2019-2020版高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.1.3 空间向量的数量积运算课件 新人

-1-3.1.3空间向量的数量积运算课标阐释思维脉络1.理解空间两个向量夹角的定义.2.掌握空间向量数量积的定义、性质、运算律,会求空间向量的数量积.3.能够运用空间向量的数量积解决夹角与距离问题.空间向量的数量积空间向量的夹角空间向量的数量积定义性质运算律—应用课前篇自主预习1.空间向量的夹角已知两个非零向量a,b,在空间任取一点O,作𝑂𝐴=a,𝑂𝐵=b,则∠AOB叫做向量a,b的夹角,记作a,b,向量夹角的取值范围是[0,π].如果a,b=π2,那么向量a,b垂直,记作a⊥b.特别提醒1.由定义知,只有两个非零空间向量才有夹角,当两个非零空间向量共线同向时,夹角为0,共线反向时,夹角为π.2.对空间任意两个非零向量a,b有:①a,b=b,a;②-a,b=a,-b=π-a,b;③-a,-b=a,b.课前篇自主预习【做一做1】在正四面体ABCD中,𝐵𝐶与𝐶𝐷的夹角等于()A.30°B.60°C.150°D.120°解析𝐵𝐶,𝐶𝐷=180°-𝐶𝐵,𝐶𝐷=180°-60°=120°.答案D【思考】(1)若a·b=0,则一定有a⊥b吗?(2)若a·b0,则a,b一定是锐角吗?答案(1)若a·b=0,则不一定有a⊥b,也可能a=0或b=0.(2)当a,b=0时,也有a·b0,故当a·b0时,a·b不一定是锐角.课前篇自主预习2.空间向量的数量积(1)已知两个非零向量a,b,则|a||b|cosa,b叫做a,b的数量积,记作a·b.(2)数量积的运算律:(λa)·b=λ(a·b);a·b=b·a(交换律);a·(b+c)=a·b+a·c(分配律).(3)数量积的运算性质:①若a,b是非零向量,则a⊥b⇔a·b=0.②若a与b同向,则a·b=|a||b|;若a与b反向,则a·b=-|a||b|.特别地,a·a=|a|2或|a|=𝑎·𝑎.③若θ为a,b的夹角,则cosθ=𝑎·𝑏|𝑎||𝑏|.④|a·b|≤|a||b|.课前篇自主预习名师点拨1.对空间向量数量积的理解(1)两个空间向量的数量积是数量,而不是向量,它可以是正数、负数或零;(2)空间向量的数量积运算不满足消去律和结合律,即a·b=a·c⇒b=c,(a·b)·c=a·(b·c)都不成立.(3)若a·b=k(k≠0),则不能得出a=𝑘𝑏或𝑏=𝑘𝑎,即空间向量不能进行除法运算.2.空间向量数量积的应用(1)利用公式|a|=𝑎·𝑎可以解决空间中有关距离或长度的问题;(2)利用公式cosa,b=𝑎·𝑏|𝑎||𝑏|可以解决两向量夹角,特别是两异面直线夹角的问题;(3)利用关系a⊥b⇔a·b=0可以证明空间两直线的垂直.课前篇自主预习【做一做2】正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长等于2,则𝐴𝐶·𝐴𝐷1等于()A.2B.22C.4D.42解析𝐴𝐶·𝐴𝐷1=|𝐴𝐶|·|𝐴𝐷1|cos∠CAD1=22×22×12=4.答案C【做一做3】已知空间向量a,b的夹角为120°,且|a|=1,|b|=2,则a·(2a-3b)=.解析a·(2a-3b)=2|a|2-3a·b=2×12-3×1×2×-12=5.答案5课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四当堂检测探究一求空间向量的数量积例1已知三棱锥O-ABC的各个侧面都是等边三角形,且边长为2,点M,N,P分别为AB,BC,CA的中点.试求:(1)𝑂𝐴·𝑂𝐵;(2)𝑁𝑃·𝐴𝐵;(3)𝑂𝐵·𝐴𝐶;(4)𝑂𝐶·𝑀𝑃.思路分析求出每个向量的模及其夹角,然后按照数量积的定义求解,必要时,对向量进行分解.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四当堂检测解(1)𝑂𝐴·𝑂𝐵=|𝑂𝐴||𝑂𝐵|cos𝑂𝐴,𝑂𝐵=|𝑂𝐴||𝑂𝐵|cos∠AOB=2×2×cos60°=2.(2)𝑁𝑃·𝐴𝐵=|𝑁𝑃||𝐴𝐵|cos𝑁𝑃,𝐴𝐵=|𝑁𝑃||𝐴𝐵|cos180°=1×2×(-1)=-2.(3)𝑂𝐵·𝐴𝐶=𝑂𝐵·(𝑂𝐶−𝑂𝐴)=𝑂𝐵·𝑂𝐶−𝑂𝐵·𝑂𝐴=2×2×cos∠BOC-2×2×cos∠BOA=0.(4)𝑂𝐶·𝑀𝑃=𝑂𝐶·12𝐵𝐶=12𝑂𝐶·𝐵𝐶=12𝑂𝐶·(𝑂𝐶−𝑂𝐵)=12(𝑂𝐶2−𝑂𝐶·𝑂𝐵)=12×(22-2)=1.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四当堂检测反思感悟空间向量运算的方法与步骤方法:(1)利用定义,直接利用a·b=|a||b|cosa,b并结合运算律进行计算.(2)利用图形,计算两个向量的数量积,可先将各向量移到同一顶点,利用图形寻找夹角,再代入数量积公式进行运算.(3)利用向量分解,在几何体中进行向量的数量积运算时,要充分利用几何体的性质,把待求向量用已知夹角和模的向量表示后再进行运算.步骤:(1)首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的线性组合形式;(2)利用向量的运算律将数量积展开,转化为已知模和夹角的向量的数量积;(3)代入a·b=|a||b|cosa,b求解.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四当堂检测延伸探究若本例条件不变,试求𝑂𝐴·𝐴𝐶.解𝑂𝐴·𝐴𝐶=|𝑂𝐴|·|𝐴𝐶|coc𝑂𝐴,𝐴𝐶=2×2×cos120°=-2.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四当堂检测变式训练1在四面体O-ABC中,棱OA,OB,OC两两垂直,且OA=1,OB=2,OC=3,点G为△ABC的重心,则𝑂𝐺·(𝑂𝐴+𝑂𝐵+𝑂𝐶)=.解析如图,连接AG并延长,与BC交于点D,∵点G是底面△ABC的重心,∴𝑂𝐺=𝑂𝐴+𝐴𝐺=𝑂𝐴+13(𝐴𝐵+𝐴𝐶)=𝑂𝐴+13[(𝑂𝐵−𝑂𝐴)+(𝑂𝐶−𝑂𝐴)]=13𝑂𝐵+13𝑂𝐶+13𝑂𝐴.∴𝑂𝐺·(𝑂𝐴+𝑂𝐵+𝑂𝐶)=13𝑂𝐵+13𝑂𝐶+13𝑂𝐴·(𝑂𝐴+𝑂𝐵+𝑂𝐶)=13𝑂𝐵2+13𝑂𝐶2+13𝑂𝐴2=13×22+13×32+13×12=143.答案143课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四当堂检测探究二利用数量积求夹角例2如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,求向量𝐵𝐶1与𝐴𝐶的夹角的大小.思路分析求两个向量的夹角,可以把其中一个向量平移到与另一个向量的起点重合,从而转化为求平面角的大小;也可以用两个向量的数量积定义a·b=|a||b|cosa,b,求出cosa,b=的值,然后确定a,b的大小.𝑎·𝑏|𝑎||𝑏|课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四当堂检测解(方法1)因为𝐴𝐷1=𝐵𝐶1,所以∠D1AC即为向量𝐵𝐶1与𝐴𝐶的夹角.因为△D1AC为等边三角形,所以∠D1AC=π3,即𝐵𝐶1,𝐴𝐶=π3.所以向量𝐵𝐶1与𝐴𝐶的夹角为π3.(方法2)设正方体的棱长为1,则𝐵𝐶1·𝐴𝐶=(𝐵𝐶+𝐶𝐶1)·(𝐴𝐵+𝐵𝐶)=(𝐴𝐷+𝐴𝐴1)·(𝐴𝐵+𝐴𝐷)=𝐴𝐷·𝐴𝐵+𝐴𝐷2+𝐴𝐴1·𝐴𝐵+𝐴𝐴1·𝐴𝐷=0+𝐴𝐷2+0+0=𝐴𝐷2=1.又|𝐵𝐶1|=2,|𝐴𝐶|=2,所以cos𝐵𝐶1,𝐴𝐶=𝐵𝐶1·𝐴𝐶|𝐵𝐶1||𝐴𝐶|=12×2=12.因为𝐵𝐶1,𝐴𝐶∈[0,π],所以𝐵𝐶1,𝐴𝐶=π3.所以向量𝐵𝐶1与𝐴𝐶的夹角为π3.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四当堂检测反思感悟两个非零向量夹角求法的两个途径(1)转化求角:把向量夹角转化为平面几何中的对应角,利用解三角形的知识求解;(2)利用数量积求夹角:运用公式cosa,b=进行求解.𝑎·𝑏|𝑎||𝑏|课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四当堂检测变式训练2(1)若非零空间向量a,b满足|a|=|b|,(2a+b)·b=0,则a与b的夹角为()A.30°B.60°C.120°D.150°(2)已知空间四面体OABC各边及对角线长都等于2,E,F分别为AB,OC的中点,则向量𝑂𝐸与向量𝐵𝐹所成角的余弦值为.解析(1)设a与b的夹角为θ,则由(2a+b)·b=0,得2|a||b|cosθ+|b|2=0.又因为|a|=|b|,所以cosθ=-,所以θ=120°.12课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四当堂检测(2)由已知得𝑂𝐸=12(𝑂𝐴+𝑂𝐵),𝐵𝐹=𝑂𝐹−𝑂𝐵=12𝑂𝐶−𝑂𝐵,因此|𝑂𝐸|=12|𝑂𝐴+𝑂𝐵|=124+4+2×2×2×12=3,|𝐵𝐹|=12𝑂𝐶-𝑂𝐵=14×4+4-2×2×12=3.又因为𝑂𝐸·𝐵𝐹=12(𝑂𝐴+𝑂𝐵)·12𝑂𝐶-𝑂𝐵=14×2-12×2+12×2-4=-2,所以向量𝑂𝐸与向量𝐵𝐹所成角的余弦值cosθ=𝑂𝐸·𝐵𝐹|𝑂𝐸||𝐵𝐹|=-23×3=-23.答案(1)C(2)-23课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四当堂检测探究三利用数量积证明垂直问题例3如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P是DD1的中点,O是底面ABCD的中心.求证:B1O⊥平面PAC.思路分析要证B1O⊥平面PAC,只须证明B1O⊥AC与B1O⊥PA,即只需证明𝐵1𝑂·𝐴𝐶=0和𝐵1𝑂·𝑃𝐴=0,可先将𝐵1𝑂,𝐴𝐶,𝑃𝐴均用正方体的棱所在的向量线性表示,再求数量积证明.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四当堂检测证明取𝐴𝐵=a,𝐴𝐷=b,𝐴𝐴1=c,且|a|=|b|=|c|=1.则有𝐴𝐶=𝐴𝐵+𝐴𝐷=a+b,𝑂𝐵1=𝑂𝐵+𝐵𝐵1=12𝐷𝐵+𝐵𝐵1=12(𝐴𝐵−𝐴𝐷)+𝐵𝐵1=12a-12b+c,∴𝐴𝐶·𝑂𝐵1=(a+b)·12𝑎-12𝑏+𝑐=12|a|2+12a·b-12a·b-12|b|2+a·c+b·c=12−12=0.∴𝐴𝐶⊥𝑂𝐵1,即AC⊥OB1.∵𝐴𝑃=𝐴𝐷+12𝐷𝐷1=b+12c,∴𝑂𝐵1·𝐴𝑃=12𝑎-12𝑏+𝑐·𝑏+12𝑐=12a·b-12|b|2+c·b+14a·c-14b·c+12|c|2=-12+12=0,∴𝑂𝐵1⊥𝐴𝑃,即OB1⊥AP.又∵AC∩AP=A,∴OB1⊥平面ACP.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四当堂检测反思感悟利用数量积证明垂直问题的一般方法将所证垂直问题转化为证明线线垂直,然后把直线转化为向量,并用已知向量表示未知向量,然后通过向量的线性运算以及数量积运算,证明直线所在向量的数量积等于零,即可证明线线垂直.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四当堂检测变式训练3已知空间四边形OABC中,M,N,P,Q分别为BC,AC,OA,OB的中点,若AB=OC,求证:PM⊥QN.证明如图,设𝑂𝐴=a,𝑂𝐵=b,𝑂𝐶=c,又P,M分别为OA,BC的中点,∴𝑃𝑀=𝑂𝑀−𝑂𝑃=12(b+c)-12a=12[(b-a)+c].同理,𝑄𝑁=12(a+c)-12b=-12[(b-a)-c].∴𝑃𝑀·𝑄𝑁=-14(|b-a|2-|c|2).又AB=OC,即|b-a|=|c|,∴𝑃𝑀·𝑄𝑁=0,∴𝑃𝑀⊥𝑄𝑁,即PM⊥QN.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四当堂检测探究四利用数量积求距离或长度例4如图所示,在平行四边形ABCD中,AB=AC=1,∠ACD=90°,沿着它的对角线AC将△ACD折起,使AB与CD成60°角,求此时B,D间的距离.思路分析𝐵𝐷=𝐵𝐴+𝐴𝐶+𝐶𝐷→得到|𝐵𝐷|2的值,注意对