2019-2020学年高中数学 第二章 等式与不等式 2.2.3 一元二次不等式的解法课件 新人教B

-1-2.2.3一元二次不等式的解法首页课标阐释思维脉络1.理解一元二次不等式的定义.2.能够利用因式分解法和配方法解一元二次不等式.3.了解简单的分式不等式,并会求其解集.课前篇自主预习一二三知识点一、一元二次不等式的概念1.填空一般地,形如ax2+bx+c0的不等式称为一元二次不等式,其中a,b,c是常数,而且a≠0.一元二次不等式中的不等号也可以是“”“≥”“≤”等.课前篇自主预习一二三2.下列不等式中,哪些是一元二次不等式(其中a,b,c,m为常数)?(1)ax20;(2)x3+5x-6≥0;(3)-x-x2≤0;(4)x20;(5)mx2-5y0;(6)ax2+bx+c≤0;(7)x-1𝑥0.课前篇自主预习一二三提示:题号是否是一元二次不等式理由(1)不是a=0时,不符合一元二次不等式的定义(2)不是x的最高次数为3(3)是符合一元二次不等式的定义(4)是符合一元二次不等式的定义(5)不是m=0时,为一元一次不等式.m≠0时,含有x,y两个未知数(6)不是a=0时,x的最高次数不是2(7)不是不是整式不等式课前篇自主预习一二三知识点二、因式分解法解一元二次不等式1.填空一般地,如果x1x2,则不等式(x-x1)(x-x2)0的解集是(x1,x2);不等式(x-x1)(x-x2)0的解集是(-∞,x1)∪(x2,+∞).2.做一做不等式-6x2-x+2≤0的解集是()解析:∵-6x2-x+2≤0,∴6x2+x-2≥0,即(2x-1)(3x+2)≥0,答案:BA.𝑥-23≤𝑥≤12B.𝑥𝑥≥12或𝑥≤-23C.𝑥𝑥≥23或𝑥≤-12D.𝑥-12≤𝑥≤23解得x≤-23或x≥12,故选B.课前篇自主预习一二三知识点三、配方法解一元二次不等式1.填空一元二次不等式ax2+bx+c0(a≠0)通过配方总是可以变为(x-h)2k或(x-h)2k的形式,然后根据k的正负等知识,就可以得到原不等式的解集.2.做一做解不等式:7+6x-x2≥0.解:由7+6x-x2≥0,得x2-6x-7≤0,即x2-6x≤7,配方,得x2-6x+9≤16,即(x-3)2≤16,两边开平方,得|x-3|≤4,从而可知-4≤x-3≤4,即-1≤x≤7.所以原不等式的解集为[-1,7].课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测一元二次不等式的概念例1①x2+x+10,②-x2-4x+5≤0,③x+y2+10,④mx2-5x+10,⑤-x3+5x≥0,⑥(a2+1)x2+bx+c0(m,a∈R).其中关于x的不等式是一元二次不等式的是.(请把正确的序号都填上)解析:①②是;③不是;④不一定是,因为当m=0时,它是一元一次不等式;⑤不是,因为未知数的最高次数是3;⑥是,尽管x2的系数含有字母,但a2+1≠0,所以⑥与④不同,故答案为①②⑥.答案:①②⑥课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测反思感悟1.形如ax2+bx+c0或ax2+bx+c0(a≠0)的不等式,叫做一元二次不等式.2.“只含一个未知数”,并不是说在代数式中不能含有其他的字母类的量,只要明确指出这些字母所代表的量,哪一个是变量,是“未知数”,哪一些是“参数”就可以.3.“次数最高是2”,仅限于“未知数”,若还含有其他参数,则次数不受此条件限制.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测一元二次不等式的解法例2解下列不等式:(1)-2x2-x+6≥0;(2)x2+x+10;(3)(3x-1)(x+1)4.分析:(1)(3)利用因式分解法求解;(2)用配方法解不等式即可.解:(1)由题意,不等式-2x2-x+6≥0,可化为2x2+x-6=2(x+2)x-32≤0,所以不等式的解集为𝑥-2≤𝑥≤32;(2)由题意,可得x2+x+1=x+122+340,所以不等式的解集为R;(3)由不等式(3x-1)(x+1)4,可化为3x2+2x-50,即(x-1)x+530,所以不等式的解集为𝑥𝑥-53或𝑥1.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测反思感悟一元二次不等式的解题策略1.因式分解法:不等式的左端能够进行因式分解的可用此法,它只能适应于解决一类特殊的不等式;2.配方法:一元二次不等式ax2+bx+c0(a≠0)通过配方总可以化为(x-h)2k或(x-h)2k的形式,然后根据k值的正负即可求得不等式的解集.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测变式训练1解下列不等式:(1)x2-4x-5≤0;(2)-4x2+18x-814≥0.解:(1)原不等式可化为(x-5)(x+1)≤0,所以原不等式的解集为{x|-1≤x≤5}.(2)原不等式可化为2x-922≤0,所以原不等式的解集为𝑥𝑥=94.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测分式不等式的解法例3(1)已知集合A=𝑥𝑥-2𝑥≤0,B={0,1,2,3},则A∩B=()A.{1,2}B.{0,1,2}C.{1}D.{1,2,3}(2)若关于x的不等式ax-b0的解集为(1,+∞),则关于x的不等式𝑎𝑥+𝑏𝑥-30的解集为.解析:(1)由已知得A={x|0x≤2},又B={0,1,2,3},∴A∩B={1,2}.(2)由ax-b0的解集为(1,+∞)可得𝑏𝑎=1,且a0,∴𝑎𝑥+𝑏𝑥-30可化为𝑥+𝑏𝑎𝑥-30.解得x-1或x3.答案:(1)A(2)(-∞,-1)∪(3,+∞)课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测反思感悟分式不等式同解变形1同解变形2f(x)g(x)0f(x)g(x)0⇔f(x)0,g(x)0或f(x)0,g(x)0f(x)g(x)0⇔f(x)g(x)0f(x)g(x)0f(x)g(x)0⇔f(x)0,g(x)0或f(x)0,g(x)0f(x)g(x)0⇔f(x)g(x)0f(x)g(x)≥0f(x)≥0,g(x)0或f(x)≤0,g(x)0f(x)g(x)≥0⇔f(x)g(x)≥0,g(x)≠0f(x)g(x)≤0f(x)≥0,g(x)0或f(x)≤0,g(x)0f(x)g(x)≤0⇔f(x)g(x)≤0,g(x)≠0课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测延伸探究1.将本例3(1)中“A=𝑥𝑥-2𝑥≤0”改为“A=𝑥𝑥-2𝑥0”,其他条件不变,答案又如何?答案:C课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测2.本例3(2)中的条件不变,将“𝑎𝑥+𝑏𝑥-30”改为“𝑎𝑥+𝑏𝑥-31”,又将如何求解呢?解:𝑎𝑥+𝑏𝑥-31可化为𝑎𝑥+𝑏𝑥-3−𝑥-3𝑥-30,即(𝑎-1)𝑥+(𝑏+3)𝑥-30,由𝑏𝑎=1,得b=a,即(𝑎-1)𝑥+𝑎+3𝑥-30,因此,当a=1时,x3;当0a1时,3x𝑎+31-𝑎;当a1时,x𝑎+31-𝑎或x3.综上可知,不等式的解集为①当a=1时,解集为{x|x3};②当0a1时,解集为𝑥3𝑥𝑎+31-𝑎;③当a1时,解集为𝑥𝑥𝑎+31-𝑎或𝑥3课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测用分类讨论思想解含参不等式分析:转化原不等式为(x-a)(x-a2)0;讨论a2与a的大小,解不等式(x-a)(x-a2)0即可.解:原式可化为(x-a)(x-a2)0,则所对应的方程的两个根为x=a,x=a2,当aa2时,即a0或a1时,axa2;当a=a2时,即a=0或a=1时,x∈⌀;当aa2时,即0a1时,a2xa.方法点睛本题考查了含有参数的一元二次不等式的解法,运用分类讨论思想求解时,要注意分类的标准要恰当,同时应做到不重不漏的原则.典例解关于x的不等式:𝑥-𝑎𝑥-𝑎20(a∈R).课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测变式训练解不等式:x2+(2-a)x-2a≥0.解:由x2+(2-a)x-2a≥0得,(x+2)(x-a)≥0,①当a=-2时,不等式的解集是R;②当a-2时,不等式的解集是(-∞,-2]∪[a,+∞);③当a-2时,不等式的解集是(-∞,a]∪[-2,+∞).课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测1.不等式x2+5x-60的解集是()A.{x|x-2或x3}B.{x|-2x3}C.{x|x-6或x1}D.{x|-6x1}解析:∵x2+5x-60,∴(x-1)(x+6)0.∴x1或x-6,故选C.答案:C2.已知集合A={x|x(x-2)0},B={x|-1x1},则A∩B=()A.{x|-1x2}B.{x|x-1或x2}C.{x|0x1}D.{x|x0或x1}解析:由题意可得A={x|0x2},B={x|-1x1},所以A∩B={x|0x1}.故选C.答案:C课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测3.不等式4-x2≥0的解集是()A.(-∞,-2]∪[2,+∞)B.[-2,2]C.[2,+∞)D.(-∞,2]解析:根据题意,4-x2≥0⇔x2≤4⇔|x|≤2⇔-2≤x≤2,即不等式4-x2≥0的解集是[-2,2],故选B.答案:BA.[-2,1]B.(-2,1]C.(-∞,-2)∪(1,+∞)D.(-∞,-2]∪(1,+∞)解得-2x≤1,所以不等式的解集是(-2,1],故选B.答案:B4.不等式1-𝑥2+𝑥≥0的解集为()解析:由1-𝑥2+𝑥≥0,得(1-𝑥)(2+𝑥)≥0,2+𝑥≠0,即(𝑥-1)(2+𝑥)≤0,2+𝑥≠0,课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测5.解下列不等式.(1)x2-4x+3≤0;解:(1)x2-4x+3≤0,即(x-3)(x-1)≤0,解得1≤x≤3.所以不等式的解集为{x|1≤x≤3}.(2)𝑥+22𝑥-3≥0.(2)𝑥+22𝑥-3≥0等价于(𝑥+2)(2𝑥-3)≥0,2𝑥-3≠0,解得x≤-2或x32,故不等式的解集为𝑥𝑥≤-2或𝑥32.课堂篇探究学习