2019-2020学年高中数学 第三章 函数的应用本章整合课件 新人教A版必修1

本章整合专题一专题二专题三专题四专题五专题一一次函数模型的应用一次函数模型比较简单,求解也较为容易,一般我们可以用“问什么,设什么,列什么”这一方法来处理.专题一专题二专题三专题四专题五应用某服装厂现有甲种布料42米,乙种布料30米,现计划用这两种布料生产M,L两种型号的校服共40件.已知做一件M型号的校服需用甲种布料0.8米,乙种布料1.1米,可获利45元;做一件L型号的校服需用甲种布料1.2米,乙种布料0.5米,可获利30元.设生产M型号的校服件数为x,用这批布料生产这两种型号的校服所获的利润为y(单位:元).(1)写出y(单位:元)关于x(单位:件)的函数解析式,并求出自变量x的取值范围;(2)该厂在生产这批校服时,当M型号的校服为多少件时,能使该厂所获的利润最大?最大利润为多少?专题一专题二专题三专题四专题五解:(1)生产M型号的校服为x件时,生产L型号的校服为(40-x)件,因此生产两种型号的校服所获利润y=45x+30(40-x),即y=15x+1200.因为0.8𝑥+1.2(40-𝑥)≤42,1.1𝑥+0.5(40-𝑥)≤30,解得15≤x≤1623,𝑥∈N,所以自变量x的取值为15或16.(2)因为y=15x+1200,y随x的增大而增大,所以当x=16时,y取最大值15×16+1200=1440,即工厂安排生产M型号的校服16件时,工厂能获最大利润1440元.专题一专题二专题三专题四专题五专题二二次函数模型的应用在函数模型中,二次函数模型占有重要的地位.根据实际问题建立函数解析式后,可利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值,从而解决实际问题中的最大、最省等问题.专题一专题二专题三专题四专题五应用某租赁公司出租同一型号的设备40套,当每套月租金为270元时,恰好全部租出.在此基础上,每套月租金每增加10元,就少租出1套设备,而未租出的设备每月需支付各种费用每套20元.设每套设备实际月租金为x元(x≥270),月收益为y元(月收益=设备租金收入-未租出设备费用).(1)求y与x之间的函数解析式;(2)当x为何值时,月收益最大?最大值是多少?提示:(1)利用“月收益=设备租金收入-未租出设备费用”列出函数解析式;(2)转化为求二次函数的最大值.专题一专题二专题三专题四专题五解:(1)每套设备实际月租金为x元(x≥270)时,未租出的设备为𝑥-27010套,则未租出的设备费用为𝑥-27010×20元;租出的设备为40-𝑥-27010套,则月租金总额为40-𝑥-27010𝑥元.所以y=40-𝑥-27010𝑥−𝑥-27010×20=-0.1x2+65x+540,x≥270.(2)由(1)得y=-0.1x2+65x+540=-0.1(x-325)2+11102.5,则当x=325时,y取最大值,为11102.5,但当x=325时,租出的设备套数不是整数,故当x=320或x=330时,月收益最大,最大为11100元.专题一专题二专题三专题四专题五专题三指数函数模型的应用在实际问题中,有关人口增长、银行利率、细胞分裂等问题常可以用指数函数模型来表示;在建立函数模型时,注意用区分、列举、归纳等方法来探求其内在的规律.专题一专题二专题三专题四专题五应用某纯净水制造厂在净化水的过程中,每增加一次过滤可减少水中杂质20%.(1)写出水中杂质含量y与过滤的次数x之间的函数解析式.(2)要使水中杂质减少到原来的5%以下,则至少需要过滤几次?提示:(1)利用归纳猜想的方法得函数解析式;(2)利用(1)的结论转化为解不等式.专题一专题二专题三专题四专题五解:(1)设刚开始水中杂质含量为1,第1次过滤后,y=1-20%;第2次过滤后,y=(1-20%)(1-20%)=(1-20%)2;第3次过滤后,y=(1-20%)2(1-20%)=(1-20%)3;……第x次过滤后,y=(1-20%)x.故y=(1-20%)x=0.8x,x≥1,x∈N.(2)由(1)得0.8x5%,则xlog0.80.05=lg2+11-3lg2≈13.4.即至少需要过滤14次.专题一专题二专题三专题四专题五专题四对数函数模型的应用直接以对数函数为模型的应用问题不是很多.此类问题一般是先给出对数函数模型,再利用对数运算性质求解.专题一专题二专题三专题四专题五应用燕子每年秋天都要从北方飞往南方过冬,研究燕子的科学家发现,两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v=5log2𝑂10,单位是m/s,其中𝑂表示燕子的耗氧量.(1)燕子静止时的耗氧量是多少个单位?(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时,它的飞行速度是多少?提示:(1)转化为当v=0时,求O的值;(2)转化为当O=80时,求v的值.解:(1)由题意知,当燕子静止时,v=0,可得0=5log2𝑂10,解得O=10.所以燕子静止时的耗氧量是10个单位.(2)将耗氧量O=80代入所给公式,得v=5log28010=5log28=15.所以当一只燕子的耗氧量是80个单位时,它的飞行速度为15m/s.专题一专题二专题三专题四专题五专题五分段函数模型的应用分段函数与日常生活联系紧密,已成为高考考查的热点.对于分段函数,一要注意规范书写格式;二要注意各段的定义域的表示方法,对于中间的各个分点,一般是“一边闭,一边开”,以保证在各分点的“不重不漏”.专题一专题二专题三专题四专题五应用夏天,大家都喜欢吃西瓜,而西瓜的价格往往与西瓜的质量相关.某人到一个水果店去买西瓜,价格表上写的是:3千克以下,每千克0.8元;大于等于3千克且小于等于4.5千克时,每千克1元;4.5千克以上,每千克1.2元.此人挑了一个西瓜,称重后店主说5元1角,1角就不要了,给5元吧,可这位聪明的顾客马上说,你不仅没少要,反而多收了我的钱.当顾客讲出理由后,店主只好承认了错误,照实收了钱.你知道顾客是怎样判断店主算错了吗?提示:将所购西瓜的质量与所付款之间的解析式列出来,则问题就会迎刃而解.专题一专题二专题三专题四专题五解:设这位顾客所购西瓜重x千克,应付款y元,当0x3时,0y2.4;当3≤x≤4.5时,3≤y≤4.5;当x4.5时,y5.4.故所付款不可能是5.1元,所以店主算错了.则y与x之间的函数关系为y=0.8𝑥,0𝑥3,𝑥,3≤𝑥≤4.5,1.2𝑥,𝑥4.5.12341(2018·全国Ⅰ高考)已知函数f(x)=e𝑥,𝑥≤0,ln𝑥,𝑥0,𝑔(𝑥)=𝑓(𝑥)+𝑥+𝑎,若𝑔(𝑥)存在2个零点,则𝑎的取值范围是()A.[-1,0)B.[0,+∞)C.[-1,+∞)D.[1,+∞)解析:要使得方程g(x)=f(x)+x+a有两个零点,等价于方程f(x)=-x-a有两个实根,即函数y=f(x)的图象与直线y=-x-a有两个交点,由图象可知,必须使得直线y=-x-a与直线y=-x+1重合或位于直线y=-x+1的下方,所以-a≤1,即a≥-1.故选C.答案:C12342(2017·北京高考)根据有关资料,围棋状态空间复杂度的上限M约为3361,而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与𝑀𝑁最接近的是()(参考数据:lg3≈0.48)A.1033B.1053C.1073D.1093解析:设𝑀𝑁=𝑥=33611080,两边取对数,得lgx=lg33611080=lg3361-lg1080=361×lg3-80≈93.28,所以x≈1093.28,即与𝑀𝑁最接近的是1093.故选D.答案:D12343(2017·全国Ⅲ高考)已知函数f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1)有唯一零点,则a=()A.−12B.13C.12D.1解析:∵f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1),∴f(2-x)=(2-x)2-2(2-x)+a[e2-x-1+e-(2-x)+1]=x2-4x+4-4+2x+a(e1-x+ex-1)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1),∴f(2-x)=f(x),即x=1为f(x)图象的对称轴.∵f(x)有唯一零点,∴f(x)的零点只能为1,即f(1)=12-2×1+a(e1-1+e-1+1)=0,解得a=12.答案:C12344(2018·浙江高考)已知λ∈R,函数f(x)=𝑥-4,𝑥≥𝜆,𝑥2-4𝑥+3,𝑥𝜆.当𝜆=2时,不等式𝑓(𝑥)0的解集是_________________.若函数𝑓(𝑥)恰有2个零点,则𝜆的取值范围是__________________________.解析:当λ=2时,f(x)=𝑥-4,𝑥≥2,𝑥2-4𝑥+3,𝑥2.当x≥2时,f(x)=x-40,解得x4,∴2≤x4.当x2时,f(x)=x2-4x+30,解得1x3,∴1x2.综上可知,1x4,即f(x)≤0的解集为(1,4).1234分别画出y1=x-4和y2=x2-4x+3的图象如图,由函数f(x)恰有2个零点,结合图象可知1λ≤3或λ4.故λ的取值范围为(1,3]∪(4,+∞).答案:(1,4)(1,3]∪(4,+∞)