2019-2020学年高中数学 第3章 基本初等函数 3.4 函数的应用(Ⅱ)课件 新人教B版必修1

3.4函数的应用(Ⅱ)1.能够运用指数函数、对数函数、幂函数的性质来解决某些简单的实际问题.2.了解和体会函数模型在社会生活及科研中的广泛应用.3.培养学生应用数学的意识以及分析问题、解决问题的能力.1231.指数型函数增长的函数模型指数函数y=ax(a1)经复合可得到的指数型函数,指数型函数变化较快.例如,生活中经常接触的储蓄问题,也就是增长率问题,就是指数型函数.指数型函数增长的快慢随底数的不同而不同.知识拓展复利是一种计算利息的方法,即把前一期的利息和本金加在一起算做本金,再计算下一期的利息.我国现行定期储蓄中的自动转存业务类似复利计息的储蓄.在实际问题中,常常遇到有关平均增长率的问题,如果基础量为a,平均增长率为r,那么对于时间x的总量y=a(1+r)x,解决平均增长率的问题,可用此公式建立函数式.123【做一做1】在我国西北部,某地区荒漠化土地面积每年平均比上年增长10.4%,专家预测经过x年可能增长到原来的y倍,则函数y=f(x)的图象大致为()解析:依题意,知y=(1+10.4%)x,因此是指数函数.答案:D1232.对数型函数增长的函数模型对数函数y=logax(a1)经复合可得到对数型函数,对数型函数增长的特点是先快后慢.【做一做2】以下是三个函数y1,y2,y3随x变化的函数值列表:其中,关于x有可能成对数型函数变化的函数是.解析:根据表中数据,可判断y3增长得比较平缓,符合对数型函数的增长情况.答案:y3x12345678…y1248163264128256…y21491625364964…y3011.585022.32192.58502.80743…1233.幂函数型增长的函数模型幂函数y=xn(n0)经过复合可以得到幂函数型函数,其增长变化率也较快.随着x的增大,y=xn(n0)与y=ax(a1)的增长速度比较,y=ax(a1)增长得快.123【做一做3】今有一组实验数据如下:现准备用下列函数中的一个表示这些数据满足的规律,其中最接近的一个是()A.v=log2tD.v=2t-2答案:Ct1.993.04.05.16.12v1.54.047.51218.01B.v=log12𝑡C.v=𝑡2-12一、幂函数、指数函数、对数函数三种函数模型的增长情况比较剖析:一般地,对于指数函数y=ax(a1)和幂函数y=xn(n0),通过探索可以发现,在区间(0,+∞)上,无论n比a大多少,尽管在x的一定变化范围内,ax会小于xn,但由于ax的增长快于xn的增长,因此总存在一个x0,当xx0时,就会有axxn.同样地,对于对数函数y=logax(a1)和幂函数y=xn(n0),在区间(0,+∞)上,随着x的增长,logax增长得越来越慢,尽管在x的一定变化范围内,logax可能会大于xn,但是由于logax的增长慢于xn的增长,因此总存在一个x0,当xx0时,就会有logaxxn.综上所述,在区间(0,+∞)上,尽管函数y=ax(a1),y=logax(a1)和y=xn(n0)都是增函数,但它们的增长速度不同,而且不在同一个“档次”上,随着x的增大,y=ax(a1)的增长速度越来越快,会超过并远远大于y=xn(n0)的增长速度,而y=logax(a1)的增长速度则会越来越慢,因此,总会存在一个x0,当xx0时,就会有logaxxnax.函数y=ax(0a1),y=logax(0a1),y=xn(n0)都是减函数,它们在区间(0,+∞)上的递减速度都是先快后慢,y=ax(0a1),y=xn(n0)逐渐趋向于x轴的正半轴,而对数函数继续较快递减,但比一次函数递减的速度慢得多.函数h(x)=12𝑥,q(x)=x-1,g(x)=log12𝑥,s(x)=-x+2的图象如图所示.二、常见的数学模型剖析:利用具体函数解决综合问题是我们需要关注的.具体函数的运用在生活中有很多体现,在学习完函数这部分内容以后,重点运用一次函数、二次函数、分段函数、指数函数、对数函数和幂函数来解决问题.下面是几种常见的数学模型:(1)平均增长率问题:若原来产值的基础数为N,平均增长率为p,则对于时间x的产值或产量y=N(1+p)x.(2)储蓄中的复利问题:若本金为a元,每期利率为r,本利和为y,存期为x,则y=a(1+r)x.(3)根据几何、物理概念建立的函数关系,如位移、速度、时间的函数关系,灌溉渠的横截面面积A和水深h的函数关系.(4)通过观察、实验建立的函数关系,如自由落体的距离公式等.知识拓展数据拟合模型是指根据试题所给出的一组相关数据,根据数据所呈现的特点选择比较适当的函数来近似地模拟所给数据之间的对应关系.这种模拟是粗略的,只能起到估算作用.一般来说,需要根据所给的数据描出其在坐标系中的散点图,从图象上观察并选择适当的函数,最后还需要检验.三、应用数学模型解决实际问题的步骤剖析:(1)阅读理解,认真审题.读懂题中的文字叙述,理解叙述所反映的实际背景,领悟从背景中概括出来的数学问题,尤其是理解叙述中的名词、概念,以及题中单位之间的关系.分析出已知是什么,求什么,涉及哪些知识,确定变量之间的关系.(2)引进数学符号,建立数学模型.设自变量为x,函数为y,用含x的表达式表示各相关变量,根据问题的已知条件,运用已掌握的数学知识、物理知识以及其他相关知识,结合各变量之间的关系,建立函数关系式,即建立数学模型.(3)用数学方法将所得到的函数问题予以解答,求得结果.(4)转化成实际问题,进行检验,作出规范解答.简言之,可概括为“四步八字”,即审题—建模—求解—还原.题型一题型二题型三题型一指数函数模型的应用【例1】某公司预投资100万元,有两种投资方案可供选择:方案一:年利率10%,按单利计算,5年后收回本金和利息;方案二:年利率9%,按每年复利一次计算,5年后收回本金和利息.哪一种投资更有利?这种投资比另一种投资5年可多得利息多少元?(结果精确到0.01万元)分析:这是一个单利和复利所获得收益多少的比较问题.可先按单利和复利计算5年后的本息和分别是多少,再通过比较作答.解:本金100万元,年利率10%,按单利计算,5年后的本息和是100×(1+10%×5)=150(万元).本金100万元,年利率9%,按每年复利一次计算,5年后的本息和是100×(1+9%)5≈153.86(万元).由此可见,方案二更有利,5年后多得利息3.86万元.题型一题型二题型三反思指数型函数模型的应用非常广泛,有关产值增长、人口增长、银行利息、细胞分裂等许多问题都可以建立指数函数模型.建立函数解析式时要注意观察、归纳、列举变量之间的关系.题型一题型二题型三【变式训练1】一片森林原来的面积为a,计划每年砍伐一些树,且每年砍伐面积的百分比相等,当砍伐到森林面积的一半时,所用时间是10年.为保护生态环境,森林面积至少要保留原面积的14,已知到今年为止,森林剩余面积为原来的22.(1)求每年砍伐面积的百分比.(2)到今年为止,该森林已被砍伐了多少年?(3)今后最多还能砍伐多少年?题型一题型二题型三解:(1)设每年砍伐面积的百分比为x(0x1),则a(1-x)10=12𝑎,即(1-x)10=12,解得x=1−12110.(2)设经过m年森林剩余面积为原来的22,则a(1-x)m=22𝑎,即12𝑚10=1212,𝑚10=12,解得m=5.故到今年为止,该森林已被砍伐了5年.题型一题型二题型三(3)设从今年开始,以后最多能砍伐n年,则n年后剩余面积为22𝑎(1-x)n.令22𝑎(1-x)n≥14𝑎,即(1-x)n≥24,即12𝑛10≥1232,𝑛10≤32,解得n≤15.故今后最多还能砍伐15年.题型一题型二题型三题型二对数函数模型的应用【例2】我们知道,燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬,研究燕子的科学家发现,两岁燕子的飞行速度可以表示为函数其中Q表示燕子的耗氧量.(1)计算燕子静止时的耗氧量是多少个单位?(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时,它的飞行速度是多少?分析:(1)在题中所给函数式中令v=0即可;v=5log2𝑄10(单位:m/s),题型一题型二题型三解:(1)当燕子静止时,它的速度v=0,代入函数关系式可得0=5log2𝑄10,解得Q=10,即燕子静止时的耗氧量是10个单位.(2)将耗氧量Q=80代入函数关系式得v=5log28010=5log28=15(m/s),即当一只燕子的耗氧量是80个单位时,它的飞行速度为15m/s.反思解决本题的关键是要分清所给模型中的参数和变量.对于实际应用问题,搞清字母的含义是至关重要的.题型一题型二题型三【变式训练2】大西洋鲑鱼每年都要逆流而上2000m,游回产地产卵.研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速可以表示为函数y=12log3𝑥100(单位:m/s),其中x表示鲑鱼的耗氧量的单位数.(1)当一条鲑鱼的耗氧量是8100个单位时,它的游速是多少?(2)若鲑鱼A的游速大于鲑鱼B的游速,问这两条鲑鱼谁的耗氧量较大?并说明理由.解:(1)将x=8100代入函数关系式,得y=12log381=12×4=2,故一条鲑鱼的耗氧量是8100个单位时,它的游速是2m/s.(2)由yAyB,得12log3𝑥A10012log3𝑥B100,即log3xAlog3xB,即xAxB,故鲑鱼A的耗氧量较大.题型一题型二题型三题型三建立拟合函数模型【例3】某工厂今年1,2,3月生产产品分别为1万件,1.2万件,1.3万件,为了估计以后每个月的产量,以这三个月的产量为依据,用一个函数模拟该产品的月产量y(单位:万件)与月份数x的关系,模拟函数可以选用二次函数或者函数y=abx+c,如果已知4月份的产量为1.37万件,问用以上哪一个函数模拟比较好?理由是什么?分析:本题已给定两种供选择的函数模型,处理的关键就是根据已知数据求出模拟函数的具体表达式,然后分别用这两个所求的函数表达式来预测4月份的产量,看哪一个函数表达式的预测值与实际值比较接近.题型一题型二题型三解:设f(x)=px2+qx+r(p≠0).由f(1)=1,f(2)=1.2,f(3)=1.3,得𝑝+𝑞+𝑟=1,4𝑝+2𝑞+𝑟=1.2,9𝑝+3𝑞+𝑟=1.3,解得p=-0.05,q=0.35,r=0.7.∴f(x)=-0.05x2+0.35x+0.7.∴f(4)=1.3.设g(x)=abx+c.由g(1)=1,g(2)=1.2,g(3)=1.3,得𝑎𝑏+𝑐=1,𝑎𝑏2+𝑐=1.2,𝑎𝑏3+𝑐=1.3,题型一题型二题型三解得a=-0.8,b=0.5,c=1.4.∴g(x)=-0.8×0.5x+1.4.∴g(4)=1.35.∵|1.3-1.37|=0.070.02=|1.35-1.37|,∴用y=-0.8×0.5x+1.4作模拟函数较好.反思对于给出一组数据拟合函数模型的题目,应根据数据找出比较合理的函数模型.根据数据特点,可能有多种结果,因此用哪一个还需结合实情选择.题型一题型二题型三【变式训练3】某地区今年1,2,3月患某种传染病的人数分别为52,61,68人.为了预测以后各月的患病人数,甲选择了模型y=ax2+bx+c,乙选择了模型y=pqx+r,其中y为患病人数,x为月份,a,b,c,p,q,r都是常数.结果4,5,6月份的患病人数分别为74,78,83人,你认为谁选择的模型较好?题型一题型二题型三解:把有序数对(1,52),(2,61),(3,68)分别代入函数解析式y=ax2+bx+c,得𝑎+𝑏+𝑐=52,4𝑎+2𝑏+𝑐=61,9𝑎+3𝑏+𝑐=68,解得𝑎=-1,𝑏=12,𝑐=41.∴y=-x2+12x+41,把x=4,5,6分别代入解析式,得y=73,76,77;把有序数对(1,52),(2,61),(3,68)分别代入函数解析式y=pqx+r,得𝑝𝑞+𝑟=52,𝑝𝑞2+𝑟=61,𝑝𝑞3+𝑟=68,解得𝑝