2019-2020学年高中数学 第三章 函数的概念与性质 3.3 幂函数课件 新人教A版必修1

-1-3.3幂函数首页课标阐释思维脉络1.通过具体实例,了解幂函数的概念,会求幂函数的解析式.2.结合幂函数y=x,y=x2,y=x3,y=x-1,y=x12的图象,理解它们的变化规律.3.能利用幂函数的基本性质解决相关的实际问题.课前篇自主预习一二一、幂函数的定义1.(1)函数y=2x与y=x2有什么不同?提示:在函数y=2x中,常数2为底数,自变量x为指数,故为指数函数;而在函数y=x2中,自变量x为底数,常数2为指数,故为幂函数.(2)函数y=x,y=x2,y=x3,y=x-1及y=𝑥12解析式有什么共同特征?提示:底数是自变量,自变量的系数为1;指数为常数;幂xα的系数为1;解析式等号右边只有1项.2.填空一般地,函数y=xα叫做幂函数,其中x是自变量,α是常数.课前篇自主预习一二3.做一做在函数y=,y=3x2,y=x2+2x,y=1中,幂函数的个数为.解析:函数y==x-4为幂函数;函数y=3x2中x2的系数不是1,所以它不是幂函数;函数y=x2+2x不是y=xα(α∈R)的形式,所以它不是幂函数;函数y=1与y=x0=1(x≠0)不是同一函数,所以y=1不是幂函数.答案:11𝑥41𝑥4课前篇自主预习一二二、幂函数的图象及性质1.在同一平面直角坐标系中,幂函数y=x,y=x2,y=x3,y=𝑥12,y=x-1的图象如下图所示.课前篇自主预习一二(1)它们的图象都过同一定点吗?提示:是的,都过定点(1,1).(2)上述5个函数中,在(0,+∞)内是增函数的有哪几个?是减函数的呢?提示:在(0,+∞)内是增函数的有:y=x,y=x2,y=x3,y=.在(0,+∞)内是减函数的有:y=x-1.(3)上述5个函数中,图象关于原点对称,是奇函数的有哪几个?图象关于y轴对称,是偶函数的呢?提示:图象关于原点对称,是奇函数的有:y=x,y=x3,y=x-1;图象关于y轴对称,是偶函数的有:y=x2.𝑥12课前篇自主预习一二2.填表幂函数的性质幂函数y=xy=x2y=x3y=x12y=x-1定义域RRR[0,+∞)(-∞,0)∪(0,+∞)值域R[0,+∞)R[0,+∞)(-∞,0)∪(0,+∞)奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性在R上是增函数在[0,+∞)上是增函数,在(-∞,0]上是减函数在R上是增函数在[0,+∞)上是增函数在(0,+∞)上是减函数,在(-∞,0)上是减函数公共点(1,1)课前篇自主预习一二3.判断正误:(1)幂函数的图象可以出现在平面直角坐标系中的任意一个象限.()(2)幂函数的图象必过(0,0)和(1,1).()答案:(1)×(2)×课前篇自主预习一二4.做一做A.奇函数且在(0,+∞)上单调递增B.偶函数且在(0,+∞)上单调递减C.非奇非偶函数且在(0,+∞)上单调递增D.非奇非偶函数且在(0,+∞)上单调递减(1)函数y=𝑥32的图象是()(2)已知幂函数f(x)=xa的图象经过点(2,2),则函数f(x)为()课前篇自主预习一二解析:(1)∵函数y=𝑥32的定义域是[0,+∞),∴排除选项A和B.∵321,∴曲线应该是下凸型递增的.(2)幂函数f(x)=xa的图象经过点(2,2),∴2a=2,解得a=12,∴函数f(x)=𝑥12.∴函数f(x)是非奇非偶函数且在(0,+∞)上单调递增.答案:(1)C(2)C课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思想方法幂函数的概念例1函数f(x)=(m2-m-5)xm-1是幂函数,且当x∈(0,+∞)时,f(x)是增函数,试确定m的值.分析:由f(x)=(m2-m-5)xm-1是幂函数,且当x0时是增函数,可先利用幂函数的定义求出m的值,再利用单调性确定m的值.解:根据幂函数的定义,得m2-m-5=1,解得m=3或m=-2.当m=3时,f(x)=x2在(0,+∞)上是增函数;当m=-2时,f(x)=x-3在(0,+∞)上是减函数,不符合要求.故m=3.反思感悟判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y=xα(α为常数)的形式,即:(1)系数为1;(2)指数为常数;(3)后面不加任何项.反之,若一个函数为幂函数,则该函数必具有这种形式.随堂演练课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思想方法变式训练1如果幂函数y=(m2-3m+3)的图象不过原点,求实数m的取值.解:由幂函数的定义得m2-3m+3=1,解得m=1或m=2;当m=1时,m2-m-2=-2,函数为y=x-2,其图象不过原点,满足条件;当m=2时,m2-m-2=0,函数为y=x0,其图象不过原点,满足条件.综上所述,m=1或m=2.𝑥𝑚2-𝑚-2随堂演练课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思想方法幂函数的图象例2已知函数y=xa,y=xb,y=xc的图象如图所示,则a,b,c的大小关系为()A.cbaB.abcC.bcaD.cab分析:利用幂函数在第一象限内的图象特征和性质,结合所给图象分析并判断a,b,c的大小关系.解析:由幂函数的图象特征,知c0,a1,0b1.故cba.答案:A随堂演练课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思想方法反思感悟1.本题也可采用特殊值法,如取x=2,结合图象可知2a2b2c,又函数y=2x在R上是增函数,于是abc.2.对于函数y=xα(α为常数)而言,其图象有以下特点:(1)恒过点(1,1),且不过第四象限.(2)当x∈(0,1)时,指数越大,幂函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”);当x∈(1,+∞)时,指数越大,幂函数的图象越远离x轴(简记为“指大图高”).(3)由幂函数的图象确定幂指数α与0,1的大小关系,即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y=x-1或y=,y=x3)来判断.(4)当α0时,幂函数的图象在区间(0,+∞)上都是增函数;当α0时,幂函数的图象在区间(0,+∞)上都是减函数.𝑥12随堂演练课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思想方法变式训练2如图所示,曲线C1与C2分别是函数y=xm和y=xn在第一象限内的图象,则下列结论正确的是()A.nm0B.mn0C.nm0D.mn0解析:画出直线y=x0的图象,作出直线x=2,与三个函数图象交于点(2,20),(2,2m),(2,2n).由三个点的位置关系可知,nm0.故选A.答案:A随堂演练课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思想方法利用幂函数的单调性比较大小例3比较下列各组中两个数的大小:(1)2512与1312;(2)-23-1与-35-1;(3)1234与3412.分析:(1)利用y=𝑥12的单调性比较大小;(2)利用y=x-1的单调性比较大小;(3)利用中间量1212比较大小.随堂演练课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思想方法解:(1)∵幂函数y=𝑥12在[0,+∞)上是增函数,又2513,∴25121312.(2)∵幂函数y=x-1在(-∞,0)上是减函数,又-23-35,∴-23-1-35-1.(3)∵函数y1=12𝑥在定义域内为减函数,且3412,∴12121234.又函数y2=𝑥12在[0,+∞)上是增函数,且3412,∴34121212.∴34121234.随堂演练课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思想方法反思感悟1.比较幂大小的三种常用方法2.利用幂函数单调性比较大小时要注意的问题比较大小的两个实数必须在同一函数的同一个单调区间内,否则无法比较大小.随堂演练课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思想方法A.bacB.abcC.bcaD.cab∴ab,ac,∴bac.答案:A变式训练3已知a=243,b=425,c=2513,则()解析:∵a=243=1613,b=425=1615,c=2513,随堂演练课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思想方法随堂演练幂函数图象的应用例4已知点在幂函数g(x)的图象上,问当x为何值时,有:(1)f(x)g(x),(2)f(x)=g(x),(3)f(x)g(x).分析:先利用幂函数的定义求出f(x),g(x)的解析式,再利用图象判断.(2,2)在幂函数f(x)的图象上,点-2,14课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思想方法随堂演练解:设f(x)=xa(a∈R).∵点(2,2)在幂函数f(x)的图象上,∴2=(2)a,解得a=2,∴f(x)=x2.设g(x)=xb(b∈R).∵点-2,14在幂函数g(x)的图象上,∴14=(-2)b,解得b=-2,∴g(x)=x-2.在同一直角坐标系中作出f(x)=x2和g(x)=x-2的图象,如图所示:(1)当x1或x-1时,f(x)g(x);(2)当x=1或x=-1时,f(x)=g(x);(3)当-1x1且x≠0时,f(x)g(x).课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思想方法随堂演练变式训练4已知(0.71.3)m(1.30.7)m,求m的取值范围.解:根据幂函数y=x1.3的图象,知当0x1时,0y1,∴00.71.31.又根据幂函数y=x0.7的图象,知当x1时,y1,∴1.30.71.于是有0.71.31.30.7.对于幂函数y=xm,由(0.71.3)m(1.30.7)m,知当x0时,随着x的增大,函数值y也增大,所以m0.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思想方法随堂演练幂函数的“凸”性(1)上凸函数、下凸函数的定义设函数f(x)在[a,b]上有定义,若[a,b]中任意不同两点x1,x2,f𝑥1+𝑥22≥𝑓(𝑥1)+𝑓(𝑥2)2都成立,则称f(x)在[a,b]上是上凸的函数,即上凸函数.设函数f(x)在[a,b]上有定义,若[a,b]中任意不同两点x1,x2,f𝑥1+𝑥22≤𝑓(𝑥1)+𝑓(𝑥2)2都成立,则称f(x)在[a,b]上是下凸的函数,即下凸函数.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思想方法随堂演练这个定义从几何形式上看就是:在函数f(x)的图象上取任意两点,如果函数图象在这两点之间的部分总在连接这两点的线段的上方,那么这个函数就是上凸函数;如果函数图象在这两点之间的部分总在连接这两点的线段的下方,那么这个函数就是下凸函数.根据函数图象判断,一般开口向下的二次函数是上凸函数,开口向上的二次函数是下凸函数.(2)幂函数的凸性①幂函数y=xα,x∈(0,+∞),在α1时,函数是下凸函数;②幂函数y=xα,x∈(0,+∞),在0α1时,函数是上凸函数;③幂函数y=xα,x∈(0,+∞),在α0时,函数是下凸函数.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思想方法随堂演练典例如图,fi(x)(i=1,2,3,4)是定义在[0,1]上的四个函数,其中满足性质:“对[0,1]中任意的x1和x2,任意λ∈[0,1],f[λx1+(1-λ)x2]≤λf(x1)+(1-λ)f(x2)恒成立”的只有()A.f1(x)B.f2(x)C.f3(x)D.f4(x)课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思想方法随堂演练解析:因为λ∈[0,1],故可令λ=12,则不等式变为f𝑥1+𝑥22≤𝑓(𝑥1)+𝑓(𝑥2)2.f𝑥1+𝑥22为自变量x1,x2的中点𝑥1+𝑥22对应的函数值,即中点纵坐标不大于12[f(x1)+f(x2)].再结合函数f(x)图象的凹凸性,可排除B、C、D三个选项,正确答案为A.答案:A课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思想方法随堂演练1.幂函数y=kxα过点(4,2),则k-α的值为()A.-1B.12C.1D.32解析:幂函数y=kxα过点(4,2),所以𝑘=1,4𝛼=2,解得𝑘=1,𝛼=12.所以k-α=12.答案:B课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思想方法随堂演练2.幂函数在第一象限内的图象依次是下图中的曲线()A.C2,C1,C3,C4B.C4,C1,C3,C2C.C3,C2,C1,C4D.C