2019-2020学年高中数学 第二章 一元二次函数、方程和不等式 习题课 基本不等式的应用课件 新

-1-习题课基本不等式的应用首页课标阐释思维脉络1.能够利用基本不等式求函数的最值和代数式的最值.2.能够利用基本不等式解决实际问题中的最值问题.课前篇自主预习利用基本不等式求函数、代数式,及实际问题中的最值提示:一正二定三相等,即:①a,b均为正数;②a+b和ab中有一个为定值;③不等式中的等号必须能取到.(3)若a+b为常数S,那么ab的值如何变化?1.(1)基本不等式𝑎𝑏≤𝑎+𝑏2应用的条件是什么?(2)已知𝑎+𝑏2≥𝑎𝑏,其中a0,b0,若ab为常数P,那么a+b的值如何变化?提示:当且仅当a=b时,a+b有最小值为2𝑃.提示:当且仅当a=b时,ab有最大值14S2.课前篇自主预习2.填空公式的等价变形:ab≤𝑎2+𝑏22,ab≤𝑎+𝑏22.3.做一做(1)函数f(x)=x+(x0)的最大值为;(2)若正数a,b满足2a+3b=8,则ab的最大值是.9𝑥解析:(1)由于x0,所以f(x)=x+9𝑥=-(-𝑥)+-9𝑥≤-2(-𝑥)·-9𝑥=-6,当且仅当-x=-9𝑥,即x=-3时,函数取最大值-6.(2)由于a,b0,所以ab=16·2a·3b≤16·2𝑎+3𝑏22=83,当且仅当2a=3b,即a=2,b=43时,ab取最大值83.答案:(1)-6(2)83课堂篇探究学习探究一探究二思维辨析随堂演练探究一利用基本不等式求函数和代数式的最值1.通过变形后应用基本不等式求最值例1求下列函数的最值,并求出相应的x值.(1)y=x+12𝑥(x0);(2)y=1𝑥-3+x(x3);(3)y=x(1-3x)0x13.课堂篇探究学习探究一探究二思维辨析随堂演练反思感悟利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件.解题时应对照已知条件和欲求的式子,运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设使用基本不等式的条件,具体可以归纳为:一不正,用其相反数,改变不等号方向;二不定,应凑出定和或定积;三不等,一般需用其他方法,如尝试利用函数的单调性(在第三章学习).解:(1)y=x+12𝑥=-(-x)+12(-𝑥)≤-2(-𝑥)·12(-𝑥)=-2,当且仅当x=12𝑥(x0),即x=-22时,y取最大值-2.(2)y=1𝑥-3+x=1𝑥-3+(x-3)+3≥21𝑥-3·(𝑥-3)+3=5,当且仅当1𝑥-3=x-3(x3),即x=4时,y取最小值5.(3)y=x(1-3x)=13×3x(1-3x)≤13×3𝑥+(1-3𝑥)22=112,当且仅当3x=1-3x,即x=16时,y取最大值112.课堂篇探究学习探究一探究二思维辨析随堂演练答案:D变式训练1(一题多解)已知x≥52,则𝑥2-4𝑥+52𝑥-4有()A.最大值54B.最小值54C.最大值1D.最小值1解析:一∵x≥52,∴x-20,则𝑥2-4𝑥+52𝑥-4=12(x-2)+1(𝑥-2)≥1,等号在x-2=1𝑥-2即x=3时取得.解析:二令2x-4=t,∵x≥52,∴t≥1.∴x=𝑡2+2.将其代入,原函数可化为y=(𝑡2+2)2-4(𝑡2+2)+5𝑡=𝑡24+1𝑡=𝑡4+1𝑡≥2𝑡4·1𝑡=1,当且仅当𝑡4=1𝑡,即t=2时等号成立,此时x=3.课堂篇探究学习探究一探究二思维辨析随堂演练2.应用“1”的代换转化为基本不等式求最值例2已知正数a,b满足a+b=1,则1𝑎+1𝑏的最小值为.分析:由“乘1不变的特性”,得1𝑎+1𝑏=(a+b)1𝑎+1𝑏,展开后再利用基本不等式求最小值.解析:∵正数a,b满足a+b=1,∴1𝑎+1𝑏=(a+b)1𝑎+1𝑏=2+𝑏𝑎+𝑎𝑏≥2+2𝑎𝑏×𝑏𝑎=4,当且仅当a=b=12时取等号.∴1𝑎+1𝑏的最小值为4.答案:4反思感悟在利用基本不等式求最值时,常用的技巧就是“1”的代换,其目的是借助“1”将所求式子的结构进行调整,优化到能够利用基本不等式为止.课堂篇探究学习探究一探究二思维辨析随堂演练延伸探究将本例反过来,已知正数a,b,且1𝑎+1𝑏=4,则a+b的最小值为.解析:∵a+b=(a+b)14𝑎+14𝑏=12+𝑎4𝑏+𝑏4𝑎≥12+2𝑎4𝑏·𝑏4𝑎=12+12=1,当且仅当𝑎4𝑏=𝑏4𝑎,即a=b=12时等号成立,所以(a+b)min=1.答案:1课堂篇探究学习探究一探究二思维辨析随堂演练3.含有多个变量的条件最值问题例3已知正数a,b满足1𝑎+1𝑏=3,求ab的取值范围.分析:先将1𝑎+1𝑏=3变形为a+b=3ab,再运用基本不等式,将ab进行转化,根据需要求得ab的取值范围.解:由1𝑎+1𝑏=3,得a+b=3ab.因为a+b≥2𝑎𝑏,所以3ab≥2𝑎𝑏,即9(ab)2≥4ab.因为a0,b0,所以ab≥49,当且仅当a=b=23时,取等号.故ab的取值范围是49,+∞.反思感悟含有多个变量的条件最值问题,一般方法是采取减少变量的个数,将问题转化为只含有一个变量的函数的最值问题进行解决;如果条件等式中,含有两个变量的和与积的形式,还可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化,然后通过解不等式进行求解,或者通过构造一元二次方程,利用根的分布解决问题.课堂篇探究学习探究一探究二思维辨析随堂演练延伸探究本例中,若将条件改为“正数a,b满足2a+b+6=ab”,再求ab的最小值.解:由2a+b+6=ab,可得2a+b=ab-6.因为2a+b≥22𝑎𝑏,所以ab-6≥22𝑎𝑏,即ab-6≥22·𝑎𝑏,因此ab-22·𝑎𝑏-6≥0,解得𝑎𝑏≥32或𝑎𝑏≤-2(舍去),即ab≥18,当且仅当a=3,b=6时,等号成立.故ab的最小值为18.课堂篇探究学习探究一探究二思维辨析随堂演练探究二利用基本不等式解决实际应用中的最值问题例4如图,动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间,一面可利用原有的墙,其他各面用钢筋网围成.现有36m长的钢筋网材料,每间虎笼的长、宽分别设计为多少时,可使每间虎笼面积最大?分析:设每间虎笼长xm,宽ym,则问题转化为在4x+6y=36的前提下求xy的最大值.课堂篇探究学习探究一探究二思维辨析随堂演练解:设每间虎笼长xm,宽ym,则由条件知,4x+6y=36,即2x+3y=18.设每间虎笼的面积为S,则S=xy.(方法一)由于2x+3y≥22𝑥·3𝑦=26𝑥𝑦,所以26𝑥𝑦≤18,得xy≤272,即Smax=272,当且仅当2x=3y时,等号成立.由2𝑥+3𝑦=18,2𝑥=3𝑦,解得𝑥=4.5,𝑦=3.故每间虎笼的长为4.5m,宽为3m时,可使每间虎笼的面积最大.(方法二)由2x+3y=18,得x=9-32y.因为x0,所以0y6,S=xy=y9-32𝑦=32y(6-y).因为0y6,所以6-y0,S≤32(6-𝑦)+𝑦22=272.当且仅当6-y=y,即y=3时,等号成立,此时x=4.5.故每间虎笼的长为4.5m,宽为3m时,可使每间虎笼的面积最大.课堂篇探究学习探究一探究二思维辨析随堂演练反思感悟应用基本不等式解决实际问题的思路与方法1.理解题意,设出变量,一般把要求最值的量定为因变量.2.建立相应的函数关系,把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题.3.在定义域内,求出函数的最大值或最小值.4.根据实际背景写出答案.课堂篇探究学习探究一探究二思维辨析随堂演练变式训练2某公司一年购买某种货物400吨,每次都购买x吨,运费为4万元/次,一次的总存储费用为4x万元,要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x=吨.答案:20解析:该公司一年购买某种货物400吨,每次都购买x吨,则需要购买400𝑥次,运费为4万元/次,一年的总存储费用为4x万元,故一年的总运费与总存储费用之和为400𝑥·4+4x万元.由题意知x0,所以400𝑥·4+4x≥2400𝑥·4·4𝑥=160,当且仅当1600𝑥=4x,即x=20吨时,一年的总运费与总存储费用之和最小.课堂篇探究学习探究一探究二思维辨析随堂演练基本不等式的变形技巧技巧一:裂项思路点拨先尽可能地让分子的变量项和分母相同(常用于分子所含变量因子的次数比分母所含变量因子的次数大或相等),然后裂项转化为求和的最值,进而凑定积(即使得含变量的因子x+1的次数和为零,同时取到等号).典例1设x-1,求(𝑥+5)(𝑥+2)𝑥+1的最小值.解:由x-1,知x+10,所以y=[(𝑥+1)+4][(𝑥+1)+1]𝑥+1=x+1+4𝑥+1+5≥2(𝑥+1)·4𝑥+1+5=9,当且仅当x+1=4𝑥+1,即x=1时,等号成立,此时ymin=9.课堂篇探究学习探究一探究二思维辨析随堂演练技巧二:添项思路点拨当求和的最小值时,尽可能凑定积,本题需添6,再减6.典例2求函数y=3x2+162+𝑥2的最小值.解:易知2+x20,所以y=3(2+x2)+162+𝑥2-6≥23(2+𝑥2)·162+𝑥2-6=83-6,当且仅当3(2+x2)=162+𝑥2,即x=±433-2时,等号成立,此时ymin=83-6.课堂篇探究学习探究一探究二思维辨析随堂演练技巧三:放入根号内或两边平方思路点拨求积的最值(因式中含根号),把变量都放在同一条件下的根号里或者将两边平方去根号,整合结构形式,凑成定和,是解决本题的关键所在.典例3求函数y=x1-𝑥2(0x1)的最大值.解:由0x1,可得y=x1-𝑥2=𝑥2(1-𝑥2)≤𝑥2+1-𝑥22=12,当且仅当x2=1-x2,即x=22时,等号成立,此时ymax=12.课堂篇探究学习解析:∵0x2,∴y=2x(2-x)≤2𝑥+2-𝑥22=2,当且仅当x=2-x,即x=1时取等号,函数的最大值是2.探究一探究二思维辨析随堂演练1.函数y=2x(2-x)(其中0x2)的最大值是()A.14B.12C.1D.2答案:D2.设x0,y0,x+y=4,则1𝑥+4𝑦的最小值为.解析:∵x+y=4,∴1𝑥+4𝑦=141𝑥+4𝑦(x+y)=145+𝑦𝑥+4𝑥𝑦,又x0,y0,则𝑦𝑥+4𝑥𝑦≥2𝑦𝑥·4𝑥𝑦=4当且仅当𝑦𝑥=4𝑥𝑦时取等号,则1𝑥+4𝑦≥14×(5+4)=94.答案:94课堂篇探究学习探究一探究二思维辨析随堂演练3.已知x0,y0,且x+4y=1,则xy的最大值为.解析:xy=14x·4y≤14𝑥+4𝑦22=116,当且仅当x=4y=12时取等号.答案:116答案:3+234.若x∈(1,+∞),则y=3x+1𝑥-1的最小值是.解析:∵x1,∴y=3x+1𝑥-1=3(x-1)+1𝑥-1+3≥23(𝑥-1)·1𝑥-1+3=23+3当且仅当x=1+33时取等号.课堂篇探究学习探究一探究二思维辨析随堂演练5.某企业需要建造一个容积为8立方米,深度为2米的无盖长方体水池,已知池壁的造价为每平方米100元,池底造价为每平方米300元.设水池底面一边长为x米,水池总造价为y元,求y关于x的函数关系式,并求出水池的最低造价.课堂篇探究学习探究一探究二思维辨析随堂演练解:由于长方体蓄水池的容积为8立方米,深为2米,因此其底面积为4平方米,设底面一边长为x米,则另一边长为4𝑥米,又因为池壁的造价为每平方米100元,而池壁的面积为22x+2·4𝑥平方米,因此池壁的总造价为100·22x+2·4𝑥元,而池底的造价为每平方米300元,池底的面积为4平方米,因此池底的总造价为1200元,故蓄水池的总造价为y=100·22x+2·4𝑥+1200=400x+4𝑥+1200(x0).由函数y=400x+4𝑥+1200≥400×2𝑥·4𝑥+1200=1600+1200=2800,当且仅当x=4𝑥,即x=2时,函数y有最小值ymin=2800(元),此时总造价最低.课堂篇探究