2019-2020学年高中数学 第二讲 直线与圆的位置关系 2.4 弦切角的性质课件 新人教A版选修

-1-四弦切角的性质XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页学习目标思维脉络1.理解弦切角的概念.2.掌握弦切角定理,并能运用定理解决问题.弦切角的性质概念弦切角定理—应用XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页121.弦切角的概念定义:顶点在圆上,一边和圆相交,另一边和圆相切的角叫做弦切角.如图所示,∠ACD和∠BCD都是弦切角.XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页12XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页12做一做1如图所示,直线PM,PN分别与圆O相切于点A,B,直线PO与圆相交于点C,则图中的弦切角一共有()A.2个B.4个C.6个D.8个解析由弦切角的定义可知,∠MAC,∠PAC,∠PBC,∠NBC都是弦切角,一共有4个.答案BXINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页122.弦切角定理定理:弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角.XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页12XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页12做一做2如图,正三角形ABC内接于圆O,CP是圆O的切线,则∠ACP=()A.90°B.30°C.60°D.75°解析因为△ABC是正三角形,所以∠B=60°.又因为CP是圆O的切线,所以∠ACP=∠B=60°.答案CXINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页12思考辨析判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.(1)圆的一条切线和一条弦所成的角就是弦切角.()(2)弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角度数的一半.()(3)弦切角的度数等于它所夹的弧的度数.()(4)弦切角可能是锐角、钝角或直角.()答案(1)×(2)√(3)×(4)√XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页探究一探究二探究三思维辨析探究一利用弦切角定理解决计算问题【例1】如图所示,AB为☉O的直径,CD切☉O于点D,AB的延长线交CD于点C.若∠CAD=25°,则∠C的度数为()A.45°B.40°C.35°D.30°XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页探究一探究二探究三思维辨析解析(方法1)如图,连接BD,∵AB为直径,∴∠BDA=90°.又CD为☉O的切线,切点为D,由弦切角定理可知∠BDC=∠CAD=25°,∴∠CDA=90°+25°=115°.在△ACD中,∠C=180°-∠A-∠CDA=180°-25°-115°=40°.XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页探究一探究二探究三思维辨析(方法2)如图,连接OD,则∠ODA=∠CAD=25°.因为CD是☉O的切线,所以∠ODC=90°,所以∠CDA=90°+25°=115°.在△ACD中,∠C=180°-∠A-∠CDA=180°-25°-115°=40°.答案BXINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页探究一探究二探究三思维辨析XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页探究一探究二探究三思维辨析变式训练1如图所示,过圆O外一点P分别作圆O的切线和割线交圆于A,B,且PB=7,C是圆上一点,且BC=5,∠BAC=∠APB,则AB=.解析∵PA是圆O的切线,∴∠BAP=∠BCA.又∠BAC=∠APB,∴△BAP∽△BCA,∴𝐴𝐵𝐶𝐵=𝑃𝐵𝐴𝐵,∴AB2=PB·CB=7×5=35,故AB=√35.答案√35XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页探究一探究二探究三思维辨析探究二利用弦切角定理解决证明问题【例2】如图,已知MN是☉O的切线,点A为切点,弦CD平行于MN,弦AB交CD于点E,求证:AC2=AE·AB.分析要证AC2=AE·AB,只需证明△ACE∽△ABC即可,从而只需证明∠ACD=∠ABC,而由弦切角定理可知∠MAC=∠ABC,结合MN平行于弦CD可证.XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页探究一探究二探究三思维辨析证明如图,连接BC.𝑀𝑁∥𝐶𝐷⇒∠𝑀𝐴𝐶=∠𝐴𝐶𝐷𝑀𝑁切☉𝑂于点𝐴⇒∠𝑀𝐴𝐶=∠𝐵⇒∠𝐴𝐶𝐷=∠𝐵∠𝐶𝐴𝐸=∠𝐶𝐴𝐵⇒△ACE∽△ABC⇒𝐴𝐶𝐴𝐵=𝐴𝐸𝐴𝐶⇒AC2=AB·AE.XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页探究一探究二探究三思维辨析XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页探究一探究二探究三思维辨析变式训练2如图所示,AB为☉O的直径,C为☉O上一点,AD和过C点的切线互相垂直,垂足为D.求证:AC平分∠DAB.证明如图所示,连接CB,∵CD为☉O的切线,∴由弦切角定理知∠ACD=∠B.①又AB为直径,C为☉O上一点,∴∠ACB=90°,∴∠B+∠CAB=90°.②∵AD⊥CD,∴∠DAC+∠ACD=90°.③由①②③知∠DAC=∠CAB,故AC平分∠DAB.XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页探究一探究二探究三思维辨析探究三弦切角定理的综合应用【例3】如图所示,CF是☉O的直径,CB是☉O的弦,CB的延长线与过点F的☉O的切线交于点P.图①图②(1)如图①,若∠P=45°,PF=10,求☉O的半径长;(2)如图②,若E是BC上的一点,且满足PE2=PB·PC,连接FE并延长交☉O于点A,求证:点A是的中点.𝐵𝐶XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页探究一探究二探究三思维辨析分析对于(1),可由切线的性质定理知△PCF是等腰直角三角形,因此求出CF的长,进而求出半径;对于(2),利用弦切角定理,可以求出两个三角形中有一组角对应相等,然后利用相似三角形的判定及性质,可证出AC与AB所对的圆周角相等,从而证出点A是的中点.(1)解∵PF是切线,CF是直径,∴△PCF是直角三角形.∵∠P=45°,∴PF=CF.设圆O的半径为r,则2r=PF=10,∴r=5,故☉O的半径为5.𝐵𝐶(2)证明如图所示,连接FB.∵FP是☉O的切线,∴∠PFB=∠FCB.又∠P=∠P,XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页探究一探究二探究三思维辨析∴△PBF∽△PFC,∴𝑃𝐵𝑃𝐹=𝑃𝐹𝑃𝐶,∴PF2=PB·PC.∵PE2=PB·PC,∴PF2=PE2,∴PF=PE,∴∠EFP=∠FEP.∵∠EFB=∠EFP-∠BFP,∠CFE=∠FEP-∠FCB,∴∠EFB=∠CFE.故点A为𝐵𝐶的中点.XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页探究一探究二探究三思维辨析XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页探究一探究二探究三思维辨析变式训练3如图,已知圆上的𝐴𝐶与𝐵𝐷相等,过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点,证明:(1)∠ACE=∠BCD;(2)BC2=BE·CD.证明(1)因为𝐴𝐶与𝐵𝐷相等,所以∠BCD=∠ABC.又因为EC与圆相切于点C,故∠ACE=∠ABC,故∠ACE=∠BCD.(2)由弦切角定理知∠ECB=∠CDB.由(1)知∠EBC=∠BCD,所以△BDC∽△ECB,因此𝐵𝐶𝐵𝐸=𝐶𝐷𝐵𝐶,故BC2=BE·CD.XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页探究一探究二探究三思维辨析错用弦切角定理致误典例如图所示,以△ABD的边AB为直径,作半圆O交AD于C,过点C的切线CE和BD互相垂直,垂足为E,延长EC到F,求证:AB=BD.错解如图所示,连接BC,OC.XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页探究一探究二探究三思维辨析∵CE是切线,∴∠DCE=∠CBE,OC⊥CE.又BD⊥CE,∴OC∥BD,∴∠CBE=∠BCO,∴∠DCE=∠BCO.∵OC=OB,∴∠ABC=∠BCO,∴∠ABC=∠DCE.又AB为直径,∴AC⊥BC,∴∠BAC=90°-∠ABC.∵BD⊥CE,∴∠CDE=90°-∠DCE,∴∠CDE=∠BAC,∴AB=BD.XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页探究一探究二探究三思维辨析正解如图所示,连接BC.∵CE是圆的切线,∴∠FCA=∠CBA.∵∠FCA=∠DCE,∴∠DCE=∠CBA.∵AB为直径,∴AD⊥BC,∴∠BAC=90°-∠CBA.又BD⊥CE,∴∠D=90°-∠DCE,∴∠D=∠BAC,∴AB=BD.XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页探究一探究二探究三思维辨析XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页探究一探究二探究三思维辨析变式训练如图所示,△ABC内接于☉O,AD⊥AC于点A,∠C=32°,∠B=110°,则∠BAD=.解析∵∠C+∠B+∠BAC=180°,∴∠BAC=180°-∠C-∠B=38°.又AD⊥AC,∴∠BAC+∠BAD=90°.∴∠BAD=90°-∠BAC=90°-38°=52°.答案52°XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页123451.如图所示,经过☉O上的点A的切线和弦BC的延长线相交于点P,若∠CAP=40°,∠ACP=100°,则∠BAC所对的弧的度数为()A.100°B.40°C.120°D.30°解析由弦切角的性质知∠ABC=∠CAP=40°.又∠ACP=100°,所以∠BAC=100°-40°=60°,因此∠BAC所对的弧的度数为60°×2=120°.答案CXINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页123452.如图,AD是圆O的切线,过圆上一点C作AD的垂线,垂足为B,CB与圆O相交于E,且AE平分∠CAB,若AE=4,则BE=()A.2B.2√3C.1D.√3解析依题意有,∠BAE=∠ACE.又AE平分∠CAB,所以∠BAE=∠EAC,从而∠BAC=2∠ACB,故∠ACB=∠BAE=30°,故BE=AE·sin∠BAE=4×12=2.答案AXINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页123453.如图所示,AB是半圆O的直径,C,D是半圆上的两点,半圆O的切线PC交AB的延长线于点P,∠PCB=25°,则∠ADC=()A.105°B.115°C.120°D.125°解析如图所示,连接BD,∵PC与☉O相切,∴∠BDC=∠BCP=25°.又AB是直