2019-2020学年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程本章整合课件 新人教A版选修2-1

-1-本章整合知识建构圆锥曲线椭圆定义:|𝑃𝐹1|+|𝑃𝐹2|=2𝑎|𝐹1𝐹2|=2𝑐标准方程焦点在𝑥轴上:𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎𝑏0)焦点在𝑦轴上:𝑦2𝑎2+𝑥2𝑏2=1(𝑎𝑏0)性质顶点:(±𝑎,0),(0,±𝑏)或(0,±𝑎),(±𝑏,0)对称轴:𝑥轴,𝑦轴;长轴长2𝑎,短轴长2𝑏焦点:(-𝑐,0),(𝑐,0)或(0,-𝑐),(0,𝑐)焦距:|𝐹1𝐹2|=2𝑐,𝑐=𝑎2-𝑏2离心率:𝑒=𝑐𝑎(0𝑒1)知识建构圆锥曲线双曲线定义:||𝑃𝐹1|-|𝑃𝐹2||=2𝑎|𝐹1𝐹2|=2𝑐标准方程焦点在𝑥轴上:𝑥2𝑎2-𝑦2𝑏2=1(𝑎,𝑏0)焦点在𝑦轴上:𝑦2𝑎2-𝑥2𝑏2=1(𝑎,𝑏0)性质焦点在𝑥轴上:顶点(±𝑎,0),焦点(±𝑐,0)渐近线方程𝑦=±𝑏𝑎𝑥或𝑥2𝑎2-𝑦2𝑏2=0焦点在𝑦轴上:顶点(0,±𝑎),焦点(0,±𝑐)渐近线方程𝑦=±𝑎𝑏𝑥或𝑦2𝑎2-𝑥2𝑏2=0焦距:|𝐹1𝐹2|=2𝑐,𝑐=𝑎2+𝑏2离心率:𝑒=𝑐𝑎(𝑒1)知识建构圆锥曲线抛物线定义:|𝑃𝐹|=𝑑标准方程焦点在𝑥轴上:𝑦2=±2𝑝𝑥(𝑝0)焦点在𝑦轴上:𝑥2=±2𝑝𝑦(𝑝0)性质焦点:±𝑝2,0或0,±𝑝2准线:𝑥=∓𝑝2或𝑦=∓𝑝2离心率:𝑒=1综合应用专题一专题二专题三专题四专题一直线与圆锥曲线的位置关系1.已知直线l的方程为Ax+By+C=0,圆锥曲线M的方程为f(x,y)=0.如消去y后,得ax2+bx+c=0.(1)若a=0,当圆锥曲线M是双曲线时,直线l与双曲线的渐近线平行;当圆锥曲线M是抛物线时,直线l与抛物线的对称轴平行(或重合).(2)若a≠0,设Δ=b2-4ac.当Δ0时,直线和圆锥曲线M相交于不同的两点;当Δ=0时,直线和圆锥曲线M相切于一点;当Δ0时,直线和圆锥曲线M没有公共点.由𝐴𝑥+𝐵𝑦+𝐶=0,𝑓(𝑥,𝑦)=0消元,专题五综合应用专题一专题二专题三专题四2.直线与圆锥曲线的位置关系,涉及函数、方程、不等式、平面几何等诸多方面的知识,形成了求轨迹、最值、对称、取值范围、线段的长度等多种问题.解决此类问题应注意数形结合,以形辅数的方法,还要多结合圆锥曲线的定义、根与系数的关系以及“点差法”等.这些问题也是以往高考的重点和热点,高考中,大多以解答题的形式出现而且难度较大.专题五综合应用专题一专题二专题三专题四专题五应用已知椭圆C:𝑥24+𝑦2=1,直线𝑙经过点𝐸−1,0,且与椭圆𝐶相交于𝐴,𝐵两点,|𝐸𝐴|=2|𝐸𝐵|.(1)求直线l的方程;(2)求弦AB的长度.解:(1)若直线l的斜率不存在,则其方程为x=-1,显然不满足|EA|=2|EB|.故直线l的斜率一定存在,设为k,则l的方程为y=k(x+1).联立𝑦=𝑘(𝑥+1),𝑥24+𝑦2=1,整理得(4k2+1)x2+8k2x+4k2-4=0.Δ=(8k2)2-4(4k2+1)(4k2-4)=48k2+160.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=−8𝑘24𝑘2+1,𝑥1𝑥2=4𝑘2-44𝑘2+1,综合应用专题一专题二专题三专题四专题五因为|EA|=2|EB|,所以x1+2x2=-3,由𝑥1+𝑥2=-8𝑘24𝑘2+1,𝑥1𝑥2=4𝑘2-44𝑘2+1,𝑥1+2𝑥2=-3,解得k=±156,故直线l的方程为y=±156(𝑥+1),即15𝑥+6𝑦+15=0或15𝑥−6𝑦+15=0.综合应用专题一专题二专题三专题四专题五(2)由(1)得x1+x2=−54,𝑥1𝑥2=−78,所以|AB|=(𝑥1-𝑥2)2+(𝑦1-𝑦2)2=1+𝑘2|𝑥1−𝑥2|=1+𝑘2·(𝑥1+𝑥2)2-4𝑥1𝑥2=1+512×-542-4×-78=3518.综合应用专题一专题二专题三专题四专题二动点的轨迹方程1.求轨迹方程的步骤:建系、设点、列式、化简、确定点的范围.2.求轨迹方程的常用方法:(1)直接法:直接利用条件建立x,y之间的关系式F(x,y)=0,注意求谁设谁.(2)待定系数法:已知所求曲线的类型,求曲线方程,先根据条件设出所求曲线的含参方程,再由条件确定其待定系数.(3)定义法:先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线,再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程.(4)相关点法:动点P(x,y)随另一动点Q(x0,y0)的变化而变化,并且Q(x0,y0)又在某已知曲线上,则可先用含x,y的代数式表示x0,y0,再将x0,y0代入已知曲线得到要求的轨迹方程.专题五综合应用专题一专题二专题三专题四应用△ABC的一边的两个顶点分别为B(-a,0),C(a,0)(a0),另两边的斜率之积等于m(m≠0).求顶点A的轨迹方程,并且根据m的取值情况讨论其轨迹.当m0时,轨迹是中心在原点,焦点在x轴上的双曲线(两顶点除外);当m0,且m≠-1时,轨迹是中心在原点,以坐标轴为对称轴的椭圆(除去与x轴的两个交点),其中当-1m0时,椭圆的焦点在x轴上;当m-1时,椭圆的焦点在y轴上;当m=-1时,轨迹是圆心在原点,半径为a的圆(除去与x轴的两个交点).解:设顶点A的坐标为(x,y),则kAB=𝑦𝑥+𝑎,𝐹AC=𝑦𝑥-𝑎.由题意,得𝑦𝑥+𝑎·𝑦𝑥-𝑎=𝑚,即𝑥2𝑎2−𝑦2𝑚𝑎2=1(𝑦≠0).专题五综合应用专题一专题二专题三专题四专题三与圆锥曲线有关的最值和范围问题与圆锥曲线有关的最值和范围问题的讨论常用以下方法解决:1.结合定义利用图形中几何量之间的大小关系.2.不等式(组)求解法:根据题意结合图形(如点在曲线内等)列出所讨论的参数适合的不等式(组),通过解不等式(组)得出参数的变化范围.3.函数值域求解法:把所讨论的参数作为一个函数、另一个适当的参数作为自变量来表示这个函数,通过讨论函数的值域来求参数的变化范围.4.利用基本不等式:基本不等式的应用,往往需要创造条件,并进行巧妙的构思.5.构造一个一元二次方程,利用判别式Δ≥0来求解.专题五综合应用专题一专题二专题三专题四应用设F1,F2分别是椭圆𝑥24+𝑦2=1的左、右焦点.(1)若P是该椭圆上的一个动点,求𝑃𝐹1·𝑃𝐹2的最大值和最小值;(2)设过定点M(0,2)的直线l与椭圆交于不同的两点A,B,且∠AOB为锐角(其中O为坐标原点),求直线l的斜率的取值范围.提示:本题(1)中求最值时要注意变量x的范围是由椭圆的范围得到的,应注意这种条件的发掘和应用.(2)中∠AOB为锐角可由向量进行转化,但两者不完全相同,如𝑂𝐴,𝑂𝐵同向共线时,也有𝑂𝐴·𝑂𝐵0,在解题时要注意这些特殊情况.专题五综合应用专题一专题二专题三专题四解:(1)由已知得F1(−3,0),𝐹2(3,0),设点P(x,y),则𝑥24+𝑦2=1,且-2≤x≤2.故𝑃𝐹1·𝑃𝐹2=𝑥2−3+𝑦2=𝑥2−3+1−𝑥24=34𝑥2−2,当x=0,即P(0,±1)时,(𝑃𝐹1·𝑃𝐹2)min=−2;当x=±2,即P(±2,0)时,(𝑃𝐹1·𝑃𝐹2)max=1.(2)过点M(0,2)的直线设为y=kx+2,由𝑦=𝑘𝑥+2,𝑥24+𝑦2=1,消去y化简整理,得(1+4k2)x2+16kx+12=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=−16𝑘1+4𝑘2,𝑥1𝑥2=121+4𝑘2,专题五综合应用专题一专题二专题三专题四Δ=(16k)2-48(1+4k2)0,解得k234.又因为∠AOB为锐角,所以𝑂𝐴·𝑂𝐵0.即x1x2+y1y20,即x1x2+(kx1+2)(kx2+2)=(1+k2)x1x2+2k(x1+x2)+40,故(1+k2)·121+4𝑘2+2𝑘·-16𝑘1+4𝑘2+40,解得k24.因此,34𝑘24,即k∈-2,-32∪32,2.专题五综合应用专题一专题二专题三专题四专题四定点、定值问题的求解策略1.定点问题的求解策略(1)探索直线过定点时,可设出直线方程为y=kx+b,然后利用条件建立b,k数量关系进行消元,借助于直线方程找出定点;(2)从特殊情况入手,先探求定点,再证明一般情况.专题五综合应用专题一专题二专题三专题四2.定值问题的求解策略(1)有关斜率的定值问题,包含证明动直线的斜率为定值,不同直线斜率的关系比如:𝑘1+𝑘2,𝑘1·k2,1𝑘1·𝑘2,1𝑘1+1𝑘2等是定值,证明两条直线垂直(即证明两条直线的斜率之积为定值−1)等,方法是设原始量的有关变量,逐步表示出关系式中涉及的斜率,最后进行化简得到一个定值.(2)有关向量的定值问题,包括向量之积为定值,向量之间一些组合关系为定值.方法是先设出原始的变量,逐步表示出向量所涉及的点的坐标,再表示出向量直接利用坐标关系列式子,最后化简,得定值.专题五综合应用专题一专题二专题三专题四专题五应用1已知抛物线y2=2px(p0)的准线与x轴的交点坐标是(-4,0).(1)求抛物线方程;(2)求定点M,使过点M的直线l与抛物线交于B,C两点(异于原点),且以BC为直径的圆恰好经过原点.解:(1)依题意,准线方程为x=-4,所以𝑝2=4,𝑝=8,2𝑝=16,故抛物线方程为y2=16x.综合应用专题一专题二专题三专题四专题五(2)当直线l的斜率存在时,设其方程为y=kx+b,显然k≠0,b≠0.设B(x1,y1),C(x2,y2),因为以BC为直径的圆恰好经过原点,所以𝑂𝐵·𝑂𝐶=0,即x1x2+y1y2=0.将y=kx+b与y2=16x联立,得k2x2+2(bk-8)x+b2=0,则x1+x2=−2(𝑏𝑘-8)𝑘2,𝑥1𝑥2=𝑏2𝑘2.又因为y1y2=(kx1+b)(kx2+b)=16𝑏𝑘,于是𝑏2𝑘2+16𝑏𝑘=0,得b=-16k,此时直线l的方程为y=k(x-16),必过定点(16,0).当直线l的斜率不存在时,直线x=16与抛物线y2=16x相交于B(16,16),C(16,-16)或B(16,-16),C(16,16),仍然满足𝑂𝐵·𝑂𝐶=0.综上,定点M为(16,0).综合应用专题一专题二专题三专题四应用2已知椭圆𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1𝑎𝑏0的左、右焦点分别为𝐹1,𝐹2,短轴两个端点为𝐴,𝐵,且四边形𝐹1𝐴𝐹2𝐵是边长为2的正方形.(1)求椭圆的方程;(2)若C,D分别是椭圆长轴的左、右端点,动点M满足MD⊥CD,连接CM,交椭圆于点P.证明:𝑂𝑀·𝑂𝑃为定值;(3)在(2)的条件下,试问:x轴上是否存在异于点C的定点Q,使得以MP为直径的圆恒过直线DP,MQ的交点,若存在,求出点Q的坐标?若不存在,说明理由.专题五综合应用专题一专题二专题三专题四(1)解:如图,由题意,得2b=2c=22,则b=c=2,𝑎=2.故所求的椭圆方程为𝑥24+𝑦22=1.专题五综合应用专题一专题二专题三专题四(2)证明:由(1)知点C(-2,0),D(2,0).由题意可设CM:y=k(x+2),P(x1,y1).∵MD⊥CD,∴M(2,4k).由𝑥24+𝑦22=1,𝑦=𝑘(𝑥+2)整理,得(1+2k2)x2+8k2x+8k2-4=0.∵-2x1=8𝑘2-41+2𝑘2,∴x1=2-4𝑘21+2𝑘2,𝑦1=𝑘(𝑥1+2)=4𝑘1+2𝑘2,即𝑃2-4𝑘21+2𝑘2,4𝑘1+2𝑘2,∴𝑂𝑀·𝑂𝑃=2·2-4𝑘21+2𝑘2+4𝑘·4𝑘1+2𝑘2=4(1+2𝑘2)1+2𝑘2=4.即𝑂𝑀·𝑂𝑃为定值.专题五综合应