2019-2020学年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.3.1 双曲线及其标准方程课件 新人教A

-1-2.3双曲线-2-2.3.1双曲线及其标准方程目标导航1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程.2.会求双曲线的标准方程.3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单问题.知识梳理1.双曲线的概念(1)双曲线的定义.平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.(2)双曲线的焦点与焦距.双曲线定义中的两个定点F1,F2叫做焦点,两个焦点间的距离叫做焦距.归纳总结在双曲线的定义中,在02a|F1F2|的条件下,当|PF1|-|PF2|=2a时为双曲线的一支(含F2的一支);当|PF2|-|PF1|=2a时为双曲线的另一支(含F1的一支).当2a=|F1F2|时,||PF1|-|PF2||=2a表示两条射线;当2a|F1F2|时,||PF1|-|PF2||=2a不表示任何图形.知识梳理【做一做1】若动点P到点M(1,0),N(-1,0)的距离之差的绝对值为2,则点P的轨迹是()A.双曲线B.双曲线的一支C.两条射线D.一条射线答案:C知识梳理2.双曲线的标准方程(1)焦点在x轴上的双曲线的标准方程是𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(𝑎0,𝑏0),焦点𝐹1(−𝑐,0),𝐹2(𝑐,0).(2)焦点在y轴上的双曲线的标准方程是𝑦2𝑎2−𝑥2𝑏2=1(𝑎0,𝑏0),焦点𝐹1(0,−𝑐),𝐹2(0,𝑐).(3)在双曲线中,a,b,c的关系为c2=a2+b2.知识梳理【做一做2-1】双曲线𝑥23−𝑦22=1的焦点坐标是()A.(±5,0)B.(0,±5)C.(±1,0)D.(0,±1)解析:∵焦点在x轴上,且c2=a2+b2=5,∴c=5,∴焦点坐标为(±5,0).答案:A知识梳理【做一做2-2】若双曲线的焦点坐标为(0,6),且a=4,则其标准方程为.解析:依题意,设双曲线的标准方程为𝑦2𝑎2−𝑥2𝑏2=1(𝑎0,𝑏0),则c=6,a=4,b2=c2-a2=20,故方程为𝑦216−𝑥220=1.答案:𝑦216−𝑥220=1重难聚焦1.求双曲线的标准方程的方法剖析:求双曲线的标准方程一般可采用待定系数法,其解题方法是先定位,再定量.“定位”是指除了中心在原点之外,还要判断焦点在哪条坐标轴上,以便使方程的右边为1时,确定方程的左边哪一项为正,哪一项为负,同时也就确定了焦点的位置.要求双曲线的标准方程,就是要求出a2和b2这两个“待定系数”,于是需要两个独立的条件,并按条件列出关于a2和b2的方程组.解得a2和b2的具体数值后,再按位置特征写出标准方程,因此“定量”是指a,b,c等数值的确定.解题步骤分为:首先判断焦点的位置,其次求出关键数据,最后写出双曲线方程.因此,确定一个双曲线的标准方程需要三个条件:两个定量条件:a,b,一个定位条件:焦点位置.重难聚焦2.椭圆和双曲线的比较剖析:椭圆双曲线定义|PF1|+|PF2|=2a(2a|F1F2|)||PF1|-|PF2||=2a(2a|F1F2|)方程x2a2+y2b2=1(ab0)y2a2+x2b2=1(ab0)x2a2−y2b2=1(a0,b0)y2a2−x2b2=1(a0,b0)焦点F(±c,0)F(0,±c)F(±c,0)F(0,±c)a,b,c的关系c2=a2-b2c2=a2+b2重难聚焦知识拓展方程𝑥2𝑚+𝑦2𝑛=1既可以表示椭圆又可以表示双曲线.当方程表示椭圆时,m,n应满足mn0或nm0.当方程表示双曲线时,m,n应满足mn0;当m0,n0时,方程表示焦点在x轴上的双曲线;当m0,n0时,方程表示焦点在y轴上的双曲线.若已知双曲线的中心在原点,焦点在坐标轴上,但不确定焦点在哪一个坐标轴上,则双曲线的方程可设为𝑥2𝑚+𝑦2𝑛=1(𝑚𝑛0)(或mx2+ny2=1,mn0).典例透析题型一题型二题型三题型四对双曲线定义的理解【例1】若方程𝑥22-𝑚+𝑦2|𝑚|-3=1表示双曲线,则𝑚的取值范围是什么?分析:由双曲线的标准方程可知,若方程𝑥22-𝑚+𝑦2|𝑚|-3=1表示双曲线,则(2-m)(|m|-3)0.解此不等式即可得m的取值范围.典例透析题型一题型二题型三题型四解:若方程𝑥22-𝑚+𝑦2|𝑚|-3=1表示双曲线,则(2-m)(|m|-3)0.故2-𝑚0,|𝑚|-30①或2-𝑚0,|𝑚|-30,②由①,解得-3m2;由②,解得m3.故实数m的取值范围为(-3,2)∪(3,+∞).反思由方程判断曲线类型,主要看其分母,再结合双曲线、椭圆的不同要求,构造关于分母中参数的方程(组)或不等式(组)即可求得.典例透析题型一题型二题型三题型四【变式训练1】下列命题是真命题的是.(将所有真命题的序号都填上)②已知定点F1(-2,0),F2(2,0),则满足||PF1|-|PF2||=4的点P的轨迹为双曲线;③到定点F1(-3,0),F2(3,0)距离之差的绝对值等于7的点P的轨迹为双曲线;④若点P到定点F1(-4,0),F2(4,0)的距离的差的绝对值等于点M(1,2)到点N(-3,-1)的距离,则点P的轨迹为双曲线.①已知定点F1(-1,0),F2(1,0),则满足|PF1|-|PF2|=2的点𝑃的轨迹为双曲线;典例透析题型一题型二题型三题型四解析:①22,故点P的轨迹是双曲线的一支;②因为2a=|F1F2|=4,所以点P的轨迹是分别以F1,F2为端点的两条射线;③到定点F1(-3,0),F2(3,0)距离之差的绝对值等于7,而76,故点P的轨迹不存在;④点M(1,2)到点N(-3,-1)的距离为(-3-1)2+(-1-2)2=58,故点P的轨迹是以F1(-4,0),F2(4,0)为焦点的双曲线.答案:④典例透析题型一题型二题型三题型四求双曲线的标准方程【例2】(1)求与椭圆𝑥225+𝑦25=1有共同焦点,且过点(32,2)的双曲线的标准方程;(2)已知双曲线的焦点在y轴上,并且双曲线上两点P1,P2的坐标分别为(3,-42),94,5,求双曲线的标准方程.分析:第(1)题由椭圆的方程确定焦点坐标,可求得c,设双曲线方程为𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(a0,b0),用待定系数法可求得a2,b2;第(2)题可先设出标准方程,再把点P1,P2的坐标代入方程,联立方程组,求出a2,b2的值.典例透析题型一题型二题型三题型四解:(1)椭圆𝑥225+𝑦25=1的焦点为(25,0),(-25,0).设双曲线的方程为𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(a0,b0),则a2+b2=20.①又∵双曲线过点(32,2),∴18𝑎2−2𝑏2=1.②∴由①②可得a2=20-210,b2=210,∴所求双曲线的标准方程为𝑥220-210−𝑦2210=1.典例透析题型一题型二题型三题型四(2)∵双曲线的焦点在y轴上,∴设双曲线的标准方程为𝑦2𝑎2−𝑥2𝑏2=1(a0,b0).③∵点P1,P2在双曲线上,∴点P1,P2的坐标适合方程③,将P1(3,-42),P294,5分别代入方程③中,得方程组(-42)2𝑎2-32𝑏2=1,52𝑎2-942𝑏2=1,将1𝑎2和1𝑏2看作整体,解得1𝑎2=116,1𝑏2=19,即a2=16,b2=9,故双曲线的标准方程为𝑦216−𝑥29=1.典例透析题型一题型二题型三题型四反思求解双曲线的方程主要是依据题目给出的条件确定a2,b2的值,要注意焦点在哪个坐标轴上;求解过程中也可以用换元思想.典例透析题型一题型二题型三题型四【变式训练2】根据下列条件,求双曲线的标准方程:(1)过点𝑃3,154,𝑄-163,5,焦点在坐标轴上.(2)与双曲线𝑥216−𝑦24=1有相同的焦点,经过点(32,2).典例透析题型一题型二题型三题型四解:(1)设双曲线方程为𝑥2𝑚+𝑦2𝑛=1(𝑚𝑛0).∵P,Q两点在双曲线上,∴9𝑚+22516𝑛=1,2569𝑚+25𝑛=1,解得𝑚=-16,𝑛=9.∴所求双曲线方程为𝑦29−𝑥216=1.(2)设所求双曲线方程为𝑥216-𝜆−𝑦24+𝜆=1(−4𝜆16).∵双曲线过点(32,2),∴1816-𝜆−44+𝜆=1.∴λ=4或λ=-14(舍去).∴所求双曲线方程是𝑥212−𝑦28=1.典例透析题型一题型二题型三题型四双曲线定义的应用【例3】已知双曲线𝑥29−𝑦216=1的左、右焦点分别是𝐹1,𝐹2,若双曲线上一点𝑃使得∠F1PF2=90°,求△F1PF2的面积.分析:如图所示,𝑆△𝐹1𝑃𝐹2=12|𝑃𝐹1|·|PF2|.结合双曲线的定义可求出|PF1|·|PF2|的值,面积即可求得.解:在双曲线的方程中,a=3,b=4,则c=5.设|PF1|=m,|PF2|=n(m0,n0).由双曲线的定义可知,|m-n|=2a=6,两边平方,得m2+n2-2mn=36.又∵∠F1PF2=90°,∴由勾股定理,得m2+n2=|F1F2|2=(2c)2=100.∴mn=32,∴𝑆△𝐹1𝑃𝐹2=12𝑚𝑛=16.典例透析题型一题型二题型三题型四反思此类问题一般结合双曲线的定义和正弦定理、余弦定理来解决,要注意整体思想的应用.典例透析题型一题型二题型三题型四【变式训练3】如图,从双曲线𝑥23−𝑦25=1的左焦点𝐹引圆𝑥2+𝑦2=3的切线𝐹𝑃交双曲线右支于点𝑃,𝑇为切点,𝑀为线段𝐹𝑃的中点,𝑂为坐标原点,则|𝑀𝑂|−|𝑀𝑇|=()A.3B.5C.5−3D.5+3典例透析题型一题型二题型三题型四解析:设双曲线右焦点为E,连接PE.∵M为FP的中点,∴|OM|=12|𝑃𝐸|.又∵|MT|=|MF|-|FT|,且|FT|=8-3=5,∴|MO|-|MT|=12|𝑃𝐸|−|𝑀𝐹|+5=12|𝑃𝐸|−12|𝑃𝐹|+5=5+12(|𝑃𝐸|−|𝑃𝐹|)=5−3.答案:C典例透析题型一题型二题型三题型四易错辨析易错点忽视焦点的位置致错【例4】双曲线2x2-y2=k的焦距为6,求k的值.错解:∵方程可化为𝑥2𝑘2−𝑦2𝑘=1,∴c2=𝑘2+𝑘=32𝑘,∴2×6𝑘2=6,∴𝑘=6.错因分析:误认为k0,而忘记讨论k的符号.典例透析题型一题型二题型三题型四正解:∵当k0时,方程化为𝑥2𝑘2−𝑦2𝑘=1,∴c2=𝑘2+𝑘=32𝑘.∴2×6𝑘2=6.∴𝑘=6.又∵当k0时,方程化为𝑦2-𝑘−𝑥2-𝑘2=1,∴c2=−32𝑘,∴2×-6𝑘2=6,解得k=-6.综上所述,k=-6或6.典例透析