2019-2020版高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.2 立体几何中的向量方法 第1课时 利

-1-3.2立体几何中的向量方法-2-第1课时利用向量证明空间中的平行关系课标阐释思维脉络1.理解直线的方向向量与平面的法向量.2.掌握用待定系数法求平面法向量的方法.3.掌握利用向量证明空间中的平行关系的基本方法.利用向量证明平行关系直线的方向向量平面的法向量平行关系的证明线线平行线面平行面面平行课前篇自主预习【思考1】怎样用向量来表示点、直线、平面在空间中的位置?答案(1)点:在空间中,我们取一定点O作为基点,那么空间中任意一点P的位置就可以用向量来表示.我们把向量称为点P的位置向量.(2)直线:①直线的方向向量:和这条直线平行或共线的非零向量.(3)平面:①空间中平面α的位置可以由α内两条相交直线来确定.对于平面α上的任一点P,a,b是平面α内两个不共线向量,则存在有序实数对(x,y),使得=xa+yb.②空间中平面α的位置还可以用垂直于平面的直线的方向向量表示.②对于直线l上的任一点P,存在实数t,使得𝐴𝑃=t𝐴𝐵,此方程称为直线的向量参数方程.𝑂𝑃𝑂𝑃𝑂𝑃课前篇自主预习1.空间中点、直线、平面的向量表示(1)点的位置向量在空间中,我们取一定点O作为基点,那么空间中任意一点P的位置就可以用向量𝑂𝑃来表示.我们把向量𝑂𝑃称为点P的位置向量.如图①.图①(2)直线的方向向量图②空间中任意一条直线l的位置可以由l上一个定点A以及一个定方向确定,如图②,点A是直线l上一点,向量a表示直线l的方向(方向向量),在直线l上取𝐴𝐵=a,那么对于直线l上任意一点P,一定存在实数t,使得𝐴𝑃=t𝐴𝐵.课前篇自主预习(3)平面的向量形式空间中平面α的位置可以由α内两条相交直线来确定.如图③,设这两条直线相交于点O,它们的方向向量分别为a和b,P为平面α上任意一点,由平面向量基本定理可知,存在有序实数对(x,y),使得=xa+yb.这样,点O与向量a,b不仅可以确定平面α的位置,还可以具体表示出平面α内的任意一点.𝑂𝑃图③(4)平面的法向量对于直线l和平面α,若l⊥α,取l的方向向量a,则向量a叫做平面α的法向量.课前篇自主预习【做一做1】下列说法中正确的是()A.直线的方向向量是唯一的B.与一个平面的法向量共线的非零向量都是该平面的法向量C.直线的方向向量有两个D.平面的法向量是唯一的解析由平面法向量的定义可知,B项正确.答案B【思考2】设v1=(a1,b1,c1),v2=(a2,b2,c2)分别是直线l1,l2的方向向量.若直线l1∥l2,则向量v1,v2应满足什么关系.答案由直线方向向量的定义知若直线l1∥l2,则直线l1,l2的方向向量共线,即l1∥l2⇔v1∥v2⇔v1=λv2(λ∈R).课前篇自主预习2.空间中平行关系的向量表示线线平行设两条不重合的直线l,m的方向向量分别为a,b,则(1)l∥m⇔a∥b⇔a=λb(λ∈R);(2)当a=(a1,b1,c1),b=(a2,b2,c2)时,l∥m⇔(a1,b1,c1)=λ(a2,b2,c2)线面平行设直线l在平面α外,l的方向向量为a,α的法向量为n,则(1)l∥α⇔a⊥n⇔a·n=0;(2)当a=(a1,b1,c1),n=(a2,b2,c2),l∥α⇔a1a2+b1b2+c1c2=0面面平行设两个不重合的平面α,β的法向量分别为n1,n2,则(1)α∥β⇔n1∥n2⇔n1=λn2(λ∈R);(2)当n1=(a1,b1,c1),n2=(a2,b2,c2)时,α∥β⇔(a1,b1,c1)=λ(a2,b2,c2)课前篇自主预习【做一做2】若两条直线的方向向量分别是a=(2,4,-5),b=(-6,x,y),且两条直线平行,则x=,y=.解析因为两条直线平行,所以a∥b.于是2-6=4𝑥=-5𝑦,解得x=-12,y=15.答案-1215【做一做3】若平面β外的一条直线l的方向向量是u=(-1,2,-3),平面β的法向量为n=(4,-1,-2),则l与β的位置关系是.解析因为u·n=(-1,2,-3)·(4,-1,-2)=0,所以u⊥n.所以直线与平面平行,即l∥β.答案平行课堂篇探究学习探究一探究二探究三当堂检测探究一平面法向量及其求法例1如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC=1,E是PC的中点,求平面EDB的一个法向量.思路分析首先建立空间直角坐标系,然后利用待定系数法按照平面法向量的求解步骤进行求解.课堂篇探究学习探究一探究二探究三当堂检测解如图所示建立空间直角坐标系.依题意可得D(0,0,0),P(0,0,1),E0,12,12,B(1,1,0),于是𝐷𝐸=0,12,12,𝐷𝐵=(1,1,0).设平面EDB的法向量为n=(x,y,z),则n⊥𝐷𝐸,n⊥𝐷𝐵,于是𝑛·𝐷𝐸=12𝑦+12𝑧=0,𝑛·𝐷𝐵=𝑥+𝑦=0,取x=1,则y=-1,z=1,故平面EDB的一个法向量为n=(1,-1,1).课堂篇探究学习探究一探究二探究三当堂检测反思感悟利用待定系数法求平面法向量的步骤(1)设平面的法向量为n=(x,y,z).(2)找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标a=(a1,b1,c1),b=(a2,b2,c2).(3)根据法向量的定义建立关于x,y,z的方程组(4)解方程组,取其中的一个解,即得法向量.𝑛·𝑎=0,𝑛·𝑏=0.课堂篇探究学习探究一探究二探究三当堂检测延伸探究本例条件不变,你能分别求出平面PAD与平面PCD的一个法向量吗?它们之间的关系如何?解如同例题建系方法,易知平面PAD的一个法向量为n1=(0,1,0),平面PCD的一个法向量为n2=(1,0,0),因为n1·n2=0,所以n1⊥n2.课堂篇探究学习探究一探究二探究三当堂检测变式训练1如图所示,已知四边形ABCD是直角梯形,∠ABC=90°,SA⊥平面ABCD,SA=AB=BC=1,AD=,试建立适当的坐标系.(1)求平面ABCD的一个法向量;(2)求平面SAB的一个法向量;(3)求平面SCD的一个法向量.12解以点A为原点,AD、AB、AS所在的直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(0,1,0),C(1,1,0),D12,0,0,S(0,0,1).(1)∵SA⊥平面ABCD,∴𝐴𝑆=(0,0,1)是平面ABCD的一个法向量.课堂篇探究学习探究一探究二探究三当堂检测(2)∵AD⊥AB,AD⊥SA,∴AD⊥平面SAB,∴𝐴𝐷=12,0,0是平面SAB的一个法向量.(3)在平面SCD中,𝐷𝐶=12,1,0,𝑆𝐶=(1,1,-1).设平面SCD的法向量是n=(x,y,z),则n⊥𝐷𝐶,n⊥𝑆𝐶,∴𝑛·𝐷𝐶=0,𝑛·𝑆𝐶=0,得方程组12𝑥+𝑦=0,𝑥+𝑦-𝑧=0,∴𝑥=-2𝑦,𝑧=-𝑦,令y=-1,得x=2,z=1,∴n=(2,-1,1).课堂篇探究学习探究一探究二探究三当堂检测探究二利用向量方法证明线面平行例2如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是C1C,B1C1的中点.求证:MN∥平面A1BD.思路分析思路一:可证明𝑀𝑁与𝐴1𝐵,𝐷𝐵是共面向量;思路二:可证明𝑀𝑁与平面A1BD中的𝐷𝐴1是共线向量;思路三:可通过平面A1BD的法向量来证明.课堂篇探究学习探究一探究二探究三当堂检测证明方法一:∵𝑀𝑁=𝐶1𝑁−𝐶1𝑀=12𝐶𝐵−12𝐵1𝐵=12𝐷𝐵−12𝐷𝐶−12𝐴1𝐵+12𝐴1𝐵1=12𝐷𝐵−12𝐴1𝐵,∴𝑀𝑁,𝐷𝐵,𝐴1𝐵是共面向量.又∵MN⊄平面A1BD,∴MN∥平面A1BD.方法二:∵𝑀𝑁=𝐶1𝑁−𝐶1𝑀=12𝐶1𝐵1−12𝐶1𝐶=12(𝐷1𝐴1−𝐷1𝐷)=12𝐷𝐴1,∴𝑀𝑁∥𝐷𝐴1.又∵MN⊄平面A1BD,∴MN∥平面A1BD.课堂篇探究学习探究一探究二探究三当堂检测方法三:以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,如图.设正方体的棱长为1,则可求得M0,1,12,N12,1,1,D(0,0,0),A1(1,0,1),B(1,1,0).于是𝑀𝑁=12,0,12,𝐷𝐴1=(1,0,1),𝐷𝐵=(1,1,0).设平面A1BD的法向量为n=(x,y,z),则𝑛·𝐷𝐴1=0,𝑛·𝐷𝐵=0,得𝑥+𝑧=0,𝑥+𝑦=0.取x=1,得y=-1,z=-1,∴n=(1,-1,-1).∵𝑀𝑁·n=12,0,12·(1,-1,-1)=0,∴𝑀𝑁⊥n.又∵MN⊄平面A1BD,∴MN∥平面A1BD.课堂篇探究学习探究一探究二探究三当堂检测反思感悟利用空间向量证明线面平行的方法(1)利用共面向量法:证明直线的方向向量p与平面内的两个不共线向量a,b是共面向量,即满足p=xa+yb(x,y∈R),则p,a,b共面,从而可证直线与平面平行.(2)利用共线向量法:证明直线的方向向量p与该平面内的某一向量共线,再结合线面平行的判定定理即可证明线面平行.(3)利用法向量法:求出直线的方向向量与平面的法向量,证明方向向量与法向量垂直,从而证明直线与平面平行.课堂篇探究学习探究一探究二探究三当堂检测变式训练2如图,已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,AB=,AF=1,M是线段EF的中点.求证:AM∥平面BDE.2课堂篇探究学习探究一探究二探究三当堂检测证明建立如图所示的空间直角坐标系.设AC∩BD=N,连接NE,则点N,E的坐标分别是22,22,0,(0,0,1).所以𝑁𝐸=-22,-22,1.又点A,M的坐标分别是(2,2,0),22,22,1,所以𝐴𝑀=-22,-22,1.所以𝑁𝐸=𝐴𝑀,且A∉NE,所以NE∥AM.又因为NE⊂平面BDE,AM⊄平面BDE,所以AM∥平面BDE.课堂篇探究学习探究一探究二探究三当堂检测探究三利用向量方法证明面面平行例3如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为底面ABCD的中心,P是DD1的中点,设Q是CC1上的点,问:当点Q在什么位置时,平面D1BQ∥平面PAO?思路分析建立空间直角坐标系,设出点Q的坐标,然后可根据面面平行的判定定理转化为向量共线问题或者利用两个平面的法向量共线进行证明.课堂篇探究学习探究一探究二探究三当堂检测解如图所示,分别以DA,DC,DD1所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,在CC1上任取一点Q,连接BQ,D1Q.设正方体的棱长为1,则O12,12,0,P0,0,12,A(1,0,0),B(1,1,0),D1(0,0,1),则Q(0,1,m).方法一:因为𝑂𝑃=-12,-12,12,𝐵𝐷1=(-1,-1,1),所以𝑂𝑃∥𝐵𝐷1,于是OP∥BD1.𝐴𝑃=-1,0,12,𝐵𝑄=(-1,0,m),当m=12时,𝐴𝑃=𝐵𝑄,即AP∥BQ,有平面PAO∥平面D1BQ,故当Q为CC1的中点时,平面D1BQ∥平面PAO.课堂篇探究学习探究一探究二探究三当堂检测方法二:𝑂𝐴=12,-12,0,𝑂𝑃=-12,-12,12.设平面PAO的法向量为n1=(x,y,z),则有n1⊥𝑂𝐴,n1⊥𝑂𝑃,因此12𝑥-12𝑦=0,-12𝑥-12𝑦+12𝑧=0,取x=1,则n1=(1,1,2).又因为𝐵𝐷1=(-1,-1,1),𝑄𝐷1=(0,-1,1-m).设平面D1BQ的法向量为n2=(x,y,z),则有n2⊥𝐵𝐷1,n2⊥𝑄𝐷1,因此-𝑥-𝑦+𝑧=0,-𝑦+(1-𝑚)𝑧=0,取z=1,则n2=(m,1-m,1).要使平面D1BQ∥平面PAO,需满足n1∥n2,因此1𝑚=11-𝑚=21,解得m=12,这时Q0,1,12.故当Q为CC1的中点时,平面D1BQ∥平面PAO.课堂篇探究学习探究一探究二探究三当堂检测反思感悟利用空间向量