2019-2020学年高中数学 第三章 推理与证明 1 归纳与类比 1.2 类比推理课件 北师大版选

-1-1.2类比推理目标导航1.理解类比推理的概念,能利用类比推理进行简单的推理,掌握类比推理解决问题的思维过程.2.理解合情推理的含义,体会并认识合情推理在数学发展中的作用.知识梳理1.类比推理定义特征由于两类不同对象具有某些类似的特征,在此基础上,根据一类对象的其他特征,推断另一类对象也具有类似的其他特征,我们把这种推理过程称为类比推理类比推理是两类事物特征之间的推理2.类比推理的一般模式A类事物具有性质a,b,c,d,B类事物具有性质a',b',c'(a,b,c与a',b',c'相似或相同),所以B类事物可能具有性质d'.3.类比推理的步骤(1)找出两类事物之间的相似性或一致性;(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想).知识梳理名师点拨1.类比推理是从人们已经掌握了的事物特征,推测正在被研究中的事物的特征.所以由类比推理得出的结果具有猜测性,不一定可靠.2.类比推理以旧的知识作为基础,推测新的结果,具有发现功能.知识梳理【做一做1】类比平面内正三角形的“三边相等,三内角相等”的性质,可推知正四面体有下列性质:①各棱长相等,同一顶点上的任意两条棱的夹角都相等;②各个面都是全等的正三角形,相邻两个面所成的二面角都相等;③各个面都是全等的正三角形,同一顶点上的任意两条棱的夹角都相等.其中正确的是()A.①B.①②C.①②③D.③答案:C知识梳理4.合情推理归纳推理和类比推理是最常见的合情推理.合情推理是根据实验和实践的结果、个人的经验和直觉、已有的事实和正确的结论(定义、公理、定理等),推测出某些结果的推理方式.5.合情推理的过程合情推理是根据已有的事实,经过观察、分析、比较、联想,再进行归纳、类比,然后提出猜想,要合乎情理地进行推理,充分挖掘已有的事实,寻找规律或类比.其过程为从具体问题出发→观察、分析、比较、联想→归纳、类比→提出猜想.知识梳理【做一做2】判断(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)类比推理是从个别到一般的推理.()(2)“由平面三角形的性质,推测空间四面体的性质”是类比推理.()(3)由合情推理所获得的结论都是正确的.()×√×典例透析题型一题型二题型三题型四数列中的类比【例1】已知一个等差数列{an},其中a10=0,则有a1+a2+…+an=a1+a2+…+a19-n(1≤n19,n∈N+).对于一个等比数列{bn},若b15=1,类比等差数列{an},对于{bn}有何结论?解:∵在等差数列{an}中,a10=0,∴a9+a11=a8+a12=…=a20-n+an=2a10=0.∴a20-n+a21-n+…+an-1+an=0.∴a1+a2+…+an=(a1+a2+…+a19-n)+(a20-n+…+an)=a1+a2+…+a19-n.在等比数列{bn}中,∵b15=1,∴b14b16=b13b17=…=b30-nbn=1.∴b30-nb31-n…bn-1bn=1.∴b1b2…bn=(b1b2…b29-n)·(b30-nb31-n…bn)=b1b2…b29-n(1≤n29,n∈N+).典例透析题型一题型二题型三题型四反思数列中的类比主要体现在等差数列与等比数列之间的类比.常见的有:类比定义、类比性质、类比方法、类比结构等.典例透析题型一题型二题型三题型四【变式训练1】若数列{an}为等差数列,且am=x,an=y(m≠n),则am+n=𝑚𝑥-𝑛𝑦𝑚-𝑛.现已知数列{𝑏𝑛}是各项均大于0的等比数列,且𝑏𝑚=𝑥,𝑏𝑛=𝑦(𝑚≠n),则类比等差数列{an},你能得到关于{bn}的什么结论?解:等差数列中的和与等比数列中的积相对应,等差数列中的差与等比数列中的商相对应,等差数列中的积与等比数列中的乘方相对应,等差数列中的商与等比数列中的开方相对应.因此类比得到的结论是bm+n=xmynm-n.典例透析题型一题型二题型三题型四平面几何与立体几何之间的类比【例2】六个面都是平行四边形的四棱柱称为平行六面体,在▱ABCD中,有AC2+BD2=2(AB2+AD2),可推知在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,𝐴𝐶12+𝐵𝐷12+𝐶𝐴12+𝐷𝐵12等于()A.2(AB2+AD2+𝐴𝐴12)B.3(AB2+AD2+𝐴𝐴12)C.4(AB2+AD2+𝐴𝐴12)D.4(AB2+AD2)答案:C解析:如图,四边形AA1C1C和BB1D1D都是平行四边形,从而有𝐴𝐶12+𝐶𝐴12=2(𝐴𝐶2+𝐴𝐴12),𝐵𝐷12+𝐷𝐵12=2(𝐵𝐷2+𝐵𝐵12),所以𝐴𝐶12+𝐶𝐴12+𝐵𝐷12+𝐷𝐵12=2(𝐴𝐶2+𝐵𝐷2)+4𝐴𝐴12=4(𝐴𝐵2+𝐴𝐷2+𝐴𝐴12).典例透析题型一题型二题型三题型四反思1.由平面几何发展到空间立体几何,往往有许多相似之处,有许多结论可以进行类比得到,只不过是由二维变成三维而已.2.平面图形与空间几何体的类比方法典例透析题型一题型二题型三题型四平面图形空间几何体二维平面三维空间线面线段的长度相应面的面积面积相应几何体的体积两线的夹角两平面的二面角(或其补角)线线垂直面面垂直线线平行面面平行三角形四面体圆球典例透析题型一题型二题型三题型四【变式训练2】若△ABC的边长分别为a,b,c,其对角分别为A,B,C,则有a=b·cosC+c·cosB.类比到四面体P-ABC中,由此可推得相应结论.解析:在如图所示的四面体中,设S1,S2,S3,S分别表示△PAB,△PBC,△PCA,△ABC的面积,α,β,γ依次表示平面PAB,平面PBC,平面PCA与底面ABC所成夹角的大小.猜想S=S1·cosα+S2·cosβ+S3·cosγ.答案:S=S1·cosα+S2·cosβ+S3·cosγ典例透析题型一题型二题型三题型四平面解析几何中的类比【例3】有对称中心的曲线叫作有心曲线,显然,椭圆、双曲线都是有心曲线.过有心圆锥曲线中心的弦叫作有心圆锥曲线的直径.定理:过圆x2+y2=r2(r0)上异于直径两端点的任意一点与这条直径的两个端点连线,则两条连线所在直线的斜率之积为定值-1.(1)写出定理在椭圆𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎𝑏0)中的推广.(2)写出定理在双曲线𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(𝑎0,𝑏0)中的推广.你能从上述结论中得到有心圆锥曲线(包括圆、椭圆、双曲线)的一般性结论吗?若能,请写出你的结论;若不能,请写出理由.典例透析题型一题型二题型三题型四解:(1)在椭圆中的推广:过椭圆𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎𝑏0)上异于直径两端点的任意一点与这条直径的两个端点连线,则两条连线所在直线的斜率之积为定值−𝑏2𝑎2.(2)在双曲线中的推广:过双曲线𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(𝑎0,𝑏0)上异于直径两端点的任意一点与这条直径的两个端点连线,则两条连线所在直线的斜率之积为定值𝑏2𝑎2.一般结论:过有心圆锥曲线Ax2+By2=1(AB0或A0,且B0)上异于直径两端点的任意一点与这条直径的两个端点连线,则两条连线所在直线的斜率之积为定值−𝐴𝐵.典例透析题型一题型二题型三题型四反思平面几何中的类比主要体现在圆与椭圆、双曲线,椭圆与双曲线之间的类比.解决该类问题同样应抓住所给问题的相似特征,同时要注意平面几何图形之间的差异,进行合理类比,实际类比的结果往往都是通过计算得到的.典例透析题型一题型二题型三题型四【变式训练3】如图,椭圆中心在坐标原点,F1为左焦点,A1为椭圆的右顶点,当𝐹1𝐵1⊥𝐵1𝐴1时,其离心率为√5-12,此类椭圆称为“黄金椭圆”.类比“黄金椭圆”,可推算出“黄金双曲线”的离心率𝑒为()A.√5+12B.√5-12C.√5−1D.√5+1答案:A典例透析题型一题型二题型三题型四易错辨析易错点因类比的相似性少或被一些表面现象迷惑致误【例4】请用类比推理的方法完成下表:平面空间三角形的面积等于任意一边的长度与该边上高的乘积的12三棱锥的体积等于任一底面的面积与该底面上高的乘积的13三角形的面积等于其内切圆半径与三角形周长乘积的12典例透析题型一题型二题型三题型四错解一三棱锥的体积等于其内切球半径与三棱锥各棱长之和的乘积的13.错解二三棱锥的体积等于其内切球半径与三棱锥表面积乘积的12.错因分析解错的原因有两个,一是“三角形周长”应类比为“三棱锥表面积”;二是“12”应类比为“13”.正解:三棱锥的体积等于其内切球半径与三棱锥表面积乘积的13.典例透析题型一题型二题型三题型四【变式训练4】如图,在△ABC中,D,E分别是边AB,AC上的点,若AD=a1,AE=b1,AB=a,AC=b,则𝑆△𝐴𝐷𝐸𝑆△𝐴𝐵𝐶=𝑎1𝑏1𝑎𝑏,试在立体几何中写出类似的结论.典例透析题型一题型二题型三题型四解:如图,在三棱锥S-ABC中,D,E,F分别是侧棱SA,SB,SC上的点,若SA=a,SB=b,SC=c,SD=a1,SE=b1,SF=c1,则𝑉𝑆-𝐷𝐸𝐹𝑉𝑆-𝐴𝐵𝐶=𝑎1𝑏1𝑐1𝑎𝑏𝑐.12341.已知扇形的弧长为l,半径为r,类比三角形的面积公式S=底×高2,可推知扇形面积公式𝑆扇等于()A.𝑟22B.𝑙22C.𝑙𝑟2D.不可类比解析:由扇形的弧长与半径分别类比于三角形的底与高,可得扇形的面积公式为弧长×半径2,即S扇=𝑙𝑟2.答案:C12342.设等差数列{an}的前n项和为Sn,则S4,S8-S4,S12-S8,S16-S12成等差数列.类比以上结论有:设等比数列{bn}的前n项之积为Tn,则T4,,,𝑇16𝑇12成等比数列.答案:𝑇8𝑇4𝑇12𝑇812343.下面类比推理所得结论正确的是.(填序号)①由(a+b)2=a2+2ab+b2类比得(a+b)2=a2+2a·b+b2;②由|a|=|b|⇒a=±b(a,b∈R)类比得|a|=|b|⇒a=±b;③由ax+y=ax·ay(a∈R)类比得sin(α+β)=sinα·sinβ;④由(ab)c=a(bc)(a,b,c∈R)类比得(a·b)·c=a·(b·c).解析:逐一进行判断.①正确,向量的数量积运算就是按多项式乘法法则运算的;②不正确,向量既有大小,又有方向,大小相等不能说明方向相同或相反;③由两角和的三角函数公式可知不正确;④向量的数量积不满足结合律.这是因为a·b∈R,b·c∈R,(a·b)·c∥c,a·(b·c)∥a,但a与c不一定共线,所以不一定成立.答案:①12344.设△ABC的三边长分别为a,b,c,△ABC的面积为S,内切圆半径为r,则r=2𝑆𝑎+𝑏+𝑐.类比这个结论可知,四面体𝑆−𝐴𝐵𝐶的四个面的面积分别为𝑆1,𝑆2,𝑆3,𝑆4,内切球半径为𝑟,四面体𝑆−𝐴𝐵𝐶的体积为𝑉,求𝑟.分析:根据平面与空间之间的类比推理,由点类比直线、由直线类比平面、由内切圆类比内切球、由平面图形面积类比立体图形的体积,结合求三角形的面积的方法类比求四面体的体积即可.1234解:设四面体的内切球的球心为O,则球心O到四个面的距离都是内切球半径r,所以四面体的体积等于以O为顶点,分别以四个面为底面的四个小三棱锥的体积之和,则四面体的体积为VA-BC𝐷=13(𝑆1+𝑆2+𝑆3+𝑆4)𝑟,得r=3𝑉𝑆1+𝑆2+𝑆3+𝑆4.