2019-2020学年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2.1 椭圆及其标准方程课件 新人教A版

-1-2.2椭圆-2-2.2.1椭圆及其标准方程目标导航1.了解椭圆的实际背景,体验从具体情境中抽象出椭圆的过程,了解椭圆标准方程的推导与化简过程.2.掌握椭圆的定义、标准方程及其几何图形.知识梳理1.椭圆的有关概念(1)椭圆的定义把平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.(2)椭圆的焦点与焦距椭圆定义中两个定点F1,F2叫做椭圆的焦点,两个焦点间的距离叫做椭圆的焦距.归纳总结平面内一动点P到两个定点F1,F2的距离之和与这两个定点F1,F2之间的距离的关系有三种情况:(1)当|PF1|+|PF2||F1F2|时,动点P的轨迹为椭圆;(2)当|PF1|+|PF2|=|F1F2|时,动点P的轨迹为线段F1F2;(3)当|PF1|+|PF2||F1F2|时,动点P的轨迹不存在.知识梳理【做一做1】到两个定点F1(-7,0)和F2(7,0)的距离之和为14的点P的轨迹是()A.椭圆B.线段C.圆D.以上都不对解析:∵点P到两定点的距离之和为14等于|F1F2|,∴轨迹是一条线段.答案:B知识梳理2.椭圆的标准方程(1)焦点在x轴上的椭圆的标准方程为𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎𝑏0).(2)焦点在y轴上的椭圆的标准方程为𝑦2𝑎2+𝑥2𝑏2=1(𝑎𝑏0).(3)a,b,c之间的关系是a2=b2+c2.归纳总结1.求椭圆的标准方程常用待定系数法,一般是先确定焦点所在的坐标轴,再求a2,b2的值.2.在椭圆的标准方程中,都有ab0,ac0.3.椭圆焦点的位置可根据其标准方程中x2,y2项的分母的大小进行判断,即若x2项的分母大,则焦点在x轴上;若y2项的分母大,则焦点在y轴上.可简单记为:“谁大在谁上”.知识梳理【做一做2-1】已知椭圆𝑥2𝑎2+𝑦22=1的一个焦点为(2,0),则椭圆的标准方程是()A.𝑥24+𝑦22=1B.𝑥23+𝑦22=1C.x2+𝑦22=1D.𝑥26+𝑦22=1解析:∵焦点(2,0)在x轴上,c=2,∴a2=c2+b2=4+2=6,答案:D∴标准方程为𝑥26+𝑦22=1.知识梳理【做一做2-2】椭圆4x2+9y2=1的焦点坐标是()A.(±5,0)B.(0,±5)C.±56,0D.±536,0解析:∵椭圆的标准方程为𝑥214+𝑦219=1,∴a2=14,𝑏2=19,∴c2=a2-b2=14−19=536,且焦点在x轴上,∴焦点坐标为±56,0.答案:C重难聚焦1.利用待定系数法确定椭圆的标准方程剖析:求椭圆的标准方程常用待定系数法.首先,要恰当地选择方程的形式,如果不能确定焦点的位置,可用两种方法来解决问题.(1)如果明确了椭圆的中心在原点,焦点在坐标轴上,那么所求的椭圆一定是标准形式,就可以利用待定系数法.首先建立方程,然后依据题设条件,计算出方程中的a,b的值,从而确定方程.有时方程有两个,即:如果焦点在x轴上,那么设所求的椭圆方程为𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎𝑏0);如果焦点在y轴上,那么设所求的椭圆方程为𝑦2𝑎2+𝑥2𝑏2=1(𝑎𝑏0).(2)如果中心在原点,但焦点的位置不能明确是在x轴上还是在y轴上,那么方程可以设为mx2+ny2=1(m0,n0,m≠n),用待定系数法求解.重难聚焦2.求与椭圆有关的轨迹方程的常用方法剖析:(1)定义法用定义法求轨迹方程的思路是:观察、分析已知条件,看所求动点的轨迹是否符合椭圆的定义,若符合椭圆的定义,则用待定系数法求解即可.(2)相关点法有些问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的,只要把所求动点的坐标“转移”到另一个动点在运动中所遵循的条件中去,即可解决问题,这种方法称为相关点法.重难聚焦用相关点法求轨迹方程的步骤:①先设所求轨迹上的动点P(x,y),再设具有某种运动规律f(x,y)=0上的动点Q(x',y');③将x',y'代入f(x,y)=0,即得所求的轨迹方程.②找出P,Q之间坐标的关系,并表示为𝑥'=𝜑1(𝑥,𝑦),𝑦'=𝜑2(𝑥,𝑦);典例透析题型一题型二题型三题型四用待定系数法求椭圆的标准方程【例1】已知椭圆经过点(3,−2)和(−23,1),求椭圆的标准方程.分析:因为不确定焦点所在的坐标轴,故可设椭圆方程为mx2+ny2=1(m0,n0,m≠n),用待定系数法求解;也可设𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1和𝑦2𝑎2+𝑥2𝑏2=1(𝑎𝑏0),分别求解.解法一:设椭圆的方程为mx2+ny2=1(m0,n0,m≠n).由点(3,−2)和(-23,1)都在椭圆上,得𝑚·(3)2+𝑛·(-2)2=1,𝑚·(-23)2+𝑛·12=1,解得m=115,𝑛=15,故所求椭圆的标准方程为𝑥215+𝑦25=1.典例透析题型一题型二题型三题型四解法二:当椭圆的焦点在x轴上时,设椭圆的方程为𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎𝑏0).∵点(3,−2)和点(-23,1)都在椭圆上.∴(3)2𝑎2+(-2)2𝑏2=1,(-23)2𝑎2+12𝑏2=1.∴𝑎2=15,𝑏2=5,满足ab0,∴所求椭圆的标准方程为𝑥215+𝑦25=1.当椭圆的焦点在y轴上时,设椭圆的方程为𝑦2𝑎2+𝑥2𝑏2=1(𝑎𝑏0).典例透析题型一题型二题型三题型四∵点(3,−2)和点(-23,1)都在椭圆上,∴(-2)2𝑎2+(3)2𝑏2=1,12𝑎2+(-23)2𝑏2=1,∴𝑎2=5,𝑏2=15.而ab0,∴a2=5,b2=15不合题意.故焦点在y轴上的椭圆不存在.综上所述,所求椭圆的标准方程为𝑥215+𝑦25=1.典例透析题型一题型二题型三题型四反思当不明确焦点在哪个坐标轴上时,通常应进行分类讨论,但计算较烦琐,此时,可先设椭圆的方程为mx2+ny2=1(m0,n0,m≠n),不必考虑焦点的位置,再用待定系数法结合题目给出的条件求出m,n的值即可.经上述例题我们可以看出这类问题设椭圆的方程mx2+ny2=1(m0,n0,m≠n),用待定系数法求解更为有效.典例透析题型一题型二题型三题型四【变式训练1】根据下列条件,求椭圆的标准方程:(1)两个焦点的坐标分别为(-4,0)和(4,0),且椭圆经过点(5,0);(2)坐标轴为对称轴,并且经过两点A(0,2)和𝐵12,3.解:(1)∵椭圆的焦点在x轴上,∴可设椭圆的标准方程为𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎𝑏0).∵2a=(5+4)2+(5-4)2=10,∴𝑎=5.又c=4,∴b2=a2-c2=9.故所求椭圆方程为𝑥225+𝑦29=1.典例透析题型一题型二题型三题型四(2)设所求椭圆方程为mx2+ny2=1(m0,n0,且m≠n).∵椭圆经过两点A(0,2),𝐵12,3,∴0×𝑚+4𝑛=1,14𝑚+3𝑛=1,解得𝑚=1,𝑛=14.∴所求椭圆方程为x2+𝑦24=1.典例透析题型一题型二题型三题型四利用椭圆的定义求轨迹方程【例2】已知B,C是两定点,|BC|=8,且△ABC的周长等于18,求这个三角形顶点A的轨迹方程.分析:本题可先建立直角坐标系,再利用椭圆的定义得出点A的轨迹是椭圆,利用待定系数法求出方程即可.典例透析题型一题型二题型三题型四解:以过B,C两点的直线为x轴,线段BC的中点为原点,建立平面直角坐标系.由|BC|=8,可知点B(-4,0),C(4,0).由|AB|+|BC|+|AC|=18,得|AB|+|AC|=10|BC|=8.因此,点A的轨迹是以B,C为焦点的椭圆,这个椭圆上的点与两个焦点的距离之和为2a=10,即a=5,且点A不能在x轴上.由a=5,c=4,得b2=9.故点A的轨迹方程为𝑥225+𝑦29=1(𝑦≠0).反思利用椭圆的定义求轨迹方程,先由条件找出动点所满足的条件,看其是否符合椭圆的定义,若符合,再利用待定系数法求椭圆的方程.典例透析题型一题型二题型三题型四【变式训练2】设动圆M和定圆C1:x2+(y-3)2=64内切,而和定圆C2:x2+(y+3)2=4外切,求动圆圆心M的轨迹方程.解:设动圆M的半径为r,圆心M(x,y),两定圆圆心C1(0,3),C2(0,-3),半径r1=8,r2=2,则|MC1|=8-r,|MC2|=r+2.即|MC1|+|MC2|=(8-r)+(r+2)=10.∵|C1C2|=6,∴动圆圆心的轨迹是椭圆,且焦点为C1(0,3),C2(0,-3),且2a=10.∴a=5,c=3,∴b2=a2-c2=25-9=16.∴动圆圆心M的轨迹方程是𝑦225+𝑥216=1.典例透析题型一题型二题型三题型四椭圆定义的应用【例3】点P是椭圆𝑥25+𝑦24=1上的一点,𝐹1和𝐹2是焦点,且∠F1PF2=30°,求△F1PF2的面积.分析:可以先利用a,b,c的关系求出|F1F2|,再利用余弦定理求出|PF1|·|PF2|,最后可求出𝑆△𝐹1𝑃𝐹2.典例透析题型一题型二题型三题型四解:在椭圆𝑥25+𝑦24=1中,a=5,𝑏=2,则c=𝑎2-𝑏2=1.∵点P在椭圆上,∴|PF1|+|PF2|=2a=25.①由余弦定理知|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos30°=|F1F2|2=(2c)2=4.②①式两边平方,得|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|·|PF2|=20.③③-②,得(2+3)|𝑃𝐹1|·|PF2|=16,即|PF1|·|PF2|=162+3,故𝑆△𝐹1𝑃𝐹2=12|𝑃𝐹1|·|PF2|·sin30°=8-43.典例透析题型一题型二题型三题型四反思在椭圆中,由椭圆上的点及两个焦点所组成的三角形(可称为焦点三角形)引出的问题很多,在处理这些问题时,经常是利用定义结合正弦定理、余弦定理及勾股定理等来解决,还经常用到配方法、解方程及把|PF1|·|PF2|看成一个整体等来处理此类问题.典例透析题型一题型二题型三题型四【变式训练3】已知P为椭圆𝑥216+𝑦29=1上的点,𝐹1,𝐹2是椭圆的两个焦点,∠F1PF2=60°,求△F1PF2的面积S.解:∵在椭圆𝑥216+𝑦29=1中,a=4,b=3,∴c=7.∵点P在椭圆上,∴|PF1|+|PF2|=8.①在△PF1F2中,由余弦定理得|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|·cos60°=|F1F2|2=28,②由①②得|PF1|·|PF2|=12.故S=12|𝑃𝐹1|·|PF2|·sin60°=33.典例透析题型一题型二题型三题型四易错辨析易错点忽略椭圆标准方程中a≠b的条件致错【例4】若方程𝑥25-𝑘+𝑦2𝑘-3=1表示椭圆,求𝑘的取值范围.错解由5-𝑘0,𝑘-30,得3k5.错因分析错解中虽然注意到了椭圆的标准方程中a20,b20这个条件,但忽略了当a=b时,方程并不是椭圆.正解由题意可知5-𝑘0,𝑘-30,5-𝑘≠𝑘-3,解得3k5,且k≠4.故k的取值范围是(3,4)∪(4,5).典例透析