2019-2020版高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.2 立体几何中的向量方法 第3课时 利

-1-第3课时利用向量求空间角课标阐释思维脉络1.理解两异面直线所成角与它们的方向向量之间的关系,会用向量方法求两异面直线所成角.2.理解直线与平面所成角与直线方向向量和平面法向量夹角之间的关系,会用向量方法求直线与平面所成角.3.理解二面角大小与两个面法向量夹角之间的关系,会用向量方法求二面角的大小.利用向量求空间角两异面直线所成角直线与平面所成角二面角课前篇自主预习【思考】空间角包括哪些角?求解空间角常用的方法有哪些?答案线线角、线面角、二面角;传统方法和向量法.1.利用向量方法求两异面直线所成角若两异面直线l1,l2所成角为θ,它们的方向向量分别为a,b,则有cosθ=|cosa,b|=.特别提醒不要将两异面直线所成的角与其方向向量的夹角等同起来,因为两异面直线所成角的范围是,而两个向量夹角的范围是[0,π],事实上,两异面直线所成的角与其方向向量的夹角是相等或互补的关系.|𝑎·𝑏||𝑎||𝑏|0,π2课前篇自主预习【做一做1】若异面直线l1,l2的方向向量分别是a=(0,-2,-1),b=(2,0,4),则异面直线l1与l2的夹角的余弦值等于()A.-25B.25C.-255D.255解析因为a·b=-4,|a|=5,|b|=25,所以cosθ=|cosa,b|=𝑎·𝑏|𝑎||𝑏|=-410=25.答案B课前篇自主预习2.利用向量方法求直线与平面所成角若直线l与平面α所成的角为θ,直线l的方向向量为a,平面α的法向量为n,则有sinθ=|cosa,n|=.特别提醒直线与平面所成的角等于其方向向量与平面法向量所成锐角的余角.【做一做2】若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°,则直线l与平面α所成的角等于()A.120°B.60°C.150°D.30°解析因为直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°,所以它们所在直线的夹角为60°,则直线l与平面α所成的角等于90°-60°=30°.答案D|𝑎·𝑛||𝑎||𝑛|课前篇自主预习3.利用向量方法求二面角(1)若二面角α-l-β的平面角的大小为θ,其两个面α,β的法向量分别为n1,n2,则|cosθ|=|cosn1,n2|=;(2)二面角的大小还可以转化为两直线方向向量的夹角.在二面角α-l-β的两个半平面α,β内,各取一条与棱l垂直的直线,则当直线的方向向量的起点在棱上时,两个方向向量的夹角即为二面角的大小.特别提醒由于二面角的取值范围是[0,π],而两个面的法向量的方向无法从图形上直观确定,因此不能认为二面角的大小就是其两个面法向量夹角的大小,需要结合具体图形判断二面角是锐角还是钝角,从而求得其大小.|𝑛1·𝑛2||𝑛1||𝑛2|课前篇自主预习【做一做3】二面角α-l-β中,平面α的一个法向量为n1=32,-12,-2,平面β的一个法向量是n2=0,12,2,那么二面角α-l-β的大小等于()A.120°B.150°C.30°或150°D.60°或120°解析设所求二面角的大小为θ,则|cosθ|=|𝑛1·𝑛2||𝑛1||𝑛2|=32,所以θ=30°或150°.答案C课堂篇探究学习探究一探究二探究三当堂检测探究一利用向量方法求两异面直线所成角例1如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥底面ABC,AB=BC=AA1,∠ABC=90°,点E,F分别是棱AB,BB1的中点,试求直线EF和BC1所成的角.思路分析建立空间直角坐标系,求出直线EF和BC1的方向向量的坐标,求它们的夹角即得直线EF和BC1所成的角.课堂篇探究学习探究一探究二探究三当堂检测解分别以直线BA,BC,BB1为x,y,z轴,建立空间直角坐标系(如右图).设AB=1,则B(0,0,0),E12,0,0,F0,0,12,C1(0,1,1),所以𝐸𝐹=-12,0,12,𝐵𝐶1=(0,1,1).于是cos𝐵𝐶1,𝐸𝐹=𝐵𝐶1·𝐸𝐹|𝐵𝐶1||𝐸𝐹|=1222×2=12,所以直线EF和BC1所成角的大小为60°.课堂篇探究学习探究一探究二探究三当堂检测反思感悟1.利用空间向量求两异面直线所成角的步骤.(1)建立适当的空间直角坐标系.(2)求出两条异面直线的方向向量的坐标.(3)利用向量的夹角公式求出两直线方向向量的夹角.(4)结合异面直线所成角的范围得到两异面直线所成角.2.求两条异面直线所成的角的两个关注点.(1)余弦值非负:两条异面直线所成角的余弦值一定为非负值,而对应的方向向量的夹角可能为钝角.(2)范围:异面直线所成角的范围是,故两直线方向向量夹角的余弦值为负时,应取其绝对值.0,π2课堂篇探究学习探究一探究二探究三当堂检测变式训练1如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB,则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为.解析以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系Dxyz,设AB=1.则B(1,1,0),A1(1,0,2),A(1,0,0),D1(0,0,2),𝐴1𝐵=(0,1,-2),𝐴𝐷1=(-1,0,2),cos𝐴1𝐵,𝐴𝐷1=𝐴1𝐵·𝐴𝐷1|𝐴1𝐵||𝐴𝐷1|=-45×5=-45,故异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为45.答案45课堂篇探究学习探究一探究二探究三当堂检测探究二利用向量方法求直线与平面所成角例2如图所示,四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD∥BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M为线段AD上一点,AM=2MD,N为PC的中点.(1)证明MN∥平面PAB;(2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.思路分析(1)线面平行的判定定理⇒MN∥平面PAB.(2)利用空间向量计算平面PMN与AN方向向量的夹角⇒直线AN与平面PMN所成角的正弦值.课堂篇探究学习探究一探究二探究三当堂检测(1)证明由已知得AM=23AD=2.如图,取BP的中点T,连接AT,TN,由N为PC的中点知TN∥BC,TN=12BC=2.又AD∥BC,故TN􀱀AM,所以四边形AMNT为平行四边形,于是MN∥AT.因为AT⊂平面PAB,MN⊄平面PAB,所以MN∥平面PAB.(2)解如图,取BC的中点E,连接AE.由AB=AC得AE⊥BC,从而AE⊥AD,且AE=𝐴𝐵2-𝐵𝐸2=𝐴𝐵2-(𝐵𝐶2)2=5.课堂篇探究学习探究一探究二探究三当堂检测以A为坐标原点,𝐴𝐸的方向为x轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz.由题意知P(0,0,4),M(0,2,0),C(5,2,0),N52,1,2,𝑃𝑀=(0,2,-4),𝑃𝑁=52,1,-2,𝐴𝑁=52,1,2.设n=(x,y,z)为平面PMN的法向量,则𝑛·𝑃𝑀=0,𝑛·𝑃𝑁=0,即2𝑦-4𝑧=0,52𝑥+𝑦-2𝑧=0,可取n=(0,2,1).于是|cosn,𝐴𝑁|=|𝑛·𝐴𝑁||𝑛||𝐴𝑁|=8525.所以直线AN与平面PMN所成角的正弦值为8525.课堂篇探究学习探究一探究二探究三当堂检测反思感悟若直线l与平面α的夹角为θ,利用法向量计算θ的步骤如下:课堂篇探究学习探究一探究二探究三当堂检测变式训练2在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为CC1的中点,则直线A1B与平面BDE所成的角为()A.π6B.π3C.π2D.56π解析以D为原点建立空间直角坐标系,可求得平面BDE的法向量n=(1,-1,2),而𝐵𝐴1=(0,-1,1),所以cosθ=1+223=32,则θ=30°,故直线A1B与平面BDE成60°角.答案B课堂篇探究学习探究一探究二探究三当堂检测探究三利用向量方法求二面角例3如图,在正方体ABEF-DCE'F'中,M,N分别为AC,BF的中点,求平面MNA与平面MNB所成锐二面角的余弦值.思路分析有两种思路,一是先根据二面角平面角的定义,在图形中作出二面角的平面角,然后利用向量方法求出夹角从而得到所成二面角的大小;另一种是直接求出两个面的法向量,通过法向量的夹角求得二面角的大小.课堂篇探究学习探究一探究二探究三当堂检测解设正方体棱长为1.以B为坐标原点,BA,BE,BC所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系B-xyz,则M12,0,12,N12,12,0,A(1,0,0),B(0,0,0).(方法1)取MN的中点G,连接BG,AG,则G12,14,14.因为△AMN,△BMN为等腰三角形,所以AG⊥MN,BG⊥MN,故∠AGB为二面角的平面角或其补角.课堂篇探究学习探究一探究二探究三当堂检测又因为𝐺𝐴=12,-14,-14,𝐺𝐵=-12,-14,-14,所以cos𝐺𝐴,𝐺𝐵=𝐺𝐴·𝐺𝐵|𝐺𝐴||𝐺𝐵|=-1838×38=-13,故所求两平面所成锐二面角的余弦值为13.(方法2)设平面AMN的法向量n1=(x,y,z).由于𝐴𝑀=-12,0,12,𝐴𝑁=-12,12,0,则𝑛1·𝐴𝑀=0,𝑛1·𝐴𝑁=0,即-12𝑥+12𝑧=0,-12𝑥+12𝑦=0,课堂篇探究学习探究一探究二探究三当堂检测令x=1,解得y=1,z=1,于是n1=(1,1,1).同理可求得平面BMN的一个法向量n2=(1,-1,-1),所以cosn1,n2=𝑛1·𝑛2|𝑛1||𝑛2|=-13×3=-13,故所求两平面所成锐二面角的余弦值为13.反思感悟利用平面的法向量求二面角利用向量方法求二面角的大小时,多采用法向量法,即求出两个面的法向量,然后通过法向量的夹角来得到二面角的大小,但利用这种方法求解时,要注意结合图形观察分析,确定二面角是锐角还是钝角,不能将两个法向量的夹角与二面角的大小完全等同起来.课堂篇探究学习探究一探究二探究三当堂检测变式训练3如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=BC=AB=2,AB⊥BC,求二面角B1-A1C-C1的大小.课堂篇探究学习探究一探究二探究三当堂检测解如图,建立空间直角坐标系.则A(2,0,0),C(0,2,0),A1(2,0,2),B1(0,0,2),C1(0,2,2),即𝐵𝑀=(1,1,0)是平面A1C1C的一个法向量.设平面A1B1C的一个法向量是n=(x,y,z),𝐴1𝐶=(-2,2,-2),𝐴1𝐵1=(-2,0,0),所以n·𝐴1𝐵1=-2x=0,n·𝐴1𝐶=-2x+2y-2z=0,令z=1,解得x=0,y=1,故n=(0,1,1).设法向量n与𝐵𝑀的夹角为φ,二面角B1-A1C-C1的大小为θ,显然θ为锐角.因为cosθ=|cosφ|=|𝑛·𝐵𝑀||𝑛||𝐵𝑀|=12,解得θ=π3,所以二面角B1-A1C-C1的大小为π3.设AC的中点为M,因为BM⊥AC,BM⊥CC1,所以BM⊥平面A1C1C,课堂篇探究学习探究一探究二探究三当堂检测思维辨析一题多变——空间角的求法典例如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都相等,AC∩BD=O,A1C1∩B1D1=O1,四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形.(1)证明:O1O⊥底面ABCD.(2)若∠CBA=60°,求二面角C1-OB1-D的余弦值.课堂篇探究学习探究一探究二探究三当堂检测(1)证明因为四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形,所以CC1⊥AC,DD1⊥BD,又CC1∥DD1∥OO1,所以OO1⊥AC,OO1⊥BD,因为AC∩BD=O,所以O1O⊥底面ABCD.(2)解因为四棱柱的所有棱长都相等,所以四边形ABCD为菱形,AC⊥BD.又O1O⊥底面ABCD,所以OB,OC,OO1两两垂直.如图,以O为原点,OB,OC,OO1所在直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系.课堂篇探究学习探究一探究二探究三当堂检测设棱长为2,因为∠CBA=60°,所以OB=3,OC=1,所以O(0,0,0),B1(3,0,2