2019-2020学年高中数学 第五章 三角函数 5.1.1 任意角课件 新人教A版必修1

-1-5.1.1任意角首页课标阐释思维脉络1.掌握用“旋转”定义角的概念,结合具体实例理解“正角”“负角”及“零角”的定义.2.理解“象限角”“终边相同角”的定义,掌握所有与角α终边相同的角(包括角α)的表示方法.3.体会用运动变化的观点,深刻理解推广后的角的概念.课前篇自主预习一二三一、任意角1.(1)初中所学的角是如何定义的?初中学过哪些角?初中学过的角的范围是什么?提示:具有公共顶点的两条射线组成的图形;锐角、直角、钝角、平角、周角;0°α≤360°.(2)在奥运会比赛中,跳水是极具观赏性的项目,其中解说员经常播报出场运动员完成的动作难度系数和一些动作名称.比如说“107B”就表示向前翻腾3周半屈体,“107C”就是向前翻腾3周半抱膝(第三个数字表示翻腾的周数,以“1”为半圆,“2”为一周,“3”为一周半,以此类推).若一位跳水运动员做了一个“5253B”动作,你知道这位运动员翻腾的周数吗?怎样度量这种形式的角呢?提示:5253B中第3个数是5,说明该运动员翻腾两周半,对这样的角的认识必须将以前学过的角的概念进行推广.课前篇自主预习一二三2.填空(1)角的概念:平面内的一条射线绕着它的端点旋转所成的图形.(2)角的分类:按旋转方向可将角分为三类温馨提示:1.在不引起混淆的前提下,“角α”或“∠α”可以简记成“α”;2.如果α是零角,那么记α=0°.类型定义图示正角按逆时针方向旋转形成的角负角按顺时针方向旋转形成的角零角一条射线没有做任何旋转形成的角课前篇自主预习一二三二、第几象限角1.如果将一个角放到平面直角坐标系中,且使角α的始边与x轴的非负半轴重合,角的顶点与原点重合,回答以下问题:(1)α=45°的角终边落在第几象限?提示:第一象限.(2)α=120°的角终边落在第几象限?提示:第二象限.(3)α=-90°的角终边落在第几象限?提示:y轴的负半轴上.(4)若α终边落在第二象限,则角φ的范围是多少?提示:90°+k·360°φ180°+k·360°,k∈Z.(5)若将α的终边再继续旋转角β得到的角如何表示?提示:α+β课前篇自主预习一二三2.填空象限角的定义(1)前提:①角的顶点与原点重合;②角的始边与x轴的非负半轴重合.(2)结论:角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限角;角的终边在坐标轴上,就说这个角不属于任何一个象限.课前篇自主预习一二三三、终边相同的角1.在同一平面直角坐标系内作出30°,390°,-330°,750°角,观察它们的终边有什么关系,这些角之间相差多少度?提示:终边在相同的位置,它们之间相差360°的整数倍.2.填空一般地,所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合:S={β|β=α+k·360°,k∈Z},即任一与角α终边相同的角,都可以表示成角α与整数个周角的和.课前篇自主预习一二三3.做一做(1)与-40°角终边相同的角的集合是()A.{α|α=k·360°-40°,k∈Z}B.{α|α=k·360°+40°,k∈Z}C.{α|α=k·360°±40°,k∈Z}D.{α|α=k·360°+80°,k∈Z}答案:A(2)与1680°角终边相同的最大负角是.解析:1680°=5×360°-120°,故与1680°角终边相同的最大负角是-120°.答案:-120°(3)今天是星期一,那么7k(k∈Z)天后的那一天是,7k+2(k∈Z)天后的那一天是,2020天后的那一天是.答案:星期一星期三星期天课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练任意角的概念及其表示例1(1)经过2个小时,钟表的时针和分针转过的角度分别是()A.60°,720°B.-60°,-720°C.-30°,-360°D.-60°,720°(2)下图中的角α的度数是.解析:(1)钟表的时针和分针都是顺时针旋转,因此转过的角度都是负的,而×360°=60°,2×360°=720°,故钟表的时针和分针转过的角度分别是-60°,-720°.(2)要正确识图,确定好旋转的方向和旋转的大小.因为角α旋转的大小是360°-30°=330°,旋转方向是逆时针,所以α=330°.答案:(1)B(2)330°212课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练反思感悟确定任意角的方法:(1)定方向:明确该角是由顺时针方向还是逆时针方向旋转形成的,由逆时针方向旋转形成的角为正角,顺时针方向旋转形成的角为负角.(2)定大小:根据旋转角度的绝对量确定角的大小.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练变式训练1(1)把一条射线绕着端点按顺时针方向旋转240°所形成的角是()A.120°B.-120°C.240°D.-240°(2)图中角α=,β=.解析:(1)一条射线绕着端点按顺时针方向旋转240°所形成的角是-240°,故选D.(2)由题图可知α=-(180°-30°)=-150°,β=30°+180°=210°.答案:(1)D(2)-150°210°课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练坐标系中角的概念及其表示角度1终边相同的角的求解例2写出与75°角终边相同的角的集合,并求在360°~1080°范围内与75°角终边相同的角.分析:根据与角α终边相同的角的集合为S={β|β=k·360°+α,k∈Z},写出与75°角终边相同的角的集合,再取适当的k值,求出360°~1080°范围内的角.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练解:与75°角终边相同的角的集合为S={β|β=k·360°+75°,k∈Z}.当360°≤β1080°时,即360°≤k·360°+75°1080°,又k∈Z,所以k=1或k=2.当k=1时,β=435°;当k=2时,β=795°.综上所述,与75°角终边相同且在360°~1080°范围内的角为435°角和795°角.反思感悟求与已知角α终边相同的角时,要先将这样的角表示成k·360°+α(k∈Z)的形式,然后采用赋值法求解或解不等式,确定k的值,求出满足条件的角.解得1924≤k21924.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练角度2终边在某条直线上的角的集合例3写出终边在如图所示的直线上的角的集合.分析:定0°~360°范围内终边在所给直线上的两个角→分别写出与两个角终边相同的角的集合→写出两个集合的并集即可课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练解:(1)在0°~360°范围内,终边在直线y=0上的角有两个,即0°和180°,又所有与0°角终边相同的角的集合为S1={β|β=0°+k·360°,k∈Z},所有与180°角终边相同的角的集合为S2={β|β=180°+k·360°,k∈Z},于是,终边在直线y=0上的角的集合为S=S1∪S2={β|β=k·180°,k∈Z}.(2)由图形易知,在0°~360°范围内,终边在直线y=-x上的角有两个,即135°和315°,因此,终边在直线y=-x上的角的集合为S={β|β=135°+k·360°,k∈Z}∪{β|β=315°+k·360°,k∈Z}={β|β=135°+k·180°,k∈Z}.(3)终边在直线y=x上的角的集合为{β|β=45°+k·180°,k∈Z},结合(2)知所求角的集合为S={β|β=45°+k·180°,k∈Z}∪{β|β=135°+k·180°,k∈Z}={β|β=45°+2k·90°,k∈Z}∪{β|β=45°+(2k+1)·90°,k∈Z}={β|β=45°+k·90°,k∈Z}.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练反思感悟终边落在x轴的非负半轴、x轴的非正半轴、x轴、y轴的非负半轴、y轴的非正半轴、y轴、坐标轴上的角的集合终边落在x轴的非负半轴上的角的集合为{x|x=k·360°,k∈Z};终边落在x轴的非正半轴上的角的集合为{x|x=k·360°+180°,k∈Z};终边落在x轴上的角的集合为{x|x=k·180°,k∈Z};终边落在y轴的非负半轴上的角的集合为{x|x=k·360°+90°,k∈Z};终边落在y轴的非正半轴上的角的集合为{x|x=k·360°-90°,k∈Z};终边落在y轴上的角的集合为{x|x=k·180°+90°,k∈Z};终边落在坐标轴上的角的集合为{x|x=k·90°,k∈Z}.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练角度3区域角的求解例4如图所示,写出顶点在原点,始边为x轴的非负半轴,终边落在阴影部分内的角的集合(包括边界).分析:(1)要注意角的起始边界与终止边界的书写;(2)注意角的终边所出现的规律性是每隔180°就会重复出现.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练解:(1)对于阴影部分,先取[-60°,75°]这一范围,再结合其规律性可得终边落在阴影部分内角的集合为{α|-60°+k·360°≤α≤75°+k·360°,k∈Z}.(2)对于阴影部分,先取[60°,90°]这一范围,再结合其出现的规律性可知集合为{α|60°+k·180°≤α≤90°+k·180°,k∈Z}.反思感悟区域角是指终边落在坐标系的某个区域内的角.其写法可分为三步:(1)借助图形,在直角坐标系中先按逆时针的方向找到区域的起始边界和终止边界;(2)按由小到大的顺序分别标出起始边界和终止边界对应的-360°~360°范围内的角α和β;(3)分别将起始边界,终止边界的对应角α,β加上360°的整数倍,即可求得区域角.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练变式训练2集合𝛼𝑘π+π4≤𝛼≤𝑘π+π2,𝑘∈Z中的角所表示的范围(阴影部分)是()解析:当k=2n(n∈Z)时,2nπ+π4≤𝛼≤2nπ+π2,此时α表示的范围与π4≤𝛼≤π2表示的范围一样,当k=2n+1(n∈Z)时,2nπ+π+π4≤𝛼≤2nπ+π+π2,此时α表示的范围与π+π4≤𝛼≤π+π2表示的范围一样.答案:C课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练象限角及其应用角度1给定一个角判断它是第几象限角例5已知角的顶点与直角坐标系的原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,作出下列各角,指出它们是第几象限角,并指出在0°~360°范围内与其终边相同的角.(1)405°;(2)-45°;(3)495°;(4)-520°.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练解:作出各角的终边如图所示.由图可知:(1)405°是第一象限角;(2)-45°是第四象限角;(3)495°是第二象限角;(4)-520°是第三象限角角.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练(1)405°=45°+360°,所以在0°~360°范围内,与405°角终边相同的角是45°.(2)-45°=315°-360°,所以在0°~360°范围内,与-45°角终边相同的角是315°角.(3)495°=135°+360°,所以在0°~360°范围内,与495°角终边相同的角是135°角.(4)-520°=200°-2×360°,所以在0°~360°范围内,与-520°角终边相同的角是200°角.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练反思感悟(1)作给定的各个角时,可先找出在0°~360°范围内与其终边相同的角,然后根据角的表示方式,利用正角逆时针旋转相应的圈数,负角顺时针旋转相应的圈数,在图形中标注相应的圈数和旋转方向即可.(2)判断角α是第几象限角的常用方法为将α写成β+k·360°(其中k∈Z,β在0°~360°范围内)的形式,观察角β的终边所在的象限即可.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练角度2对𝛼𝑛(n∈N*)所在象限的判定例6若角α是第二象限角,试确定角2α,是第几象限角.分析:𝛼3课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练解:∵α是第二象限角,∴90°+k·360°α180°+k·360°(k∈Z),则(1)180°+2k·360°2α360°+2k·360°(k∈Z),∴2α可能是第三象限角、第四象限角