2019-2020学年高中数学 第五章 三角函数 5.7 三角函数的应用课件 新人教A版必修1

-1-5.7三角函数的应用首页课标阐释思维脉络1.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.2.会用三角函数模型解决简单的实际问题.3.初步学会使用分析数据或图象特征进行一些简单的函数拟合.课前篇自主预习一二一、三角函数的应用1.简谐运动(1)对于函数y=Asin(ωx+φ),其最值、周期分别与哪些参数有关?如果一个简谐振动,其解析式是y=3sinπ𝑥+π6,结合物理学知识,其振幅、周期、初相分别是多少?提示:函数y=Asin(ωx+φ)的最值与A有关,周期与ω有关;对于简谐振动y=3sinπ𝑥+π6,其振幅等于3,周期是2,初相为π6.课前篇自主预习一二(2)填空在y=Asin(ωx+φ),x∈[0,+∞)(A0,ω0)中,各参数的物理意义.振幅A它是简谐振动的物体离开平衡位置的最大距离周期T=2𝜋ω它是物体往复运动一次所需要的时间频率f=1T=ω2𝜋它是单位时间内往复运动的次数相位ωx+φ其中φ为初相课前篇自主预习一二(3)做一做简谐振动y=13sin𝑥4+π5的振幅、周期、初相分别为()A.13,π2,π5B.13,8π,π5C.-13,8π,π5D.13,8π,4π5解析:因为A=13,ω=14,所以周期T=2π14=8π,故振幅为13,初相φ=π5.答案:B课前篇自主预习一二2.三角函数能够模拟现实中的许多周期现象,你能举出一些这样的例子吗?提示:物理中的匀速圆周运动、简谐振动、交变电流、海洋潮汐和水车问题等都是日常生活中的一些周期现象.3.填空三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型,可以用来研究很多问题,在刻画周期规律、预测未来方面发挥重要作用.课前篇自主预习一二二、应用三角函数模型解决问题的一般程序1.填空应用三角函数模型解决问题,首先要把实际问题抽象为数学问题,通过分析它的变化趋势,确定它的周期,从而建立起适当的三角函数模型,解决问题的一般程序如下:(1)审题,先审清楚题目条件、要求、理解数学关系.(2)建模,分析题目周期性,选择适当的三角函数模型.(3)求解,对所建立的三角函数模型进行分析研究得到数学结论.(4)还原,把数学结论还原为实际问题的解答.课前篇自主预习一二2.做一做如图是相对于平均海平面的某海湾的水面高度h(单位:米)在某天从0~24时的变化情况,则水面高度h关于时间t的函数关系式为.解析:设h关于t的解析式为h=Asin(ωt+φ),则有h(0)=0,即sinφ=0,因此可取φ=0;又2π|𝜔|=12,取ω=π6,则有h=Asinπ6t,又h(3)=Asinπ2=A=-6,故所求解析式为h=-6sinπ6t.答案:h=-6sinπ6t课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练三角函数模型在日常生活中的应用例1心脏跳动时,血压在增加或减少.血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压,血压计上的读数就是收缩压和舒张压,读数120/80mmHg为标准值.设某人的血压满足函数式p(t)=115+25sin160πt,其中p(t)为血压(单位:mmHg),t为时间(单位:min),试回答下列问题:(1)求函数p(t)的周期;(2)求此人每分钟心跳的次数;(3)画出函数p(t)的草图;(4)求出此人的血压在血压计上的读数.分析:函数解析式已知,可根据周期公式以及周期与频率的关系解决(1)(2).用“五点作图法”解决(3).由函数解析式或图象得出函数的最大值以及最小值即得血压在血压计上的读数从而得(4).课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练解:(1)因为ω=160π,代入周期公式T=2π|𝜔|,可得T=2π160π=180(min),所以函数p(t)的周期为180min.(2)每分钟心跳的次数即为函数的频率f=1𝑇=80(次).(3)列表:t0132011603320180p(t)11514011590115描点、连线并向左右扩展得到函数p(t)的简图如图所示:(4)由图可知此人的收缩压为140mmHg,舒张压为90mmHg.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练反思感悟在日常生活中呈周期变化的现象,可利用三角函数模型y=Asin(ωx+φ)+b描述其变化规律,并结合各参数的实际意义解决相关问题.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练变式训练1某地昆虫种群数量在七月份1~13日的变化如图所示,且满足y=Asin(ωt+φ)+b(ω0,φ0).(1)根据图中数据求函数解析式;(2)从7月1日开始,每隔多长时间种群数量就出现一个低谷或一个高峰?课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练解:(1)由图象可知ymax=900,ymin=700,且A+b=ymax,-A+b=ymin,∴A=𝑦max-𝑦min2=900-7002=100,b=𝑦max+𝑦min2=800,且T=12=2π𝜔,∴ω=π6.将(7,900)看作函数的第二个特殊点应有π6×7+φ=π2.∴φ=-2π3.因此所求的函数解析式为y=100sinπ6𝑡-2π3+800.(2)由图可知,每隔半周期种群数量就出现一个低谷或高峰,又𝑇2=122=6.∴从7月1日开始,每隔6天,种群数量就出现一个低谷或一个高峰.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练三角函数模型在物理中的应用例2已知表示电流强度I与时间t的函数关系式I=Asin(ωt+φ)(A0,ω0).(1)若电流强度I与时间t的函数关系图象如图所示,试根据图象写出I=Asin(ωt+φ)的解析式;(2)为了使秒的时间内电流强度I能同时取得最大值A与最小值-A,则正整数ω的最小值是多少?I=Asin(ωt+φ)𝐴0,𝜔0,|𝜑|π2中t在任意一段1100课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练分析:对于(1),由于解析式的类型已经确定,只需根据图象确定参数A,ω,φ的值即可.其中A可由最大值与最小值确定,ω可由周期确定,φ可通过特殊点的坐标,解方程求得.对于(2),可利用正弦型函数的图象在一个周期中必有一个最大值点和一个最小值点来解.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练解:(1)由题图知,A=300.T=160−-1300=150,∴ω=2π𝑇=100π.∵-1300,0是该函数图象的第一个零点,∴-𝜑𝜔=-1300.∴φ=𝜔300=π3.符合|φ|π2,∴I=300sin100π𝑡+π3(t≥0).(2)问题等价于T≤1100,即2π𝜔≤1100,∴ω≥200π.∴正整数ω的最小值为629.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练反思感悟三角函数在物理中的应用三角函数模型在物理中的应用主要体现在简谐运动、交流电电流、电压等方面,其中对弹簧振子和单摆的运动等有关问题考查最多,尤其要弄清振幅、频率、周期、平衡位置等物理概念的意义和表示方法.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练变式训练2单摆从某点开始来回摆动,离开平衡位置的距离s(单位:cm)和时间t(单位:s)的函数关系式为(1)作出函数的图象;(2)当单摆开始摆动(t=0)时,离开平衡位置的距离是多少?(3)当单摆摆动到最右边时,离开平衡位置的距离是多少?(4)单摆来回摆动一次需多长时间?s=6sin2π𝑡+π6.解:(1)利用“五点法”可作出其图象,如图.(2)因为当t=0时,s=6sinπ6=3,所以此时离开平衡位置3cm.(3)离开平衡位置6cm.(4)因为T=2π2π=1,所以单摆来回摆动一次所需的时间为1s.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练数据拟合三角函数模型问题例3已知某海滨浴场海浪的高度y(单位:米)是时间t(0≤t≤24,单位:时)的函数,记作y=f(t).下表是某日各时的浪高数据.(1)根据以上数据,求函数y=f(t)的函数解析式;(2)依据规定,当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放,请依据(1)的结论,判断一天内上午8:00时至晚上20:00时之间,有多少时间可供冲浪爱好者进行运动?分析:作出散点图→判断形状构建模型→求参数t(时)03691215182124y(米)1.51.00.51.01.51.00.50.991.5课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练解:(1)由表中数据描出各点,并把这些点用平滑的曲线连接起来(如图),由图知,可设f(t)=Acosωt+b,并且周期T=12,∴ω=2π𝑇=2π12=π6.由t=0,y=1.5,得A+b=1.5;由t=3,y=1.0,得b=1.0.∴A=0.5,b=1.∴y=12cosπ6t+1.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练(2)由题知,当y1时才可对冲浪爱好者开放,即12k-3t12k+3(k∈Z).①∵0≤t≤24,故可令①中k分别为0,1,2,得0≤t3或9t15或21t≤24.∴在规定时间上午8:00至晚上20:00之间,有6个小时的时间可供冲浪爱好者运动,即上午9:00至下午15:00.∴12cosπ6t+11.∴cosπ6t0.∴2kπ-π2π6t2kπ+π2(k∈Z),课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练反思感悟处理数据拟合和预测问题的几个步骤:(1)根据原始数据,绘出散点图;(2)通过散点图,作出“最贴近”的直线或曲线,即拟合直线或拟合曲线;(3)根据所学函数知识,求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式;(4)利用函数关系式,根据条件对所给问题进行预测和控制,以便为决策和管理提供依据.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练延伸探究本例(2)中,按照规定,该海滨浴场在每天上午对冲浪爱好者开放之前,须首先对海滨浴场的各种设施进行全面详细的安全检查,且检查工作必须在海浪高度低于米时进行,试问:海滨浴场工作人员须在上午的哪个时段对设施进行安全检查?1-34解:依题意知,应当y1-34时进行安全检查.由12cosπ6t+11-34,可得cosπ6t-32.因为0≤t≤24,所以5π6π6t7π6或17π6π6t19π6,解得5t7或17t19,因为是在上午进行检查,所以应该在上午的5时至7时这一时间段进行安全检查.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练不能正确理解简谐运动的过程致误典例弹簧振子以点O为平衡位置,在B,C间做简谐运动,B,C相距20cm,某时刻振子处在点B,经0.5s振子首次达到点C.求:(1)振动的振幅、周期和频率;(2)振子在5s内通过的路程及这时位移的大小.错解(1)因为B,C相距20cm,所以振幅A=20cm.因为从点B经0.5s振子首次达到点C,(2)5s内的路程=位移=5A=5×20=100cm.所以周期T=0.5s,频率f=1𝑇=2.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练错解错在什么地方?你能发现吗?怎样避免这类错误呢?提示:振子以O为平衡位置,在B,C间做简谐运动,B,C相距20cm,说明振子离开平衡位置的最大值和最小值点相距20cm,即振幅的2倍等于20cm;振子从点B经0.5秒首次到达点C,再返回点B才是一个周期,因此,应有=0.5s;路程与位移有区别,路程只有大小,位移不仅有大小,还有方向.错解中由于对周期的概念理解不清导致周期求错,另外,混淆了路程与位移直接的区别导致结果错误.𝑇2课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练正解:(1)设振幅为A,则2A=20cm,A=10cm.设周期为T,则=0.5s,T=1s,f=1Hz.(2)振子在1T内通过的距离为4A,故在t=5s=5T内通过的路程s=5×4A=20A=20×10cm=200cm=2m.5s末物体处在点B,所以它相对平衡位置的位移大小为10cm.防范措施对于简谐振动,要结合物理中所学的知识加强对相关概念以及解析式y=Asin(ωx+φ)中参数意义的理解,弄清它们之间的区别与联系,以便正确求解.𝑇2课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练1.函数y=3