（浙江专版）2020中考数学复习方案 第五单元 四边形 第25课时 特殊平行四边形（二）课件

第25课时特殊平行四边形(二)基础知识巩固高频考向探究当堂效果检测考点一四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系1.[2018·上海闵行区模拟]已知四边形ABCD是平行四边形,下列结论不正确的是()A.当AB=BC时,四边形ABCD是菱形B.当AC⊥BD时,四边形ABCD是菱形C.当∠ABC=90°时,四边形ABCD是矩形D.当AC=BD时,四边形ABCD是正方形D基础知识巩固高频考向探究当堂效果检测2.下列命题中,为真命题的是()A.对角线互相垂直的四边形是菱形B.四边相等的四边形是正方形C.对角线相等的四边形是矩形D.两组对角分别相等的四边形是平行四边形D基础知识巩固高频考向探究当堂效果检测知识梳理图25-1基础知识巩固高频考向探究当堂效果检测考点二中点四边形1.[2019·邵阳三模]顺次连结任意四边形各边的中点,所得的四边形一定是()A.平行四边形B.菱形C.矩形D.正方形A基础知识巩固高频考向探究当堂效果检测2.[2019·遵义]我们把顺次连结任意一个四边形各边中点所得四边形叫做中点四边形.已知四边形ABCD的中点四边形是正方形,对角线AC与BD的关系,下列说法正确的是()A.AC,BD相等且互相平分B.AC,BD垂直且互相平分C.AC,BD相等且互相垂直D.AC,BD垂直且平分对角C基础知识巩固高频考向探究当堂效果检测知识梳理正方形1.定义:顺次连结四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形.2.任意四边形的中点四边形是.对角线相等的四边形的中点四边形是.对角线垂直的四边形的中点四边形是.对角线互相垂直且相等的四边形的中点四边形是.平行四边形菱形矩形基础知识巩固当堂效果检测高频考向探究考向一中点四边形图25-2例1如图25-2,D,E分别是不等边三角形ABC(即AB≠BC≠AC)的边AB,AC的中点,O是△ABC所在平面上的动点,连结OA,OB,OC,点G,F分别是OB,OC的中点,顺次连结点D,G,F,E.(1)当点O在△ABC的内部时,求证:四边形DGFE是平行四边形;(2)若四边形DGFE是菱形,则OA与BC应满足怎样的数量关系?(直接写出答案,不需要说明理由)基础知识巩固当堂效果检测高频考向探究解:(1)证明:∵D,E分别是AB,AC的中点,∴DE∥BC,且DE=12BC.同理,GF∥BC,且GF=12BC,∴DE∥GF且DE=GF,∴四边形DGFE是平行四边形.基础知识巩固当堂效果检测高频考向探究图25-2例1如图25-2,D,E分别是不等边三角形ABC(即AB≠BC≠AC)的边AB,AC的中点,O是△ABC所在平面上的动点,连结OA,OB,OC,点G,F分别是OB,OC的中点,顺次连结点D,G,F,E.(2)若四边形DGFE是菱形,则OA与BC应满足怎样的数量关系?(直接写出答案,不需要说明理由)解:(2)OA=BC.基础知识巩固当堂效果检测高频考向探究【方法点析】依次连结四边形各边中点所得的新四边形的形状与原四边形两条对角线的关系(相等、垂直、相等且垂直)有关.基础知识巩固当堂效果检测高频考向探究|考向精练|1.[2018·临沂]如图25-3,点E,F,G,H分别是四边形ABCD边AB,BC,CD,DA的中点.则下列说法中正确的个数是()①若AC=BD,则四边形EFGH为矩形;②若AC⊥BD,则四边形EFGH为菱形;③若四边形EFGH是平行四边形,则AC与BD互相平分;④若四边形EFGH是正方形,则AC与BD互相垂直且相等.A.1B.2C.3D.4图25-3基础知识巩固当堂效果检测高频考向探究[答案]A[解析]∵点E,F,G,H分别是四边形ABCD边AB,BC,CD,DA的中点,∴EH=12BD=FG,EH∥BD∥FG,∴四边形EFGH是平行四边形.由AC=BD可得EH=EF,∴四边形EFGH为菱形,①错误;由AC⊥BD,可得EH⊥EF,∴四边形EFGH为矩形,②错误;由四边形EFGH是平行四边形,无法得到AC与BD互相平分,③错误;由四边形EFGH是正方形,可得到AC与BD互相垂直且相等,④正确.故选A.基础知识巩固当堂效果检测高频考向探究2.[2019·雅安]如图25-4,在四边形ABCD中,AB=CD,AC,BD是对角线,E,F,G,H分别是AD,BD,BC,AC的中点,连结EF,FG,GH,HE,则四边形EFGH的形状是()A.平行四边形B.矩形C.菱形D.正方形图25-4[答案]C[解析]∵点E,F,G,H分别是AD,BD,BC,CA的中点,∴EF=GH=12AB,EH=FG=12CD.∵AB=CD,∴EF=FG=GH=EH,∴四边形EFGH是菱形,故选C.基础知识巩固当堂效果检测高频考向探究考向二特殊四边形的折叠问题图25-5例2[2019·泰安]如图25-5,矩形ABCD中,AB=36,BC=12,E为AD中点,F为AB上一点,将△AEF沿EF折叠后,点A恰好落到CF上的点G处,则折痕EF的长是.基础知识巩固当堂效果检测高频考向探究[答案]215[解析]连结CE,∵点E是AD的中点,∴AE=ED=EG,∠EGC=∠D,∴△EGC≌△EDC,∴GC=AB=36.设AF=GF=x,∴FB=36-x.在Rt△FBC中,FB2+BC2=FC2,即(36-x)2+122=(x+36)2,解得x=26.在Rt△AFE中,EF=𝐴𝐸2+𝐴𝐹2=215.基础知识巩固当堂效果检测高频考向探究【方法点析】折叠的实质是轴对称变换,折叠前后图形的对应角、对应线段相等.折叠问题中求角的度数,通常利用平行线的性质求解;折叠问题中求边的长度,通常利用勾股定理建立方程求解.基础知识巩固当堂效果检测高频考向探究|考向精练|[2019·桂林]将矩形ABCD按如图25-6所示的方式折叠,BE,EG,FG为折痕.若顶点A,C,D都落在点O处,且点B,O,G在同一条直线上,同时点E,O,F在另一条直线上,则𝐴𝐷𝐴𝐵的值为()A.65B.2C.32D.3图25-6基础知识巩固当堂效果检测高频考向探究[答案]B[解析]由折叠可得,AE=OE=DE,CG=OG=DG,∴E,G分别为AD,CD的中点.设CD=2a,AD=2b,则AB=2a=OB,DG=OG=CG=a,BG=3a,BC=AD=2b.∵∠C=90°,∴Rt△BCG中,CG2+BC2=BG2,即a2+(2b)2=(3a)2,∴b2=2a2,即b=2a,∴𝑏𝑎=2,∴𝐴𝐷𝐴𝐵的值为2.基础知识巩固当堂效果检测高频考向探究考向三特殊平行四边形的综合应用图25-7例3[2019·海南]如图25-7,在边长为1的正方形ABCD中,E是边CD的中点,点P是边AD上一点(与点A,D不重合),射线PE与BC的延长线交于点Q.(1)求证:△PDE≌△QCE;(2)过点E作EF∥BC交PB于点F,连结AF,当PB=PQ时,①求证:四边形AFEP是平行四边形;②请判断四边形AFEP是否为菱形,并说明理由.基础知识巩固当堂效果检测高频考向探究解:(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,∴∠D=∠BCD=90°,∴∠ECQ=90°=∠D.∵E是CD的中点,∴DE=CE.又∵∠DEP=∠CEQ,∴△PDE≌△QCE.基础知识巩固当堂效果检测高频考向探究图25-7例3[2019·海南]如图25-7,在边长为1的正方形ABCD中,E是边CD的中点,点P是边AD上一点(与点A,D不重合),射线PE与BC的延长线交于点Q.(2)过点E作EF∥BC交PB于点F,连结AF,当PB=PQ时,①求证:四边形AFEP是平行四边形;②请判断四边形AFEP是否为菱形,并说明理由.基础知识巩固当堂效果检测高频考向探究解:(2)①证明:如图,由(1)得△PDE≌△QCE,∴PE=QE=12PQ.又∵EF∥BC,∴PF=FB=12PB.∵PB=PQ,∴PF=PE,∴∠1=∠2.∵四边形ABCD是正方形,∴∠BAD=90°.在Rt△ABP中,F是PB的中点,∴AF=12BP=FP,∴∠3=∠4.∵AD∥BC,EF∥BC,∴AD∥EF,∴∠1=∠4,∴∠2=∠3.又∵PF=FP,∴△APF≌△EFP,∴AP=EF.又∵AP∥EF,∴四边形AFEP是平行四边形.基础知识巩固当堂效果检测高频考向探究②四边形AFEP不是菱形,理由如下:设PD=x,则AP=1-x,由(1)可知△PDE≌△QCE,∴CQ=PD=x,∴BQ=BC+CQ=1+x.∵点E,F分别是PQ,PB的中点,∴EF是△PBQ的中位线,∴EF=12BQ=1+𝑥2.由①可知AP=EF,即1-x=1+𝑥2,解得x=13,∴PD=13,AP=23.在Rt△PDE中,DE=12,∴PE=𝑃𝐷2+𝐷𝐸2=136,∴AP≠PE,∴四边形AFEP不是菱形.基础知识巩固当堂效果检测高频考向探究|考向精练|1.如图25-8①,P是菱形ABCD对角线AC上的一点,点E在BC的延长线上,且PE=PB.(1)求证:PD=PE;(2)求证:∠DPE=∠ABC;(3)如图②,当四边形ABCD为正方形时,连结DE,试探究线段DE与线段BP的数量关系,并说明理由.图25-8基础知识巩固当堂效果检测高频考向探究解:(1)证明:∵四边形ABCD是菱形,∴BC=DC,∠BCP=∠DCP,AB∥DC.∵在△BCP和△DCP中,𝐵𝐶=𝐷𝐶,∠𝐵𝐶𝑃=∠𝐷𝐶𝑃,𝑃𝐶=𝑃𝐶,∴△BCP≌△DCP(SAS),∴PB=PD.∵PE=PB,∴PD=PE.基础知识巩固当堂效果检测高频考向探究1.如图25-8①,P是菱形ABCD对角线AC上的一点,点E在BC的延长线上,且PE=PB.(2)求证:∠DPE=∠ABC;图25-8基础知识巩固当堂效果检测高频考向探究解:(2)证明:如图所示:由(1)知,△BCP≌△DCP,∴∠CBP=∠CDP.∵PE=PB,∴∠CBP=∠E.∵∠CFE=∠DFP(对顶角相等),∴180°-∠DFP-∠CDP=180°-∠CFE-∠E,即∠DPE=∠DCE.∵AB∥CD,∴∠DCE=∠ABC,∴∠DPE=∠ABC.基础知识巩固当堂效果检测高频考向探究1.如图25-8①,P是菱形ABCD对角线AC上的一点,点E在BC的延长线上,且PE=PB.(3)如图②,当四边形ABCD为正方形时,连结DE,试探究线段DE与线段BP的数量关系,并说明理由.图25-8基础知识巩固当堂效果检测高频考向探究解:(3)DE=2BP,理由如下:∵四边形ABCD是正方形,∴∠ABC=90°,由(1)知,PD=BP=PE,由(2)知,∠DPE=∠ABC=90°,∴△PDE是等腰直角三角形,∴DE=2PE,∴DE=2BP.基础知识巩固当堂效果检测高频考向探究2.[2019·岳阳]操作体验:如图25-9,在矩形ABCD中,点E,F分别在边AD,BC上,将矩形ABCD沿直线EF折叠,使点D恰好与点B重合,点C落在点C'处.点P为直线EF上一动点(不与点E,F重合),过点P分别作直线BE,BF的垂线,垂足分别为点M和点N,以PM,PN为邻边构造平行四边形PMQN.图25-9基础知识巩固当堂效果检测高频考向探究(1)如图①,求证:BE=BF;(2)特例感知:如图②,若DE=5,CF=2,当点P在线段EF上运动时,求平行四边形PMQN的周长;图25-9基础知识巩固当堂效果检测高频考向探究(3)类比探究:若DE=a,CF=b.①如图③,当点P在线段EF的延长线上运动时,试用含a,b的式子表示QM与QN之间的数量关系,并证明;②如图④,当点P在线段FE的延长线上运动时,请直接用含a,b的式子表示QM与QN之间的数量关系.(不要求写证明过程)图25-9基础知识巩固当堂效果检测高频考向探究解:(1)证明:∵矩形ABCD中,AD∥BC,∴∠DEF=∠BFE.由折叠可知:∠BEF=∠DEF,∴∠BFE=∠BEF.∴BE=BF.基础知识巩固当堂效果检测高频考向探究2.[2019·岳阳]操作体验:如图25-9,在矩形ABCD中,点E,F分别在边AD,BC上,将矩形ABCD沿直线EF