2019-2020学年高中数学 第三章 推理与证明 3 综合法与分析法 3.1 综合法课件 北师大版

-1-§3综合法与分析法-2-3.1综合法目标导航1.了解直接证明的一种基本方法:综合法.2.理解综合法的思考过程及特点.3.学会用综合法证明问题.知识梳理1.综合法的定义从命题的条件出发,利用定义、公理、定理及运算法则,通过演绎推理,一步一步地接近要证明的结论,直到完成命题的证明.我们把这样的思维方法称为综合法.2.综合法的基本思路用综合法求解问题的基本思路是“由因导果”.由已知走向求证,即从数学题的已知条件出发,经过逐步的逻辑推理,最后达到待证结论或需求的问题.3.综合法的思维模式若P表示已知条件(已有的定义、定理、公理等),Q表示所要证明的结论,则综合法可以用下面的框图表示.P⇒Q1→Q1⇒Q2→Q2⇒Q3→…→Qn⇒Q知识梳理【做一做】已知p=a+1𝑎-2(𝑎2),𝑞=2-𝑎2+4𝑎-2(𝑎2),则()A.pqB.pqC.p≥qD.p≤q解析:∵a2,∴p=a+1𝑎-2=a-2+1𝑎-2+2≥2+2=4,而-a2+4a-2=-(a-2)2+22,∴q=2−𝑎2+4𝑎−24.故pq.答案:A当且仅当a-2=1𝑎-2,即a=3时取等号.典例透析题型一题型二题型三题型四用综合法证明不等式问题【例1】已知x0,y0,x+y=1,求证:1+1𝑥1+1𝑦≥9.分析:证明不等式时,可先从条件入手,将x+y=1代入要证明的不等式,再用基本不等式进行下一步证明;也可先从基本不等式入手,再进行下一步证明.典例透析题型一题型二题型三题型四证法一∵x+y=1,∴1+1𝑥1+1𝑦=1+𝑥+𝑦𝑥1+𝑥+𝑦𝑦=2+𝑦𝑥2+𝑥𝑦=5+2𝑦𝑥+𝑥𝑦.∵x0,y0,∴𝑦𝑥0,𝑥𝑦0.∴𝑦𝑥+𝑥𝑦≥2,当且仅当𝑦𝑥=𝑥𝑦,即x=y=12时取等号.则有1+1𝑥1+1𝑦≥5+2×2=9成立.典例透析题型一题型二题型三题型四反思用综合法证明不等式时,可以从条件出发,也可以从基本不等式出发,通过换元、拼凑等方法构造定值.若连续两次或两次以上利用基本不等式,则需要注意几次利用基本不等式时等号成立的条件是否相同.证法二∵x0,y0,1=x+y≥2𝑥𝑦,当且仅当x=y=12时取等号,∴xy≤14.则有1+1𝑥1+1𝑦=1+1𝑥+1𝑦+1𝑥𝑦=1+𝑥+𝑦𝑥𝑦+1𝑥𝑦=1+2𝑥𝑦≥1+8=9成立.典例透析题型一题型二题型三题型四【变式训练1】已知a,b是正数,且a+b=1,求证:1𝑎+1𝑏≥4.证法一∵a,b为正数,且a+b=1,∴a+b≥2𝑎𝑏,∴𝑎𝑏≤12,当且仅当a=b=12时取等号.∴1𝑎+1𝑏=𝑎+𝑏𝑎𝑏=1𝑎𝑏≥4.证法二∵a,b为正数,∴a+b≥2𝑎𝑏0,1𝑎+1𝑏≥21𝑎𝑏0,当且仅当a=b时取等号.∴(a+b)1𝑎+1𝑏≥4.又a+b=1,∴1𝑎+1𝑏≥4.典例透析题型一题型二题型三题型四证法三∵a,b为正数,∴1𝑎+1𝑏=𝑎+𝑏𝑎+𝑎+𝑏𝑏=1+𝑏𝑎+𝑎𝑏+1≥2+2𝑎𝑏·𝑏𝑎=4,当且仅当a=b=12时,取等号.典例透析题型一题型二题型三题型四用综合法证明数列问题【例2】设数列{an}的前n项和为Sn,且(3-m)Sn+2man=m+3(n∈N+),其中m为常数,且m≠-3.(1)求证:数列{an}是等比数列;(2)若数列{an}的公比为q=f(m),数列{bn}满足b1=a1,分析:(1)类比题目所给等式得到Sn+1与an+1之间的关系式,两式相减,说明{an}是等比数列.(2)利用(1)中的公比q得到f(m),bn=32𝑓(𝑏𝑛−1)(𝑛∈N+,n≥2),求证:数列1𝑏𝑛为等差数列.化简式子bn=32𝑓(𝑏𝑛−1),说明数列1𝑏𝑛是等差数列.典例透析题型一题型二题型三题型四证明:(1)由(3-m)Sn+2man=m+3,得(3-m)Sn+1+2man+1=m+3.两式相减,得(3+m)an+1=2man(m≠-3),∴𝑎𝑛+1𝑎𝑛=2𝑚𝑚+3.又m为常数,且m≠-3,∴数列{an}是等比数列.典例透析题型一题型二题型三题型四(2)∵(3-m)Sn+2man=m+3,∴(3-m)a1+2ma1=m+3.又m≠-3,∴a1=1.∴b1=a1=1.由(1),可得q=f(m)=2𝑚𝑚+3(𝑚≠-3).∴当n∈N+,且n≥2时,bn=32𝑓(𝑏𝑛−1)=32·2𝑏𝑛-1𝑏𝑛-1+3.∴bnbn-1+3bn=3bn-1,∴1𝑏𝑛−1𝑏𝑛-1=13.∴数列1𝑏𝑛是首项为1,公差为13的等差数列.典例透析题型一题型二题型三题型四反思综合法证明数列问题时的证明依据主要来源于以下的相关知识:(1)数列的概念,特别是等差数列,等比数列的定义;(2)等差数列与等比数列的基本性质以及数列前n项和的性质;(3)数列的通项an与数列的前n项和Sn之间的关系:(4)递推公式与通项公式的关系.an=𝑆1,𝑛=1,𝑆𝑛-𝑆𝑛-1,𝑛≥2;典例透析题型一题型二题型三题型四所以数列{bn}是等差数列,其中b1=1,公差为1.(2)解:由(1),知bn=n,an=n·2n-1,所以Sn=1×20+2×21+…+(n-1)·2n-2+n·2n-1,所以2Sn=1×21+2×22+…+(n-1)·2n-1+n·2n,两式相减,得Sn=n·2n-1×20-1×21-…-1×2n-1=n·2n-2n+1=2n(n-1)+1.【变式训练2】在数列{an}中,a1=1,an+1=2an+2n.(1)设bn=𝑎𝑛2𝑛-1,求证:数列{𝑏𝑛}是等差数列;(2)求数列{an}的前n项和Sn.(1)证明:因为an+1=2an+2n,所以𝑎𝑛+12𝑛=𝑎𝑛2𝑛-1+1.因为bn=𝑎𝑛2𝑛-1,所以bn+1=bn+1.典例透析题型一题型二题型三题型四用综合法证明立体几何问题【例3】如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中点.求证:(1)CD⊥AE;(2)PD⊥平面ABE.分析:解答本题可先明确线线、线面垂直的判定定理及性质定理,再用定理进行证明.典例透析题型一题型二题型三题型四证明:(1)在四棱锥P-ABCD中,∵PA⊥底面ABCD,CD⫋平面ABCD,∴PA⊥CD.∵AC⊥CD,PA∩AC=A,∴CD⊥平面PAC.而AE⫋平面PAC,∴CD⊥AE.典例透析题型一题型二题型三题型四(2)由PA=AB=BC,∠ABC=60°,可得AC=AB=BC=PA.∵E是PC的中点,∴AE⊥PC.由(1),知AE⊥CD.又PC∩CD=C,∴AE⊥平面PCD.而PD⫋平面PCD,∴AE⊥PD.∵PA⊥底面ABCD,∴PA⊥AB.又AB⊥AD,AD∩PA=A,∴AB⊥平面PAD,又PD⫋平面PAD,∴AB⊥PD.又∵AB∩AE=A,∴PD⊥平面ABE.典例透析题型一题型二题型三题型四反思立体几何中线面之间垂直关系的证明是高考考查的重点,利用垂直的判定定理和性质定理可以进行线线、线面以及面面之间垂直关系的转化,另外,利用一些常见的结论还可以将线面间的垂直与平行进行转化.比如,两条平行线中的一条垂直于平面α,则另外一条也垂直于平面α;垂直于同一条直线的两个平面互相平行等.典例透析题型一题型二题型三题型四【变式训练3】如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱垂直于底面,AB⊥BC,E,F分别是A1C1,BC的中点.求证:(1)平面ABE⊥平面B1BCC1;(2)C1F∥平面ABE.典例透析证明：(1)在三棱柱ABC-A1B1C1中,BB1⊥底面ABC,所以BB1⊥AB.又因为AB⊥BC,BB1∩BC=B,所以AB⊥平面B1BCC1,又AB⫋平面ABE,所以平面ABE⊥平面B1BCC1.(2)取AB的中点G,连接EG,FG.因为E,F分别是A1C1,BC的中点,所以FG∥AC,且FG因为AC∥A1C1,且AC=A1C1,所以FG∥EC1,且FG=EC1,所以四边形FGEC1为平行四边形.所以C1F∥EG.又因为EG⫋平面ABE,C1F⊈平面ABE,所以C1F∥平面ABE.题型一题型二题型三题型四=12𝐴𝐶.典例透析题型一题型二题型三题型四易错辨析易错点用特殊代替一般,使证明错误【例4】设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),若函数f(x+1)与f(x)的图像关于y轴对称,求证:𝑓𝑥+12为偶函数.错解:由函数f(x+1)与f(x)的图像关于y轴对称,可知f(x+1)=f(-x),令x=1,得f(2)=f(-1),即𝑓32+12=𝑓-32+12,所以𝑓𝑥+12为偶函数.错因分析:在证明𝑓𝑥+12为偶函数时,以特殊值𝑓32+12=𝑓-32+12成立就断定𝑓𝑥+12为偶函数是错误的,函数的奇偶性是对定义域中任意的x定义的.特殊值的检验不能代替一般性的证明.典例透析题型一题型二题型三题型四正解:由函数f(x+1)与f(x)的图像关于y轴对称,可知f(x+1)=f(-x),将x换成x−12代入上式,可得𝑓𝑥-12+1=𝑓-𝑥-12,即𝑓𝑥+12=𝑓-𝑥+12,由偶函数的定义可知𝑓𝑥+12为偶函数.典例透析题型一题型二题型三题型四【变式训练4】已知△ABC的三边长a,b,c的倒数成等差数列,求证:B为锐角.证明:由题意得2𝑏=1𝑎+1𝑐=𝑎+𝑐𝑎𝑐,则b(a+c)=2ac.∵a+cb,∴b(a+c)=2acb2.∴cosB=𝑎2+𝑐2-𝑏22𝑎𝑐≥2𝑎𝑐-𝑏22𝑎𝑐0,又∵0Bπ,∴0Bπ2,即B为锐角.123451.“a,b,c是不全相等的正数”,给出下列判断:①(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2≠0;②ab与ab及a=b中,至少有一个成立;③a≠c,b≠c,a≠b不能同时成立.其中正确的判断有()A.0个B.1个C.2个D.3个解析:因为a,b,c不全相等中含有a≠b≠c这种情况,所以③错误.①②正确,所以正确的判断有2个.答案:C123452已知x≥52,则𝑓(𝑥)=𝑥2-4𝑥+52𝑥-4有()A.最大值54B.最小值54C.最大值1D.最小值1解析:f(x)=12·(𝑥-2)2+1𝑥-2=12𝑥-2+1𝑥-2≥12×2=1,当且仅当(x-2)2=1,即x=3时,等号成立.故选D.答案:D123453.若sinα+sinβ+sinγ=0,cosα+cosβ+cosγ=0,则cos(α-β)=.解析:已知条件中有三个角α,β,γ,而所求结论中只有两个角α,β,所以我们只需将已知条件中的角γ消去即可,依据sin2γ+cos2γ=1消去γ.由已知,得sinγ=-(sinα+sinβ),cosγ=-(cosα+cosβ),所以(sinα+sinβ)2+(cosα+cosβ)2=sin2γ+cos2γ=1,化简并整理得cos(α-β)=−12.答案:−12123454.若平面内有𝑂𝑃1+𝑂𝑃2+𝑂𝑃3=0,且|𝑂𝑃1|=|𝑂𝑃2|=|𝑂𝑃3|,则△P1P2P3一定是三角形.(填“等腰”“等边”或“不等边”)解析:结合图形,由𝑂𝑃1+𝑂𝑃2+𝑂𝑃3=0,可知O是△P1P2P3的重心.由|𝑂𝑃1|=|𝑂𝑃2|=|𝑂𝑃3|可知O是△P1P2P3的三边垂直平分线的交点,所以可知△P1P2P3是等边三角形.答案:等边123455.已知a,b,c为正实数,求证:𝑏+𝑐-𝑎𝑎+𝑐+𝑎-𝑏𝑏+𝑎+𝑏-𝑐𝑐≥3.证明:𝑏+𝑐-𝑎𝑎+𝑐+𝑎-𝑏𝑏+𝑎+𝑏-𝑐𝑐=𝑏𝑎+𝑐𝑎−1+𝑐𝑏+𝑎𝑏−1+𝑎𝑐+𝑏𝑐−1=𝑏𝑎+𝑎𝑏+𝑐𝑎+𝑎𝑐+𝑐𝑏+𝑏𝑐−3.∵a,b,c为正数,∴𝑏�