（浙江专版）2020中考数学复习方案 第三单元 函数及其图象 第14课时 二次函数的图象与性质（二）

第14课时二次函数的图象与性质(二)基础知识巩固高频考向探究当堂效果检测考点一抛物线的位置与a,b,c的符号关系[2019·益阳]已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图14-1所示,下列结论:①ac0;②b-2a0;③b2-4ac0;④a-b+c0.正确的是()A.①②B.①④C.②③D.②④图14-1基础知识巩固高频考向探究当堂效果检测[答案]A[解析]∵抛物线开口向下,且与y轴的正半轴相交,∴a0,c0,∴ac0,故①正确;∵对称轴在-1至-2之间,∴-2-𝑏2𝑎-1,∴4ab2a,∴b-2a0,故②正确;∵抛物线与x轴有两个交点,∴Δ=b2-4ac0,故③错误;∵当x=-1时,y=a-b+c0,∴④错误.∴正确的说法是①②.故选A.基础知识巩固高频考向探究当堂效果检测知识梳理1.a的符号看开口:开口,则a0;开口,则a0.向上2.b的符号看对称轴:若对称轴在y轴右侧,即x=-𝑏2𝑎0,则a,b异号;若对称轴在y轴左侧,即x=-𝑏2𝑎0,则a,b同号;若对称轴是y轴,即x=-𝑏2𝑎=0,则b=0.向下基础知识巩固高频考向探究当堂效果检测3.c的符号看与y轴的交点:抛物线与y轴交于正半轴,则c0;抛物线与y轴交于负半轴,则c0;抛物线经过原点,则c=0.基础知识巩固高频考向探究当堂效果检测考点二二次函数与一元二次方程的关系A1.[2018·襄阳]已知二次函数y=x2-x+14m-1的图象与x轴有交点,则m的取值范围是()A.m≤5B.m≥2C.m5D.m2基础知识巩固高频考向探究当堂效果检测2.如图14-2,已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的一个交点为A(1,0),对称轴是直线x=-1,则方程ax2+bx+c=0的解是()A.x1=-3,x2=1B.x1=3,x2=1C.x=-3D.x=-2图14-2[答案]A[解析]∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点是A(1,0),对称轴为直线x=-1,∴抛物线y=ax2+bx+c与x轴的另一个交点是(-3,0),∴一元二次方程ax2+bx+c=0的解是:x1=-3,x2=1.基础知识巩固高频考向探究当堂效果检测知识梳理对于抛物线y=ax2+bx+c,令y=0,得ax2+bx+c=0,即抛物线与x轴的交点的横坐标就是对应一元二次方程的根.抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点个数判别式Δ=b2-4ac的符号关于x的方程ax2+bx+c=0的实数根的情况2个Δ0两个实数根1个Δ=0两个实数根没有Δ0实数根不相等的相等的没有基础知识巩固高频考向探究当堂效果检测特别提醒当x=1时,y=a+b+c;当x=-1时,y=a-b+c;当a+b+c0,即x=1时,y0;当a-b+c0,即x=-1时,y0.基础知识巩固当堂效果检测高频考向探究考向一抛物线位置与a,b,c的符号关系例1[2019·凉山州]二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图14-3所示,有以下结论:①3a-b=0;②b2-4ac0;③5a-2b+c0;④4b+3c0,其中错误结论的个数是()A.1B.2C.3D.4图14-3基础知识巩固当堂效果检测高频考向探究[答案]A[解析]根据对称轴-𝑏2𝑎=-32得b=3a,故可得3a-b=0,所以结论①正确;由于抛物线与x轴有两个不同的交点,所以b2-4ac0,结论②正确,∵b=3a,∴5a-2b+c=5a-6a+c=-a+c,观察图象可知a0,c0,∴5a-2b+c=-a+c0,结论③正确;根据抛物线的轴对称性可知抛物线与x轴的右交点在原点与(1,0)之间(不含这两点),所以当x=1时,y=a+b+c0,∵a=13b,∴43b+c0,∴4b+3c0,所以结论④错误.故选A.基础知识巩固当堂效果检测高频考向探究【方法点析】二次函数图象的特征主要从开口方向、对称轴、与x轴的交点、与y轴的交点入手,确定a,b,c及b2-4ac的符号,有时要把x的特殊值代入,根据图象确定y的符号.常用特殊值:x=1时,y=a+b+c;x=-1时,y=a-b+c;x=2时,y=4a+2b+c等.基础知识巩固当堂效果检测高频考向探究|考向精练|1.如图14-4是二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)图象的一部分,与x轴的交点A在点(2,0)和(3,0)之间,对称轴是直线x=1.对于下列说法:①当-1x3时,y0;②ab0;③2a+b=0;④3a+c0,其中正确的是()A.①③B.①④C.②③D.②④图14-4基础知识巩固当堂效果检测高频考向探究[答案]C[解析]由图象知当-1x3时,y不只是大于0.故①错误;∵对称轴在y轴右侧,∴a,b异号,∴ab0,故②正确;∵对称轴x=-𝑏2𝑎=1,∴2a+b=0,故③正确;∵2a+b=0,∴b=-2a,∵当x=-1时,y=a-b+c0,∴a-(-2a)+c=3a+c0,故④错误.基础知识巩固当堂效果检测高频考向探究2.[2019·随州]如图14-5所示,已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,OA=OC,对称轴为直线x=1,则下列结论:①abc0;②a+12b+14c0;③ac+b+1=0;④2+c是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根.其中正确的有()A.1个B.2个C.3个D.4个图14-5基础知识巩固当堂效果检测高频考向探究[答案]C[解析]抛物线开口向下,则a0,又对称轴为直线x=-𝑏2𝑎=1,则b=-2a0,抛物线与y轴交点C在y轴正半轴,则c0,∴abc0,故①正确;根据对称轴为直线x=1,抛物线与x轴的交点A在x轴负半轴,则当x=2时,y0,即4a+2b+c0,∴a+12b+14c0,故②正确;∵OA=OC=c,∴A(-c,0),则ac2+b(-c)+c=0,∴ac-b+1=0,∴ac+b+1=ac-b+1+2b=2b0,故③错误;∵A(-c,0),对称轴为x=1,∴B(2+c,0),∴2+c是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根,故④正确.综上所述,①②④正确.故选C.基础知识巩固当堂效果检测高频考向探究考向二二次函数与一元二次方程、不等式的关系例2[2019·梧州]已知m0,关于x的一元二次方程(x+1)(x-2)-m=0的解为x1,x2(x1x2),则下列结论正确的是()A.x1-12x2B.-1x12x2C.-1x1x22D.x1-1x22基础知识巩固当堂效果检测高频考向探究[答案]A[解析]关于x的一元二次方程(x+1)(x-2)-m=0的解为x1,x2可以看作二次函数m=(x+1)(x-2)的图象与x轴交点的横坐标,∵二次函数m=(x+1)(x-2)的图象与x轴的交点坐标为(-1,0),(2,0),如图:当m0时,就是抛物线位于x轴上方的部分,此时x-1或x2.又∵x1x2,∴x1-1,x22,∴x1-12x2,故选A.基础知识巩固当堂效果检测高频考向探究【方法点析】二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标即为一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根;结合开口方向和图象位置,y0和y0时相应x的范围即为不等式ax2+bx+c0(a≠0)和ax2+bx+c0(a≠0)的解集.基础知识巩固当堂效果检测高频考向探究|考向精练|1.[2019·潍坊]抛物线y=x2+bx+3的对称轴为直线x=1.若关于x的一元二次方程x2+bx+3-t=0(t为实数)在-1x4的范围内有实数根,则t的取值范围是()A.2≤t11B.t≥2C.6t11D.2≤t6基础知识巩固当堂效果检测高频考向探究[答案]A[解析]方法一:由题意得:-𝑏2×1=1,b=-2,抛物线解析式为y=x2-2x+3,当-1x4时,其图象如图所示:从图象可以看出当2≤t11时,抛物线y=x2-2x+3与直线y=t有交点,故关于x的一元二次方程x2+bx+3-t=0(t为实数)在-1x4的范围内有实数根,则t的取值范围是2≤t11,故选A.方法二:把y=x2-2x+3(-1x4)的图象向下平移2个单位时图象与x轴开始有交点,向下平移11个单位时开始无交点,故2≤t11,故选A.基础知识巩固当堂效果检测高频考向探究图14-62.[2019·济宁]如图14-6,抛物线y=ax2+c与直线y=mx+n交于A(-1,p),B(3,q)两点,则不等式ax2+mx+cn的解集是.基础知识巩固当堂效果检测高频考向探究[答案]x-3或x1[解析]∵抛物线y=ax2+c与直线y=mx+n交于A(-1,p),B(3,q)两点,∴-m+n=p,3m+n=q,∴抛物线y=ax2+c与直线y=-mx+n交于P(1,p),Q(-3,q)两点,观察函数图象可知:当x-3或x1时,直线y=-mx+n在抛物线y=ax2+c的下方,∴不等式ax2+mx+cn的解集为x-3或x1.基础知识巩固当堂效果检测高频考向探究考向三二次函数、反比例函数、一次函数的综合图14-7例3如图14-7所示,在直角坐标系中,矩形OABC的顶点O与坐标原点重合,顶点A,C分别在坐标轴上,顶点B的坐标为(4,2).过点D(0,3)和E(6,0)的直线分别与AB,BC交于点M,N.(1)求过O,B,E三点的抛物线的函数表达式;(2)求直线DE的表达式和点M的坐标;(3)若反比例函数y=𝑚𝑥(x0)的图象经过点M,求反比例函数的表达式,并通过计算判断点N是否在该函数的图象上.基础知识巩固当堂效果检测高频考向探究解:(1)设二次函数的表达式为y=ax2+bx+c.把O(0,0),B(4,2),E(6,0)的坐标代入y=ax2+bx+c,可求得a=-14,b=32,c=0,∴y=-14x2+32x.基础知识巩固当堂效果检测高频考向探究图14-7例3如图14-7所示,在直角坐标系中,矩形OABC的顶点O与坐标原点重合,顶点A,C分别在坐标轴上,顶点B的坐标为(4,2).过点D(0,3)和E(6,0)的直线分别与AB,BC交于点M,N.(2)求直线DE的表达式和点M的坐标;基础知识巩固当堂效果检测高频考向探究解:(2)设直线DE的表达式为y=kx+b'.∵点D,E的坐标为(0,3),(6,0),∴3=𝑏',0=6𝑘+𝑏',解得𝑘=-12,𝑏'=3,∴y=-12x+3.∵点M在AB边上,B(4,2),而四边形OABC是矩形,∴点M的纵坐标为2.又∵点M在直线y=-12x+3上,∴2=-12x+3,解得x=2,∴M(2,2).基础知识巩固当堂效果检测高频考向探究图14-7例3如图14-7所示,在直角坐标系中,矩形OABC的顶点O与坐标原点重合,顶点A,C分别在坐标轴上,顶点B的坐标为(4,2).过点D(0,3)和E(6,0)的直线分别与AB,BC交于点M,N.(3)若反比例函数y=𝑚𝑥(x0)的图象经过点M,求反比例函数的表达式,并通过计算判断点N是否在该函数的图象上.基础知识巩固当堂效果检测高频考向探究解:(3)∵反比例函数y=𝑚𝑥(x0)的图象经过点M(2,2),∴m=4,即y=4𝑥.又∵点N在BC边上,B(4,2),∴点N的横坐标为4.∵点N在直线y=-12x+3上,∴y=1,∴N(4,1).∵当x=4时,y=4𝑥=1,∴点N在函数y=4𝑥的图象上.基础知识巩固当堂效果检测高频考向探究|考向精练|1.[2019·自贡]一次函数y=ax+b与反比例函数y=𝑐𝑥的图象如图14-8所示,则二次函数y=ax2+bx+c的大致图象是()图14-9图14-8基础知识巩固当堂效果检测高频考向探究[答案]A[解析]∵双曲线y=𝑐𝑥经过第一、三象限,∴c0.∴抛物线与y轴交于正半轴.∵直线y=ax+b经过第一、二、四象限,∴a0,b0,即-𝑏2𝑎0.∴抛物