2019-2020学年高中数学 第3章 基本初等函数 3.1.1 实数指数幂及其运算课件 新人教B版

第三章基本初等函数(Ⅰ)3.1指数与指数函数3.1.1实数指数幂及其运算1.理解有理指数幂的含义,会用幂的运算法则进行有关计算.2.通过具体实例了解实数指数幂的意义.3.通过本节的学习,进一步体会“用有理数逼近无理数”的思想,可以利用计算器或计算机实际操作,感受“逼近”的过程.12341.整数指数幂(2)正整指数幂的运算法则:①am·an=am+n;②(am)n=amn;③am÷an=am-n(mn,a≠0);④(ab)n=anbn;(1)正整指数幂的定义:an=𝑎·𝑎·𝑎·…·𝑎𝑛个(n∈N+).⑤𝑎𝑏𝑛=𝑎𝑛𝑏𝑛(b≠0).1234在上述法则③中,限定mn,如果取消这种限制,则正整指数幂就推广到了整数指数幂.但要规定a0=1(a≠0).a-n=1𝑎𝑛(a≠0,n∈N+).这样一来,上面的五条运算法则就可以归纳为三条:①am·an=am+n;②(ab)n=anbn;③(am)n=amn.同时,将指数的范围扩大到了整数.1234【做一做1-1】已知a0,m,n为整数,则下列各式中正确的有()B.an·am=am·nC.(an)m=am+nD.1÷an=a0-n解析:只有选项D是按照幂的运算法则进行运算的.选项A应为am-n,选项B应为am+n,选项C应为amn.答案:DA.am÷an=𝑎𝑚𝑛1234【做一做1-2】化简:(a2b3)-2·(a5b-2)0÷(a4b3)2的结果为.解析:原式=(a2)-2·(b3)-2·1÷(a4)2(b3)2=a-4·b-6÷a8b6=a-12b-12.答案:a-12b-1212342.根式(2)n次方根的定义:如果存在实数x,使得xn=a(a∈R,n1,n∈N+),则x叫做a的n次方根.(3)n次方根的性质:①在实数范围内,正数的奇次方根是一个正数,负数的奇次方根是一个负数,零的奇次方根是零.设a∈R,n是大于1的奇数,则a的n次方根(1)根式的定义:式子a𝑛叫做根式,这里n叫做根指数,a叫做被开方数.是𝑎𝑛.1234②在实数范围内,正数的偶次方根是两个绝对值相等符号相反的数,零的偶次方根是零,负数的偶次方根没有意义.设a≥0,n是大于1的偶数,则a的n次方根是±𝑎𝑛.其中𝑎𝑛叫做a的n次算术根.(4)根式的性质:①(𝑎𝑛)n=a(n1,且n∈N+);②𝑎𝑛𝑛=𝑎,当𝑛为奇数时,|𝑎|,当𝑛为偶数时.1234归纳总结正数开方要分清,根指奇偶大不同,根指为奇根一个,根指为偶双胞生.负数只有奇次根,算术方根零或正,正数若求偶次根,符号相反值相同.负数开方要慎重,根指为奇才可行,根指为偶无意义,零取方根仍为零.1234【做一做2-1】求下列各式的值:(1)(-3)55;(2)(-5)44;(3)(2-2)2;(4)(4-π4)4;(5)(π-45)5.1234解:(1)(-3)55=−3;(2)(-5)44=544=5;(3)(2-2)2=2−2;(4)(4-π4)4=4-π;(5)(π-45)5=π-4.1234【做一做2-2】计算(-8)33+(3-2)44−(2-3)2=.解析:原式=-8+|3−2|-(2−3)=-8+2−3−2+3=−8.答案:-812343.分数指数幂(1)如不特别说明,我们约定底数a0.于是,正分数指数幂可定义为𝑎1𝑛=a𝑛(a0);amn=𝑎𝑚𝑛𝑎0,𝑚,𝑛∈N+,且𝑚𝑛为既约分数.负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相同,同样可定义为𝑎-𝑚𝑛=1𝑎𝑚𝑛𝑎0,𝑚,𝑛∈N+,且𝑚𝑛为既约分数.(2)有理指数幂的运算法则:①aαaβ=aα+β(a0,α,β∈Q);②(aα)β=aαβ(a0,α,β∈Q);③(ab)α=aαbα(a0,b0,α∈Q).1234名师点拨0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义,0的零指数幂也没有意义,有理指数幂的三条运算法则实际上可推广到实数指数幂.1234【做一做3-1】把根式𝑎𝑎化成分数指数幂是()A.(-𝑎)32B.-(-𝑎)32C.−𝑎32D.𝑎32答案:D【做一做3-2】计算:23×1.53×126.解:23×1.53×126=2×312×3213×(3×22)16=21-13+13×312+13+16=2×3=6.12434.无理指数幂教材中通过实例利用逼近的思想理解无理指数幂的意义.一般地,无理指数幂aα(a0,α是无理数)是一个确定的实数.另外,我们要熟记经常要用的公式:(1)a-b=(𝑎−𝑏)(𝑎+𝑏)(a0,b0);(2)a±2𝑎𝑏+𝑏=(𝑎±𝑏)2(a0,b0).【做一做4】判断正误:(1)23是一个有理数.()(2)23不是一个确定的数,而是一个近似值.()(3)23没有意义.()(4)23是一个实数.()答案:(1)×(2)×(3)×(4)一、辨析(a𝑛)n和an𝑛剖析:(1)(a𝑛)n是实数a的n次方根的n次幂,其中实数a的取值由n的奇偶性来决定:①当n为大于1的奇数时,a∈R.例如,(273)3=27,(-325)5=-32,(07)7=0;②当n为大于1的偶数时,a≥0.例如,(274)4=27,(3)2=3,(06)6=0;若a0,式子(𝑎𝑛)n无意义.例如,(-2)2,(-544)4均无意义.因此,只要(𝑎𝑛)n有意义,其值恒等于a,即(𝑎𝑛)n=a.(2)𝑎𝑛𝑛是实数an的n次方根,an是一个恒有意义的式子,不受n的奇偶性限制,a∈R.但是𝑎𝑛𝑛的值受n的奇偶性限制:①当n为大于1的奇数时,其值为a,即𝑎𝑛𝑛=𝑎.例如,(-2)33=−2,6.155=6.1;②当n为大于1的偶数时,其值为|a|,即𝑎𝑛𝑛=|𝑎|.例如,344=3,(-3)2=|−3|=3.因此𝑎𝑛𝑛=𝑎,𝑛=2𝑘-1,𝑘∈N+,且𝑘1,|𝑎|,𝑛=2𝑘,𝑘∈N+.二、根式与分数指数幂互化的条件探究剖析:(1)引入分数指数幂之后,任何有意义的根式都能化成分数指数幂,即a𝑛=𝑎1n,这时被开方数a即是分数指数幂的底数,根指数的倒数即是分数指数幂的幂指数,显然𝑎1𝑛是𝑎𝑚𝑛当m=1时的特例.(2)分数指数幂的意义来源于根式,而要使𝑎𝑚𝑛对任意的n∈N+,且n1都有意义,必须限定a0,否则,当a=0时,若m=0或𝑚𝑛为分母是偶数的负分数,则𝑎𝑚𝑛没有意义;当a0时,若m为奇数,n为偶数,则𝑎𝑚𝑛没有意义.(3)在分数指数幂的定义中,整数m,n应互素(或互质),因为如果没有这个规定,将导致幂的运算结果出现矛盾.例如,在𝑎13中,底数a∈R,当a0时,𝑎130,而如果把𝑎13写成𝑎26,有两种方法:一是𝑎26=(𝑎16)2就必须有a≥0;二是𝑎26=(a2)16,当a0时,𝑎26的结果大于0,与𝑎130相矛盾.所以规定整数m,n互素.知识拓展在进行幂和根式的化简时,一般是先将根式化成幂的形式,并化小数指数幂为分数指数幂,且尽可能地统一成分数指数幂的形式,再利用幂的性质进行化简、求值、计算,以利于运算,达到化繁为简的目的.对于根式的计算结果,并不强求统一的表示形式,一般用分数指数幂的形式来表示.如果有特殊要求,那么按要求给出结果,但结果中不能同时含有根号和分数指数幂,也不能既含有分母又含有负指数,即结果必须化为最简形式.题型一题型二题型三题型四题型五题型一简单的指数幂运算【例1】计算:(1)12527-23;(2)0.008-23;(3)812401-34;(4)56-35-1-1;(5)2350+2-2×214-12−(0.01)0.5;(6)2790.5+(0.1)-2+21027-23+3748.题型一题型二题型三题型四题型五分析:在幂的运算中,首先观察幂的底数,如果幂的底数能化成幂的形式时(如(1)(2)(3)),就先把幂的底数写成幂的形式,再进行幂的乘、除、乘方、开方运算,这样比较简便.对于形如𝑏𝑎-𝑛的式子,我们一般是先变形为𝑎𝑏𝑛,然后再进行运算.题型一题型二题型三题型四题型五题型一简单的指数幂运算【例1】计算:(1)12527-23;(2)0.008-23;(3)812401-34;(4)56-35-1-1;(5)2350+2-2×214-12−(0.01)0.5;(6)2790.5+(0.1)-2+21027-23+3748.分析:在幂的运算中,首先观察幂的底数,如果幂的底数能化成幂的形式时(如(1)(2)(3)),就先把幂的底数写成幂的形式,再进行幂的乘、除、乘方、开方运算,这样比较简便.对于形如𝑏𝑎-𝑛的式子,我们一般是先变形为𝑎𝑏𝑛,然后再进行运算.题型一题型二题型三题型四题型五解:(1)12527-23=5333-23=5-23-2=3252=925.(2)0.008-23=(0.23)-23=0.2-2=15-2=52=25.(3)812401-34=3474-34=3-37-3=7333=34327.(4)56-35-1-1=56-53-1=-56-1=−65.题型一题型二题型三题型四题型五(5)2350+2-2×214-12−(0.01)0.5=1+14×4912−110012=1+14×23−110212=1+16−110=1615.题型一题型二题型三题型四题型五(6)2790.5+(0.1)-2+21027-23+3748=25912+110-2+6427-23+3748=53+100+433-23+3748=53+100+342+3748=53+100+916+3748=103.题型一题型二题型三题型四题型五反思在进行有关幂的运算时,要注意化归思想的运用;另外化繁为简一直是我们解题的一条基本原则.熟悉幂的运算条件和幂的运算性质是正确解题的关键.题型一题型二题型三题型四题型五【变式训练1】计算或化简下列各式:(1)a4b312𝑎𝑏-23;(2)0.008114+(4-34)2+(8)-43−16-0.75;(3)[(0.02723)-1.5]13+810.25-(-32)35−0.02×110-212;(4)-338-23+(0.002)-12−10(5−2)-1+(2−3)0.题型一题型二题型三题型四题型五解:(1)原式=a4b3·123𝑎3(b-2)3=18𝑎7b-3.(2)原式=(0.34)14+(2-32)2+(232)-43-24×-34=0.3+2-3+2-2-2-3=0.3+0.25=0.55.(3)原式=3103×23×-32×13+8114+3235-2100×10012=103+912=193.题型一题型二题型三题型四题型五(4)原式=(-1)-23338-23+1500-12−105-2+1=278-23+(500)12−10(5+2)+1=49+105−105−20+1=−1679.题型一题型二题型三题型四题型五题型二利用根式的性质化简根式【例2】(1)若|a|3,化简𝑎2-2𝑎+1−𝑎2+6𝑎+9;(2)若2-𝑥有意义,化简𝑥2-4𝑥+4−|3-x|;(3)若4𝑎2-4a+16=1-2𝑎3,求实数a的取值范围.分析:根据根式的性质进行化简.题型一题型二题型三题型四题型五解:(1)原式=(𝑎-1)2−(𝑎+3)2=|𝑎−1|-|a+3|,因为|a|3,所以-3a3.当-3a1时,原式=1-a-(a+3)=-2a-2;当1≤a3时,原式=a-1-(a+3)=-4.即原式=-2𝑎-2,-3𝑎1,-4,1≤𝑎3.(2)若2-𝑥有意义,则2-x≥0,即x≤2.原式=𝑥2-4𝑥+4−|3-x|=|x-2|-|3-x|=2-x-(3-x)=-1.(3)因为4a2-4𝑎+16=(2𝑎-1)26=1-2a3≥0,所以1-2a≥0,即a≤12.题型一题型二题型三题型四题型五反思