湖北省黄冈市黄冈中学2016届高三数学上学期期中试题-理

湖北省黄冈中学2015年秋季期中考试高三数学试卷（理科）第Ⅰ卷选择题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1、复数在复平面上对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2、已知a∈R，则“a＞3”是“a2＞3a”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件3、设{an}为等差数列，公差d＝－2，Sn为其前n项和，若S10＝S11，则a1＝（）A．18B．22C．20D．244、已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）＝2x－3，则f（－2）＝（）A．1B．－1C．D．5、下图给出的是计算的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是（）A．i＞10？B．i＜10？C．i＞20？D．i＜20？6、将函数f（x）＝sin（2x＋φ）的图象向左平移个单位，所得到的函数图象关于y轴对称，则φ的一个可能取值为（）A．B．0C．D．7、求曲线y＝x2与y＝x所围成图形的面积，其中正确的是（）8、设l，m，n为三条不同的直线，α为一个平面，下列命题中正确的个数是（）①若l⊥α，则l与α相交②若mα，nα，l⊥m，l⊥n，则l⊥α③若l∥m，m∥n，l⊥α，则n⊥α④若l∥m，m⊥α，n⊥α，则l∥nA．1B．2C．3D．49、如图，已知，点C在线段AB上，且∠AOC＝30°，设，则等于（）A．B．3C．D．10、已知曲线C：y＝2x2，点A（0，－2）及点B（3，a），从点A观察点B，要使视线不被曲线C挡住，则实数a的取值范围是（）A．（4，＋∞）B．（－∞，4）C．（10，＋∞）D．（－∞，10）11、某四面体的三视图如图所示，正视图、俯视图都是腰长为2的等腰直角三角形，左视图是边长为2的正方形，则此四面体的四个面中面积最大的为（）A．B．4C．D．12、设函数f（x）在R上存在导数f′（x），，有f（－x）＋f（x）＝2x2，在（0，＋∞）上f′（x）＞2x，若f（2－m）＋4m－4≥f（m），则实数m的取值范围为（）A．－1≤m≤1B．m≤1C．－2≤m≤2D．m≥2第Ⅱ卷非选择题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13、已知关于x的二项式展开式的二项式系数之和为32，常数项为80，则实数a的值为__________．14、变量x、y满足条件，则（x－2）2＋y2的最小值为__________．15、△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a，b，c成等比数列，若，，则a＋c的值为__________．16、设a为实常数，y＝f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＜0时，．若f（x）≥a＋1对一切x≥0成立，则a的取值范围是__________．三、解答题（17—21为必做题）17、（本小题满分12分）已知数列{an}中，a1＝3，a2＝5且数列{an}的前n项和Sn满足Sn＋Sn－2＝2Sn－1＋2（n≥3）；（1）求证：{an}为等差数列；（2）记数列，求数列{bn}的前n项和Tn．18、（本小题满分12分）将函数图像上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到y＝sinx的图像．（1）求函数f（x）的解析式；（2）当x∈[0，3π]时，方程f（x）＝m有唯一实数根，求m的取值范围．19、（本小题满分12分）已知函数f（x）＝x3－3ax2＋3a2x－a3（a∈R）的图像关于点（1，0）成中心对称．（1）确定f（x）的解析式；（2）求函数g（x）＝f（x）－2x2在[－1，1]上的最大值和最小值．20、（本小题满分12分）如图，在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，P是侧棱CC1上的一点，CP＝m；（1）试确定m，使直线AP与平面BDD1B1所成角的正切值为；（2）在线段A1C1上是否存在一个定点Q，使得对任意的m，D1Q垂直于AP，并证明你的结论．21、（本小题满分12分）已知函数f（x）＝xln（ax）（a＞0）（1）若对任意的x＞0恒成立，求实数a的取值范围；（2）当a＝1时，设函数f（x）的极值点为x0，若实数m，n满足x0＜m＜1，x0＜n＜1，且m＋n＜1．求证：．四、选修题：（请考生在下列22题、23题、24题中任选一题作答，多选以所选第一题的解答给分）22、（本小题满分10分）如图，圆O的半径OB垂直于直径AC，M为AO上一点，BM的延长线交圆O于N，过N点的切线交CA的延长线于点P；（1）求证：PM2＝PA·PC；（2）若MN＝2，，求劣弧长BN．23、（本小题满分10分）将单位圆经过伸缩变换φ：得到曲线C：；（1）求实数λ，μ的值；（2）以原点O为极点，x轴为极轴建立极坐标系，将曲线C上任意一点到极点的距离ρ（ρ≥0）表示为对应极角θ（0≤θ2π）的函数，并探求θ为何值时，ρ取得最小值？24、（本小题满分10分）已知a，b，c∈R＋，求证：．答案与解析：1、C解析：，故对应点在第三象限．2、A解析：或a＜0，故“a＞3”是“a2＞3a”成立的充分条件．3、C解析：，又．4、B解析：f（x）为奇函数，故，又，故．5、A6、C解析：的图像向左平移后所得的解析式为，其关于y轴对称，则，k取0时有．7、A解析：解得x＝0或x＝1，又当x∈（0，1）时，x＞x2，故两曲线所围成的面积为8、C解析：①③④正确，②错误．9、B解析：，故，即，即3n＝m．10、D解析：由题意，B点应在过A点的切线的下方，易求得曲线过A点的切线方程为y＝4x－2，故a＜4×3－2＝10．11、C解析：如图，易知△BCD的面积最大．12、B解析：令，，∴函数F（x）为奇函数．时，，函数F（x）在上为增函数，又由题可知，，所以函数F（x）在R上为增函数．由可知，即，所以．13、2解析：二项式系数和为2n＝32，有n＝5，第k＋1项，令得k＝3，常数项为．14、5解析：作出可行域，当x＝0，y＝1时，有最小值为5．15、解析：a，b，c等比，则b2＝ac，又，，ac＝13，，，故．16、解析：x＝0时，f（x）＝0，又对一切x≥0恒成立，故a≤－1，当x＜0时，，且f（x）为奇函数，故当x＞0时，，当x＞0时，对x＞0恒成立，即，即，．17、解：（1）由知（2分）（4分）又，故∴{an}为等差数列．（6分）（2）由（1）知，．．①②（8分）①－②得：（10分）（12分）18、解：（1）将y＝sinx的图像向左平移个单位长度可得的图像，保持纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，可得的图像，故（6分）（2）令又，单调递增，单调递减，f（x）单调递增，，x＝0时，时．故方程有唯一实数根的m的取值范围为（12分）19、解：（1）法1：化简f（x）得（1分）由f（x）的图像关于点（1，0）成中心对称，则（2分）即，代入f（x）得，整理得：对x∈R恒成立，则（6分）法2：是奇函数，是将f（x）的图像向左（a＜0）或向右（a＞0）平移|a|个单位，由题意平移后的图像关于点（1，0）成中心对称，故a＝1．（2），又x∈[－1，1]，则时g（x）递增，时g（x）递减，故，．（10分）综上，，．（12分）20、解法一：（1）如图：（1分）故．所以．又．（3分）故．（4分）在Rt△AOG中，，即．故当时，直线．（6分）（Ⅱ）依题意，要在A1C1上找一点Q，使得D1Q⊥AP．只需．（7分）设，可推测A1C1的中点O1即为所求的Q点．（8分）因为D1O1⊥A1C1，D1O1⊥AA1，所以D1O1⊥面ACC1A1．即．（10分）又，故D1O1⊥AP．即D1Q⊥AP．（12分）解法二：（１）建立如图所示的空间直角坐标系，（1分）则A（1，0，0），B（1，1，0），P（0，1，m），C（0，1，0），D（0，0，0），B1（1，1，1），D1（0，0，1）．所以，．（2分）又由的一个法向量．（3分）设AP与面BDD1B1所成的角为θ，则．（4分）依题意有：，解得．（5分）故当时，直线AP与平面BDD1B1所成的角的正切值为．（6分）（2）若在A1C1上存在这样的点Q，设此点的横坐标为x，（7分）则．（8分）依题意，对任意的m要使，只需对恒成立．（9分），（11分）即Q为A1C1的中点时，满足题设的要求．（12分）21、（1）解：即在x＞0恒成立令故时，，则h（x）在（0，2）递增，x＞2时，，则h（x）在（2，＋∞）递减，则，依题意．（2），令得，且递减，递增，故．则，由递增，则有同理，又，即得，即证．22、（1）证明：连结ON，则ON⊥PN，且△OBN为等腰三角形，则∠OBN＝∠ONB，∵∠PMN＝∠OMB＝90°－∠OBN，∠PNM＝90°－∠ONB，∴∠PMN＝∠PNM，∴PM＝PN.根据切割线定理，有PN2＝PA·PC，∴PM2＝PA·PC．（2）解：，则在直角△OBM中，BM＝2x又，由相交弦定理得．故⊙O的半径，∴BN弧长．23、解：（1）由知（2），故当时，．24、证明：法一：，相加得，即证．法二：由柯西不等式得即得．