角、配角,给值求角的关键是确定角的范围.专题四专题突破深化提升专题一专题二专题三变式训练2已知cosα=-55,tanβ=13,πα3π2,0βπ2,求α-β的值.分析:先确定α-β的范围是π2,3π2,因此,考虑求α-β的正弦值或正切值,不能求余弦值.解:方法一:由cosα=-55,πα3π2,得sinα=-255,tanα=sin𝛼cos𝛼=2.又tanβ=13,于是tan(α-β)=tan𝛼-tan𝛽1+tan𝛼tan𝛽=2-131+2×13=1.又由πα3π2,0βπ2,可得-π2-β0,∴π2α-β3π2,因此,α-β=5π4.专题四专题突破深化提升专题一专题二专题三方法二:由cosα=-55,πα3π2,得sinα=-255.由tanβ=13,0βπ2,得sinβ=110,cosβ=310.∴sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ=-255×310−-55×110=-22.又由πα3π2,0βπ2,可得-π2-β0,π2α-β3π2,因此,α-β=5π4.专题四专题突破深化提升专题一专题二专题三专题三三角函数的化简与证明例4化简:(1+sin𝛼+cos𝛼)sin𝛼2-cos𝛼22+2cos𝛼(πα2π).分析:观察知,含有角𝛼2与其二倍角α,且分母中含有根号,考虑用升幂公式将cosα化为有关cos2𝛼2的式子,去掉根号.专题四专题突破深化提升专题一专题二专题三解:原式=2cos2𝛼2+2sin𝛼2cos𝛼2sin𝛼2-cos𝛼24cos2𝛼2=2cos𝛼2cos𝛼2+sin𝛼2sin𝛼2-cos𝛼22cos𝛼2=cos𝛼2sin2𝛼2-cos2𝛼2cos𝛼2=-cos𝛼2cos𝛼cos𝛼2.∵πα2π,∴π2𝛼2π.∴cos𝛼20.∴原式=cosα.专题四专题突破深化提升专题一专题二专题三例5求证:sin3α=4sinαsin(60°-α)sin(60°+α).分析:右边较为复杂,可考虑从右边向左边证明.证明:右边=4sinα(sin60°cosα-cos60°sinα)·(sin60°cosα+cos60°sinα)=sinα(3cos2α-sin2α)=sinα(2cos2α+cos2α-sin2α)=2sinαcos2α+sinα(cos2α-sin2α)=2sinαcosαcosα+sinαcos2α=sin2αcosα+cos2αsinα=sin(2α+α)=sin3α=左边.故等式成立.=4sinα34cos2𝛼-14sin2𝛼专题四专题突破深化提升专题一专题二专题三归纳总结用三角恒等变换进行化简、证明的常见思路和方法:(1)变角(即式子中所含角的变换):通过观察不同三角函数式所包含的角的差异,借助于“拆凑角”(如用特殊角表示一般角、用已知角表示所求角等)、“消角”(如异角化同角,复角化单角,sin2α+cos2α=1等)来减少角的个数,消除角与角之间的差异.(2)变名(即式子中不同函数之间的变换):通过观察角的三角函数种类的差异,借助于“切割化弦”“弦切互化”等进行函数名称的变换.(3)变式(即式子的结构形式的变换):通过观察不同的三角函数结构式的差异,借助于以下几种途径进行变换:①常值代换,如“1”的代换,1=sin2θ+cos2θ=tan45°.②变用公式,如sinαcosα=sin2α,tanA+tanB=tan(A+B)(1-tanAtanB).12专题四专题突破深化提升专题一专题二专题三③升降幂公式,如1+cosα=2cos2𝛼2,1-cosα=2sin2𝛼2以及cos2α=1+cos2𝛼2,sin2α=1-cos2𝛼2.④配方与平方,如1+sinθ=sin𝜃2+cos𝜃22.⑤辅助角公式asinθ+bcosθ=𝑎2+𝑏2sin(θ+φ)其中sin𝜑=𝑏𝑎2+𝑏2,cos𝜑=𝑎𝑎2+𝑏2专题四专题突破深化提升专题一专题二专题三变式训练3设a,b是非零实数,且满足𝑎sinπ7+𝑏cosπ7𝑎cosπ7-𝑏sinπ7=tan10π21,求𝑏𝑎的值.解:由𝑎sinπ7+𝑏cosπ7𝑎cosπ7-𝑏sinπ7=tan10π21,得tan10π21=𝑎tanπ7+𝑏𝑎-𝑏tanπ7=tanπ7+𝑏𝑎1-𝑏𝑎tanπ7,设tanθ=𝑏𝑎,则tan10π21=tanπ7+tan𝜃1-tanπ7tan𝜃=tanπ7+θ,即10π21+kπ=π7+θ,k∈Z,即θ=kπ+π3,k∈Z,则𝑏𝑎=tanθ=tankπ+π3=tanπ3=3.专题四专题突破深化提升专题一专题二专题三变式训练4求证:1+sin𝛼-cos𝛼-2sin𝛼cos𝛼1+sin𝛼-cos𝛼=sinα-cosα.证明:∵1-2sinαcosα=(sinα-cosα)2,∵1+sinα-cosα≠0,∴左端=(sin𝛼-cos𝛼)2+sin𝛼-cos𝛼1+sin𝛼-cos𝛼=(sin𝛼-cos𝛼)(sin𝛼-cos𝛼+1)1+sin𝛼-cos𝛼=sinα-cosα=右端.故原等式得证.专题四专题突破深化提升专题一专题二专题三专题四专题四三角函数性质与变换公式的综合应用例6当x=π4时,函数y=f(x)=Asin(x+φ)(A0)取得最小值,则函数y=f3π4-𝑥是()A.奇函数且当x=π2时取得最大值B.偶函数且图象关于点(π,0)对称C.奇函数且当x=π2时取得最小值D.偶函数且图象关于点π2,0对称专题突破深化提升专题一专题二专题三专题四解析:∵fπ4=-A,∴sinπ4+𝜑=-1,∴φ=5π4+2kπ,k∈Z,∴y=f3π4-𝑥=Asin(-x)=-Asinx,∴y=f3π4-𝑥是奇函数,且当x=π2时取得最小值.答案:C专题突破深化提升专题一专题二专题三专题四例7已知函数f(x)=3sinωxcosωx-cos2ωx-12(ω0,x∈R),且函数f(x)的最小正周期为π.(1)求函数f(x)的对称轴;(2)将函数f(x)的图象向左平移π12个单位长度,再向上平移1个单位长度得到函数g(x)的图象,求函数y=4g2(x)-12g(x)-1在x∈-π12,π3上的最值.分析:先将f(x)解析式中前两项进行降幂扩角,然后利用辅助角公式,将f(x)解析式化为Asin(ωx+φ)+b的形式,最后结合条件进行求解.专题突破深化提升专题一专题二专题三专题四解:(1)由已知f(x)=3sinωxcosωx-cos2ωx-12=32sin2ωx-12cos2ωx-1=sin2𝜔𝑥-π6-1,因为f(x)的最小正周期为π,故2π2𝜔=π,所以ω=1.故f(x)=sin2𝑥-π6-1,其对称轴满足2x-π6=kπ+π2(k∈Z),故其对称轴为x=𝑘π2+π3(k∈Z).专题突破深化提升专题一专题二专题三专题四(2)将函数f(x)的图象向左平移π12个单位长度得到函数y=sin2𝑥+π12-π6-1=sin2x-1的图象,再向上平移1个单位长度,得到函数g(x)=sin2x的图象,因此y=4g2(x)-12g(x)-1=4sin22x-12sin2x-1.令t=sin2x,由于2x∈-π6,2π3,故t∈-12,1,所以y=4t2-12